Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

RZVM

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

1.11 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 1919

Р е ш е н и е. Применяя признак Даламбера, получаем

n!1 j

un(x)

n!1 n + 2

¯2x + 1

= ¯

2x + 1

¯ < 1:

lim

= lim n + 1

un+1

(x)

Решаем последнее неравенство

2¯

2x + 1

¯ < 1; jxj < j2x + 1j; x2

< (2x + 1)2;

¯+ 4x + 1 > 0; x < ¡1; x > ¡

Следовательно, ряд сходится на интервалах (¡1; ¡1) и µ¡

; +1¶

и расходится на интервале µ¡1; ¡

¶. Исследуем поведение ряда на

границе этих интервалов.

1) При x = ¡1 получаем ряд

1 (¡1)n

;

n=1

2n + 1

который сходится по признаку Лейбница.

2) При x = ¡

получается ряд

n=1 2n + 1

расходимость которого можно доказать, применяя предельный признак сравнения.

Таким образом, исходный ряд сходится при x · 1 и x > ¡13.

П р и м е р 2. Найти область сходимости функционального ряда

X1 (¡1)n 4n sin2n x n

n=1

181

Р е ш е н и е. Здесь удобнее использовать признак Коши:

lim

n!1

Откуда получаем

			4 sin2 x
n	un(x) = lim		4 sin2 x	= 4 sin2 x < 1:
pj
			pn
	j	n!1	pn
			n

sin2 x <	1	;	j sin xj <	1	;	¡	¼		+ k¼ < x <	¼		+ k¼; k 2 Z:
	4			2				6			6

На интервалах ¡¼6 +k¼ < x < ¼6 +k¼; k 2 Z ряд сходится. На границе этих интервалов x = §¼6 + k¼ имеем sin2 x = 14 и ряд принимает вид

X1 (¡1)n n1 :

n=1

Он сходится по признаку Лейбница. Следовательно, ряд сходится на

промежутках

¡¼6 + k¼ · x · ¼6 + k¼; k 2 Z:

Степенной ряд это частный случай функционального ряда. Он играет важную роль в приложениях.

Степенным рядом называется ряд вида

an xn = a0 + a1x + a2x2 + ¢ ¢ ¢ + anxn + ¢ ¢ ¢ ;

n=0

где a0; a1; a2; : : : ; an; : : : – постоянные числа, называемые коэффициентами степенного ряда.

Часто рассматриваются степенные ряды более общего вида

an (x¡x0)n = a0 +a1(x¡x0)+a2(x¡x0)2 +¢ ¢ ¢+an(x¡x0)n +¢ ¢ ¢ ;

n=0

где x0 фиксированная точка. 182

Для всякого степенного ряда существует интервал сходимости

jx ¡ x0j < R, иначе ¡R + x0 < x < R + x0, внутри которого ряд сходится, а вне расходится. Число R называют радиусом сходимости.

Радиус сходимости может быть найден по формулам

	¯	an	¯				1
	¯		¯				p
lim	¯an+1		¯	или	R =
R = n!1	¯an+1		¯	или		lim	n	j	an	:
	¯		¯		n!1			j		j

П р и м е р 3. Найти радиус сходимости и интервал сходимости

степенного ряда

5 ¢ 4n

xn:

n=1 5n

Р е ш е н и е. Найдем радиус сходимости

4n(5n + 3)

5n + 3 1

R =

lim

¯an+1

= lim

(5n

2)4n+1 =

lim

5n 2

n!1

4 n!1

Интервал сходимости¯ ¯

ряда есть

или

jxj <

< x <

Проведем исследование на границе интервала сходимости.

Подставим в ряд x =

. Получится числовой знакоположитель-

ный ряд

. Сравним его с гармоническим рядом

, ко-

n=1

торый расходится (p = 1):

. Следовательно, данный ряд

5n ¡ 2

расходится, x =

не входит в область сходимости.

Подставим x = ¡

. Получится числовой знакочередующийся ряд

(¡1)n

, который сходится по признаку Лейбница.

n=1

Итак, область сходимости степенного ряда есть ¡14 · x < 14.

183

Если функция f(x) допускает в окрестности точки x = 0 разложение в степенной ряд по степеням x, то этот ряд имеет вид

f(x) = f(0) + f0(0)x +	f00(0)		x2 +	f000(0)	x3 + ¢ ¢ ¢ +	f(n)(0)	xn + ¢ ¢ ¢ :
	2!			3!		n!

Однако на практике при разложении функций в степенной ряд чаще используют основные разложения элементарных функций (в

скобках указаны интервалы сходимости этих рядов):

I. ex = 1 + x +

+ ¢ ¢ ¢ +

+ ¢ ¢ ¢

(¡1 < x < +1).

x2n+1

II. sin x = x ¡

¡ ¢ ¢ ¢ + (¡1)n

+ ¢ ¢ ¢

(2n + 1)!

x2n

(¡1 < x < +1).

III. cos x = 1 ¡

¡ ¢ ¢ ¢ + (¡1)n

+ ¢ ¢ ¢

(¡1 < x < +1).

(2n)!

IV. ln(1 + x) = x ¡

+ ¢ ¢ ¢ + (¡1)n¡1

+ ¢ ¢ ¢

®(® ¡ 1)

(¡1 < x · 1).

(1 + x)® = 1 + ®x +

x2 +

¢ ¢ ¢

+®(® ¡ 1) ¢ ¢ ¢ (® ¡ n + 1)xn +

( 1 < x < 1)

¢ ¢ ¢

VI.

= 1 + x + x2 + x3 + ¢ ¢ ¢ + xn + ¢ ¢ ¢

(¡1 < x < 1).

1 ¡ x

VII.

= 1 ¡ x + x2 ¡ x3 + ¢ ¢ ¢ + (¡1)nxn + ¢ ¢ ¢

(¡1 < x < 1).

1 + x

П р и м е р 4. Разложить по степеням x функцию

f(x) = (1 ¡ x)(1 + 2x):

Р е ш е н и е. Используя метод неопределенных коэффициентов разложим функцию на простейшие дроби:

184

;

(1 ¡ x)(1 + 2x)

1 ¡ x

1 + 2x

A(1 + 2x) + B(1 ¡ x) = 3; (2A ¡ B)x + A + B = 3;

2A ¡ B = 0;

A = 1; B = 2:

( A + B = 3;

Итак, разложение функции на простейшие дроби имеет вид

f(x) =

1 ¡ x

1 + 2x

Используя разложения VI и VII геометрических прогрессий, полу-

чаем

= 1 + x + x2 + ¢ ¢ ¢ = xn;

1 x

n=0

= 1 ¡ 2x + (2x)2 ¡ ¢ ¢ ¢ =

(¡1)n2nxn:

1 + 2x

n=0

Окончательно

[1 + (¡1)n2n+1]xn:

f(x) = xn + 2

(¡1)n2nxn =

n=0

Первая геометрическая прогрессия сходится при jxj < 1, вторая

. Следовательно, разложение функции f(x) в ряд спра-

при jxj <

ведливо при jxj <

, т.е. при ¡

< x <

П р и м е р 4. Разложить по степеням x функцию

f(x) = 2x:

Р е ш е н и е. Используя разложение I, получаем

(x ln 2)2

(x ln 2)3

f(x) = 2x = ex ln 2 = 1 + x ln 2 +

+ ¢ ¢ ¢ =

lnn 2

xn:

n=0

185

Разложение справедливо при любых x, ¡1 < x < +1.

П р и м е р 5. Разложить по степеням x функцию

f(x) = cos2 x:

Р е ш е н и е. Используем разложение III:

f(x) = cos2 x =

(1 + cos 2x) =

= 2

µ1 + 1 ¡ 2!

+ ¢ ¢ ¢

4! ¡ ¢ ¢ ¢ + (¡1)n (2n)!

(2x)2

(2x)4

(2x)2n

2x2

23x4

22n¡1x2n

= 1 ¡

¡ ¢ ¢ ¢ + (¡1)n

+ ¢ ¢ ¢ =

(2n)!

22n¡1x2n

= 1 +

(¡1)n

(2n)!

n=1

Ряд сходится при ¡1 < x < +1.

Задачи для практических занятий

Найти область сходимости функционального ряда

1 (¡1)n	µ	1 ¡ 2x	¶	n	1 sinn x	.
30.1. n=1 2n + 1	µ	1 + x	¶	. 30.2.	n=1 n	.
X					X

Найти радиус сходимости и интервал сходимости степенного ря-

да:

1	10n		1				xn
X			X
X	2n + 1 xn.		X	(¡1)n n			¢	2n .
30.3.	2n + 1 xn.		30.4.	(¡1)n n				2n .
n=1			n=1
1	3n + 1		1		n!
X		xn.	X			(x ¡ 2)n.
30.5.	n!	xn.	30.6.		2n	(x ¡ 2)n.
n=1			n=1
186

2x + 3

Пользуясь известными разложениями элементарных функций, написать разложение в степенной ряд относительно x следующих функций:

30.7. f(x) = ch x.

30.9. f(x) = ln 1 ¡ x. 1 + x

30.11. f(x) = x2 + x ¡ 2.

30.8. f(x) = sin2 x.

30.10. f(x) = p11+ x.

30.12. f(x) = x2 + 3x + 2.

Домашнее задание

Найти область сходимости функционального ряда

(¡1)n

+ x

cosn x

¶ .

n .

30.13. n=1 2n

30.14. n=1

Найти радиус сходимости и интервал сходимости степенного ря-

да:

1		xn				1
X		¢				X	n ¢ 3nxn.
30.15.	n			10n	.	30.16.	n ¢ 3nxn.
n=1						n=1
1	5n					1		(n!)2
X			(x + 1)n.			X			xn.
30.17.	n		(x + 1)n.			30.18.		(2n)!	xn.
n=1						n=1

30.19. f(x) = sh x.

30.20. f(x) = e¡x2 .

187

30.21. f(x) = 3x.

30.23. f(x) = ln(1 ¡ x2).

1 30.25. f(x) = x2 ¡ 7x + 12.

30.22. f(x) = sin 2x.

30.24. f(x) = 3 1 + x.

x + 5 30.26. f(x) = x2 + 4x + 3.

Ответы:

30.1.

0 ·

30.2. x 6=

+ 2k¼, k

30.3. R

. 30.4.

= 2, ¡2 < x · 2. 30.5.

R = +1, ¡1 <

x < +1.

30.6.

= 2.

30.7.

x2n

22n¡1x2n

n=0

(2n)!

, (jxj < +1).

30.8. (¡1)n¡1

(2n)!

, (jxj < +1). 30.9.

n=1

x2n+1

( x < +

)

(

1)n

(2n ¡ 1)!!

( x < 1)

j j

. 30.11.

n=0 2n + 1,

1 . 30.10. n=0 ¡

1 + (¡1)n

xn ( x < 1)

1 ( 1)n

1 + 1

n=0 µ

2n+1

, j j

30.12. n=0 ¡

2n+1

(jxj < 1). 30.13. ¡1 < x · 0. 30.14. x =6 2k¼, k 2 N. 30.15. R = 10,

¡10 · x < 10. 30.16. R =

, ¡

< x <

. 30.17. R =

, ¡

x2n+1

x < ¡

. 30.18. R = 4, ¡4 < x < 4. 30.19. n=0

(2n + 1)!

, (jxj < +1).

x2n

1 xn lnn 3

30.20.

(¡1)n

, (jxj < +1).

30.21.

, (jxj < +1).

n=0

22n+1x2n+1

n=0

x2n

30.22.

(¡1)n

(2n + 1)!

, (jxj < +1). 30.23.

(¡1)n

(jxj ·

n=0

1 ( 1)n¡1

n=1

1 +

1 ¢ 2 ¢ 5 ¢ ¢ ¢ (3n ¡ 4)

( x < 1)

30.24.

, j

30.25.

n=1

n=0

3n+1

4n+1

¶xn, (jxj < 3). 30.26. n=0(¡1)n¡1

µ2 ¡

3n+1

¶xn.

188

Список литературы

1.Кузнецов Б. Т. Математика: Учебник для студентов вузов, обучающихся по специальностям экономики и управления (060000). М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.

2.Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. для втузов. В 2-х т. М.: Интеграл-Пресс, 2003.

3.Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: Полный курс. М.: Айрис-пресс, 2005.

189

Егор Викторович Кошелев

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Учебное пособие

Формат 60£84 1/16.
Гарнитура Таймс. Печать офсетная. Бумага офсетная.
Усл. печ. л. 11,9. Уч.-изд. л. 11,2. Тираж 200. Заказ	.
Издательство Нижегородского госуниверситета
им. Н. И. Лобачевского
603950, Н. Новгород, пр. Гагарина, 23
Типография Нижегородского госуниверситета
им. Н. И. Лобачевского
603000, Н. Новгород, ул. Б. Покровская, 37
Лицензия ПД N± 18-0099 от 04.05.2001

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 1919

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.09.201945.28 Кб2Rescue_asd1.docx
#
27.03.20151.28 Mб6Rezultaty_za_2013.doc
#
12.11.201974.59 Кб2RP_Filosofia_Karzhina_GU_VShE.docx
#
27.03.20151.56 Mб69RUR.doc
#
17.07.201963.15 Кб5russ.docx
#
27.03.20151.11 Mб7RZVM.pdf
#
08.05.2019136.7 Кб5SAKSONSKOE_ZERTsALO_Karolina.doc
#
27.03.2015186.37 Кб6sanit_pravila_2_3_6_1079_teoria.doc
#
30.08.2019135.13 Кб11SAWAY-ART-Профиль аналитика. Таблица квалификац...docx
#
27.03.20157.36 Mб14Sbornik_IEP.pdf
#
27.03.201511.96 Mб61Sbornik_retseptur_blyud.pdf