RZVM

Домашнее задание

Исследовать функцию и построить ее график:

Ответы:

15.1. Функция общего вида. О.О.Ф: (¡1; ¡5) S(¡5; +1); y > 0 на

интервалах (¡5; 3) и (3; +1); y < 0 на интервалах (¡1; ¡5) и (¡3; 3);

µ ¶

точки пересечения с осями 0; ¡9 , (3; 0), (¡3; 0); y(¡1) = ¡1,

5

y(+1) = +1, y(¡5 ¡ 0) = ¡1, y(¡5 + 0) = +1; x = ¡5 вертикальная асимптота, y = x ¡ 5 наклонная асимптота; возрастает на интервалах (¡1; ¡9) и (¡1; +1), убывает на интервалах (¡9; ¡5) и

(¡5; ¡1); ymax = y(¡9) = ¡18, ymin = y(¡1) = ¡2; график выпуклый вверх на интервале (¡1; ¡5) и выпуклый вниз на интервале

(¡5; +1).

91

15.2. Функция нечетная. О.О.Ф: (¡1; +1); y(¡1) = ¡1, y(+1) = +1; y = x наклонная асимптота при x ! +1, y = x + ¼ наклонная асимптота при x ! ¡1; возрастает на

вверх при x < 0 и выпуклый вниз при x > 0; x = 0 точка перегиба.

15.3. Функция нечетная. О.О.Ф: (¡1; 0) S(0; +1); y > 0 при x > 0, y < 0 при x < 0; y(¡1) = ¡1, y(+1) = +1, y(¡0) = ¡1, y(+0) = +1; x = 0 вертикальная асимптота, y = x наклонная асимптота; возрастает на интервалах (¡1; ¡3) и (3; +1), убывает

на интервалах (¡3; 0) и (0; 3); ymax = y(¡3) = ¡4, ymin = y(3) = 4; график выпуклый вверх на интервале (¡1; 0) и выпуклый вниз на

интервале (0; +1).

15.4. Функция общего вида. О.О.Ф: (¡1; +1));Точки пересечения с осями: (¡3; 0), (1; 0), (2; 0), (0; 6); y > 0 на интервалах

(¡3; 1) и (2; +1), y < 0 на интервалах (¡1; ¡3) и (1; 2); y(¡1) =

график выпуклый вверх на интервале (¡1; 0) и выпуклый вниз на интервале (0; +1), x = 0 точка перегиба.

15.5. Функция общего вида. О.О.Ф: (¡1; ¡1) S(¡1; +1); y > 0

при x > ¡1, y < 0 при x < ¡1; y(¡1) = ¡1, y(+1) = +1, y(¡1¡0) = ¡1, y(¡1+0) = +1; x = ¡1 вертикальная асимптота, y = x¡1 наклонная асимптота; возрастает на интервалах (¡1; ¡4)

и(2; +1), убывает на интервалах (¡4; ¡1) и (¡1; 2); ymax = y(¡4) = ¡8, ymin = y(2) = 4; график выпуклый вверх на интервале (¡1; ¡1)

ивыпуклый вниз на интервале (¡1; +1).

92

вверх при x < 0 и выпуклый вниз при x > 0; x = 0 точка перегиба.

(¡1; 3); y(¡1) = ¡1, y(+1) = +1, y(¡4 ¡ 0) = ¡1, y(¡4 + 0) = +1; x = 4 вертикальная асимптота, y = x¡6 наклонная асимптота; возрастает на интервалах (¡1; ¡4 ¡ p21), (¡4 + p21; +1),

убывает на интервалах (¡4 ¡ p21; ¡4), (¡4; ¡4 + p21); y = p p p maxp

y(¡4 ¡ 21) = ¡10 ¡ 2 21, ymin = y(¡4 + 21) = ¡10 + 2 21; график выпуклый вверх на интервале (¡1; ¡4) и выпуклый вниз

на интервале (¡4; +1).

93

Эта таблица состоит из двух частей. Под арабскими номерами помещены простейшие интегралы, которые получаются непосредственно из таблицы производных, под римскими цифрами интегралы, вывод которых более сложный.

Как следствие формулы 1. приведем еще две формулы, часто применяемые при вычислении интегралов (очевидно, что во второй формуле n 6= 1).

Основные свойства неопределенных интегралов

ZZ

1o: ® f(x) dx = ® f(x) dx; ® =6 0 постоянная.

3o: Если f(x) dx = F (x) + c;

Z

то f(ax + b) dx = F (ax + b) + c; a и b постоянные. a

П р и м е р 1. Найти

Z

(2 + x2)3 dx:

98

Р е ш е н и е. Применяя свойства 1o, 2o и формулы 1., получаем

ZZ

(2 + x2)3 dx = (8 + 12x2 + 6x4 + x6) dx =

= 8x + 4x3 + 6x5 + x7 + c: 5 7

П р и м е р 2. Найти

Zx2

1 + x2 dx:

Ре ш е н и е. Здесь используются формулы 1. и 9.

= x ¡ arctg x + c:

П р и м е р 3. Найти

Z

dx

(x2 + 4)(x2 + 9):

Р е ш е н и е. Преобразуем этот интеграл, приводя его к таблич-

99

Р е ш е н и е. По формуле 2. имеем

Z

dxx = ln jxj + c:

П р и м е р 5. Найти

Z

cos(3x + 5) dx:

Р е ш е н и е. Вычисления аналогичны предыдущему примеру.

Z

cos(3x + 5) dx = sin(3x + 5) + c: 3

При вычислении следующих интегралов используются известные из школы формулы по тригонометрии:

100