RZVM

6.12. 5x + 2y ¡ 17 = 0. 6.13. ¡x8 + 12y = 1. 6.14. M(3; 2). 6.15.

1) x + 2y ¡ 14 = 0; 2) 2x ¡ y ¡ 3 = 0. 6.16. 2x ¡ y + 4 = 0. 6.17. 3x ¡ 4y + 10 = 0, x + 2y ¡ 10 = 0, x ¡ 3y + 5 = 0. 6.18. 39 кв. ед.

7.Аналитическая геометрия

впространстве

Также, как и для задач на плоскости, основной упор при решении пространственных задач аналитической геометрии делается на понятия векторной алгебры.

Уравнение первой степени с тремя неизвестными x, y, z

Ax + By + Cz + D = 0

~

называется общим уравнением плоскости. Вектор N = (A; B; C; ), составленный из коэффициентов перед x, y и z, называется нормаль-

~

N

~

§jNj

Нормальные векторы позволяют определить взаимное расположение двух плоскостей:

A1x + B1y + C1z + D1 = 0;

A2x + B2y + C2z + D2 = 0:

коллинеарны. Тогда плоскости пересекаются (по прямой линии).

лельны.

51

Двугранный угол ' между двумя плоскостями и равен углу меж-

косинус угла которого находится с помощью скалярного произведения:

Условие ортогональности для этих же двух плоскостей имеет вид

~ ~

(N1; N2) = A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0:

Если плоскость отсекает на осях координат Ox, Oy и Oz отрезки a, b и c, то ее уравнение можно записать в виде

xa + yb + zc = 1:

Это уравнение называется уравнением плоскости в отрезках.

Чтобы записать уравнение плоскости, проходящей через три точ-

ки M1(x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2) и M3(x3; y3; z3), достаточно использо-

вать условие компланарности (смешанное произведение равно нулю)

¡! ¡! ¡!

трех векторов M1M , M1M2 и M1M3 , где M(x; y; z) произвольная

точка плоскости. Аналогично, условие компланарности трех векто-

¡! ¡! ¡!

ров M1M2 , M1M3 и M1M4 позволяет определить, лежат ли четыре

точки M1(x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2), M3(x3; y3; z3) и M4(x4; y4; z4) в одной плоскости.

Любая прямая в пространстве может быть определена с помощью точки M0(x0; y0; z0), через которую она проходит, и направляющего

~

вектора L = (l; m; n), параллельного этой прямой. Если M(x; y; z)

¡!

любая точка на прямой, то векторы M0M = (x ¡ x0; y ¡ y0; z ¡ z0) и

~

L = (l; m; n) будут коллинеарны. Используя условие коллинеарности двух векторов, получаем уравнения прямой в пространстве:

52

Задачи для практических занятий

7.1.Плоскость отсекает на осях координат 0x, 0y и 0z отрезки a = 2, b = 3 и c = 5. Найти вектор, перпендикулярный к плоскости.

7.2.Вычислить угол между плоскостями 4x ¡ 5y + 3z ¡ 1 = 0 и x ¡ 4y ¡ z + 9 = 0.

7.3.Даны две точки A(1; 3; ¡2) и B(7; ¡4; 4). Через точку B провести плоскость, перпендикулярную к отрезку AB.

7.4.Записать уравнение плоскости, проходящей через данные точки

M1(1; ¡1; 2), M2(2; 1; 2) и M3(1; 1; 4).

7.5.Найти уравнение прямой, проходящей через точки M1(1; ¡2; 1) и M2(3; 1; ¡1). Записать параметрические уравнения этой прямой.

7.7. Найти проекцию точки A(3; 4; 5) на плоскость 2x+3y¡z¡41 = 0.

7.8. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую x ¡ 2 = 1

y ¡ 3 = z + 1 и точку A(3; 4; 0). 2 3

7.9.Проверить, можно ли провести плоскость через следующие четыре точки A(3; 1; 0), B(0; 7; 2), C(¡1; 0; ¡5) и D(4; 1; 5).

7.10.Проверить, можно ли провести прямую через следующие три точки A(3; 0; 1), B(3; 2; 5) и C(3; 4; 9). Если можно, то найти канонические и параметрические уравнения этой прямой.

Домашнее задание

7.11.Дан треугольник с вершинами A(¡2; 0; 1), B(1; 2; 4) и C(4; 1; 3). Записать уравнения его сторон.

55

7.13.Найти проекцию точки A(4; ¡3; 1) на плоскость x+2y¡z¡3 = 0.

7.14.Найти точку M пересечения трех плоскостей

x + 2y + 3z ¡ 1 = 0; 5x + 8y ¡ z ¡ 7 = 0; 2x ¡ 3y + 2z ¡ 9 = 0:

7.15.Через точку A(2; ¡7; 8) провести плоскость, параллельную плоскости 2x + 5y + 3z + 2 = 0.

7.16.Написать уравнение плоскости, если точка A(4; ¡2; 3) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.

7.17.Проверить, лежат ли в одной плоскости точки A(2; ¡1; ¡2),

B(1; 2; 1), C(2; 3; 0) и D(5; 0; ¡6).

7.18.Выяснить, лежат ли на одной прямой точки A(2; 4; 1), B(3; 7; 5)

и C(4; 10; 9).

Ответы:

уравнения прямой: x = 2t+1, y = 3t¡2, z = ¡2t+1. 7.6. M(0; ¡2; ¡2).

7.7. M(7; 10; 3). 7.8. x ¡ 2y + z + 5 = 0. 7.9. Нельзя. 7.10 Можно

M(2; ¡3; 6). 7.13. M(5; ¡1; 0). 7.14. M(3; ¡1; 0). 7.15. 2x + 5y + 3z + 7 = 0. 7.16. 4x ¡ 2y + 3z ¡ 29 = 0. 7.17. Лежат в одной плоскости. 7.18. Лежат на одной прямой.

56

8. Пределы. Стандартные неопределенности

Неопределенности вида ³11´. При отыскании предела отноше-

ния двух многочленов относительно x при x ! 1 (или n ! 1 для последовательностей) рекомендуется числитель и знаменатель разделить на наибольшую степень переменного, входящего в эти многочлены.

Тот же прием в некоторых случаях применим и для дробей, содержащих корни.

П р и м е р 1

57

П р и м е р 8