RZVM

5.Интегралы от четных и нечетных функций

всимметричных пределах

1) Для четной функции f(x) на интервале [¡a; a] выполняется

Za Za

f(x) dx = 2 f(x) dx:

2) Для нечетной функции f(x) на интервале [¡a; a] имеем

Za

f(x) dx = 0:

¡a

Пример 9. Найти

Z¼

j sin xj dx:

¡¼

Р е ш е н и е. Функция f(x) = j sin xj четная. Поэтому

П р и м е р 10. Найти

Z¼

x8 sin x dx:

¡¼

121

x = a и x = b (a < b), вычисляется по формуле

Zb

S = [y2(x) ¡ y1(x)] dx: (8)

a

Площадь S плоской фигуры C1D1D2C2 (рис. 18), ограниченной

двумя кривыми x = x1(y), x = x2(y), x2(y) ¸ x1(y), и двумя прямыми y = c, y = d (c < d), вычисляется по формуле

Zd

S = [x2(y) ¡ x1(y)] dy: (9)

c

y

D1 d D2

x=x1(y) x=x2(y)

x

C1 c C2

Рис. 18. Криволинейная трапеция со сторонами, параллельными оси Ox

П р и м е р 1. Найти площадь фигуры ABCD (рис. 19), ограниченной кривыми y = x2 ¡ 8 и y = ¡x2 + 6x.

Р е ш е н и е. Полагаем в формуле (8) y2(x) = ¡x2 + 6, y1(x) = x2¡8. Для нахождения промежутка интегрирования решаем систему

уравнений

125

Рис. 19. Фигура, ограниченная кривыми y = x2 ¡ 8 и y = ¡x2 + 6x

П р и м е р 2. Найти площадь фигуры ABCD, ограниченной кривыми y ¡ x = 1 и y2 + x = 1 (рис. 20).

Р е ш е н и е. Полагая в формуле (9) x2(y) = 1 ¡y2, x1(y) = y ¡1, получаем

126

Рис. 20. Фигура, ограниченная кривыми y ¡ x = 1 и y2 + x = 1

2. Вычисление длины кривой

1.Если кривая задана в виде y = y(x), a · x · b, где функция y(x) имеет непрерывную производную на [a; b], то ее длина вычисля-

ется по формуле

Zb q

a

(

x = x(t)

2. Если кривая задана параметрически y = y(t) , t0 · t · T , где

x0(t) и y0(t) непрерывны на [t0; T ], то ее длина вычисляется по формуле

П р и м е р 3. Найти длину кривой y = ln sin x, если ¼4 · x · 34¼ .

Р е ш е н и е. Применяем формулу (10). Вначале вычислим подынтегральное выражение

127

П р и м е р 4. Найти длину кривой, заданной параметрически

(

x = a(cos t + t sin t);

0 · t · 2¼:

y = a(sin t ¡ t cos t);

Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой (11)

qx0 2(t) + y0 2(t) dt = p(at cos t)2 + (at sin t)2 dt = at dt;

L = a Z2¼t dt = at2 ¯¯¯¯2¼ = 2a¼2:

0

2 0

Задачи для практических занятий

Изобразить фигуру, ограниченную кривыми, и вычислить ее пло-

20.5. y = x + 1; y = ¡x + 1; y = 0; y = 2.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми:

129

Ответы:

20.1. 16. 20.2. 3227. 20.3. 1. 20.4. 92. 20.5. 2. 20.6. 143 . 20.7. 2 + ln 32.

20.8. ¼2 . 20.9. 8a. 20.10 16. 20.11. 92. 20.12. 56. 20.13. 36. 20.14. 92.

20.15. 323 . 20.16. 278 (10p10 ¡ 1). 20.17. 1 + ln 53. 20.18. 34¼ . 20.19.

32.

21. Частные производные первого порядка

Частные производные от функции z = f(x; y) вычисляются по формулам и правилам дифференцирования функции одной перемен-

ной. Частную производную @x@z находят как производную функции z = f(x; y) по переменной x в предположении, что другая переменная постоянна, y = const. Аналогично, частная производная @y@z вычис-

ляется дифференцированием по переменной y в предположении, что x = const.

П р и м е р 1. Найти производные @x@z и @y@z от функции

z = x4 + 3x2y3 ¡ y4 + sin x + cos y:

Р е ш е н и е

@x@z = 4x3 + 6xy3 + cos x; @y@z = 9x2y2 ¡ 4y3 ¡ sin y:

130