RZVM
.pdfОтветы:
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25.1. y = C e2 (x+6) |
. 25.2. y = C e¡2 cos(2x+7): 25.3. y + 3 = C etg x: |
||||||||||||||||||||||||||||||||
25.4. arctg y = |
1 |
ln j12x + 13j + C. 25.5. 5y + 1 = C e5 arctg x. 25.6. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
12 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
= tg x+C, y = 0. 25.7. y4 = 2x2 ¡4 ln jxj+C, x = 0. 25.8. y = |
|||||||||||||||||||||||||||||||
y ¡ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
4y4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
¡41 ctg 2x |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2x |
|
|
1 |
|
|
|
y |
1 |
|
|
3x |
|
||||||||||||
C e |
|
|
|
. 25.9. arctg y = ¡ |
2 |
e¡ |
|
+C. 25.10. |
|
2 |
arctg |
2 |
= |
3 |
|
|
e |
|
+C. |
||||||||||||||
25.11. y = ectg x¡1. 25.12. y = 2 sin x. 25.13. |
(y + 1)2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= 4 ¡ |
|
|
, y = 1. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
25.14. |
|
|
+ |
|
|
= 8. 25.15. y = Cx ¡ 1. 25.16. ln jy + 1j = ¡ e¡x + C, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
y2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = ¡1. 25.17. y ¡ |
|
= arctg x + C, y = 0. 25.18. y ¡ arctg y = |
|||||||||||||||||||||||||||||||
y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x ¡ arctg x + C. 25.19. x2 + y2 = 2 ln Cx. 25.20. y = |
|
|
|
1 |
|
|
|
, y = 0. |
|||||||||||||||||||||||||
|
1 + Cx |
25.21. y = 3 etg x. 25.22. ln y = e1¡ ctg x.
26. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение линейное относительно неизвестной функции и ее первой производной, т.е. уравнение вида
y0 + p(x)y = f(x);
где p(x) и f(x) некоторые непрерывные функции независимой переменной x.
Если f(x) ´ 0, то линейное уравнение называется однородным. Если f(x) 6´0, то линейное уравнение называется неоднородным.
Метод вариации произвольной постоянной. Сначала интегрируется однородное линейное уравнение
dxdy + p(x)y = 0:
152
В этом уравнении переменные разделяются
|
dy |
= ¡p(x)dx: |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
Интегрируя получаем |
|
||
ln jyj = ¡ Z |
p(x) dx + ln jCj; y = C e¡ R p(x) dx; (C 6= 0): |
При делении на y мы потеряли решение y = 0, которое можно включить в общее решение при C = 0. Итак
R
y = C e¡ p(x) dx;
где C любая постоянная.
Решение неоднородного дифференциального уравнения
y0 + p(x)y = f(x)
будем искать в виде
R
y = C(x) e¡ p(x) dx;
заменяя в решении однородного уравнения произвольную постоянную C на функцию C(x), которую мы и должны найти.
Подставляя предполагаемое решение в неоднородное уравнение, получаем
C0(x) e¡ R p(x) dx¡C(x)p(x) e¡ R p(x) dx+p(x)C(x) e¡ R p(x) dx = f(x)
или |
|
C0(x) = f(x) eR p(x) dx: |
|
Откуда, интегрируя, находим |
|
C(x) = Z |
f(x) eR p(x) dx dx + C1: |
153
П р и м е р ы
1) Решить уравнение
y0 + y tg x = sin x:
Р е ш е н и е. Решаем сначала соответствующее однородное урав-
нение
y0 + y tg x = 0:
Разделяя переменные и интегрируя, получаем
dy |
= ¡y tg x; |
dy |
= ¡ |
sin x |
Z |
dy |
= Z |
d(cos x) |
|
|
|
|
|
dx; |
|
|
; |
||||
dx |
y |
cos x |
y |
cos x |
ln jyj = ln j cos xj + ln jCj;
y = C cos x:
Заменяя постоянную C на функцию C(x), решение неоднородного уравнения ищем в виде
y = C(x) cos x:
Подставляем эту функцию и ее производную
y0 = C0(x) cos x ¡ C(x) sin x
в неоднородное уравнение
C0(x) cos x ¡ C(x) sin x + C(x) cos xcossin xx = sin x:
Заметим, что если в ходе решения мы не делаем никаких ошибок, то выражения, содержащие C(x), должны уничтожаться. Из предыдущего соотношения имеем уравнение для нахождения функции C(x)
C0(x) = sin x cos x
Откуда следует
C(x) = ¡ ln j cos xj + C;
154
где C произвольная постоянная. Подставляя найденную функцию C(x) в выражение y = C(x) cos x, в виде которого ищем решение неоднородного уравнения, получаем общее решение этого уравнения
y= (C ¡ ln j cos xj) cos x:
2)Решить уравнение
(2 ey ¡ x)y0 = 1:
Р е ш е н и е. В этом уравнении только переменная x находится в первой степени. Рассматривая его как уравнение относительно x(y)
и учитывая, что
y0(x) = x01(y);
это уравнение приводим к линейному относительно функции x(y)
|
|
|
x0 + x = 2 ey: |
||
Решаем однородное уравнение |
|
|
|||
|
|
|
x0 + x = 0: |
||
Имеем |
|
dx |
|||
|
dx |
|
|||
|
|
|
= ¡x; |
|
= ¡dy; |
|
dy |
x |
ln jxj = ¡y + ln jCj; x = C e¡y:
Решение неоднородного уравнения ищем в виде x = C(y) e¡y:
Подставляя в неоднородное уравнение, получаем
C0(y) e¡y ¡ C(y) e¡y + C(y) e¡y = 2 ey;
C0(y) = 2 e2y; C(y) = e2y + C;
x = ( e2y + C) e¡y:
Окончательно заключаем, что общее решение исходного уравнения
имеет вид
x = C e¡y + ey:
155
27. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
Линейным однородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение
ay00 + by0 + cy = 0;
где a; b; c постоянные вещественные числа.
Нахождение решения однородного уравнения непосредственно связано с решением его характеристического (алгебраического)
уравнения:
a¸2 + b¸ + c = 0 = 0;
которое составляется из дифференциального уравнения заменой y00 на ¸2, y0 на ¸, y на 1.
Возможны следующие случаи:
1) Характеристическое уравнение имеет различные действительные корни ¸1 =6 ¸2. Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид
y= C1 e¸1x + C2 e¸2x:
2)Характеристическое уравнение имеет равные действительные
корни ¸1 = ¸2 = ¸. Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид
y= (C1 + C2x) e¸x:
3)Характеристическое уравнение имеет комплексно-сопряжен- ные корни ® § ¯i. Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид
y = e®x(C1 cos ¯x + C2 sin ¯x):
157
П р и м е р ы
1) Решить уравнение
y00 + y0 ¡ 2y = 0:
Р е ш е н и е. Составляем характеристическое уравнение
¸2 + ¸ ¡ 2 = 0:
Корни этого уравнения ¸1 = 1 и ¸2 = ¡2 действительные и различные. Следовательно, общее решение этого уравнения имеет вид
y = C1 ex + C2 e¡2x:
2) Решить уравнение
y00 + 4y0 + 4y = 0:
Р е ш е н и е. Составляем характеристическое уравнение
¸2 + 4¸ + 4 = 0:
Корни этого уравнения ¸1 = ¸2 = ¡2 действительные и равные. Общее решение этого уравнения имеет вид
y= (C1 + C2x) e¡2x:
3)Решить уравнение
y00 ¡ 4y0 + 13 = 0:
Р е ш е н и е. Составляем характеристическое уравнение
¸2 ¡ 4¸ + 13 = 0:
Корни этого уравнения ¸ = 2 § 3i комплексно-сопряженные. Следовательно, общее решение этого уравнения имеет вид
y = e2x(C1 cos 3x + C2 sin 3x):
158
Задачи для практических занятий
Решить линейные дифференциальные уравнения:
27.1. |
y00 ¡ y0 ¡ 2y = 0. |
27.2. |
y00 + 8y0 |
+ 12y = 0. |
|||||
27.3. |
y00 ¡ 12y0 = 0. |
27.4. |
2y00 ¡ 5y0 |
+ 3y = 0. |
|||||
27.5. |
y00 ¡ 2y0 + |
10y = 0. |
27.6. |
y00 + 9y = 0. |
|||||
27.7. |
y00 ¡ 6y0 + |
9y = 0. |
27.8. |
9y00 + 6y0 |
+ y = 0. |
||||
27.9. |
y00 ¡ 2y0 |
¡ |
3y = 0. |
27.10. |
y00 + y = 0. |
||||
27.11. |
y00 |
¡ 7y0 |
+ |
6y = 0. |
27.12. |
y00 |
¡ 3y0 |
+ 2y = 0. |
|
27.13. |
y00 |
+ 6y0 |
¡ |
7y = 0. |
27.14. |
y00 |
+ 12y0 |
¡ 13y = 0. |
|
27.15. |
y00 |
+ 4y0 |
+ |
8y = 0. |
27.16. |
y00 |
+ 8y0 |
+ 16y = 0. |
|
27.17. |
y00 |
¡ 25y0 = 0. |
27.18. |
y00 |
+ 8y0 |
+ 17y = 0. |
Домашнее задание
27.19. 2y00 + 5y0 |
+ 3y = 0. |
27.20. y00 |
+ 36y0 = 0. |
||
27.21. y00 |
¡ 2y0 |
+ y = 0. |
27.22. 16y00 + 8y0 + y = 0. |
||
27.23. y00 |
+ 2y0 |
+ 2y = 0 |
27.24. y00 |
¡ y0 + y = 0. |
|
27.25. y00 |
+ 32y0 |
+ 545y = 0. |
27.26. y00 |
+ !2y = 0; ! > 0. |
159
Ответы:
27.1. y = C1 e¡x + C2 e2x. 27.2. y = C1 e¡2x + C2 e¡6x. 27.3. y =
3x
C1 + C2 e12x. 27.4. y = C1 ex + C2 e 2 . 27.5. y = ex(C1 cos 3x +
C2 sin 3x). 27.6. y = C1 cos 3x + C2 sin 3x. 27.7. y = (C1 + C2x) e3x.
¡x
27.8. y = (C1 + C2x) e 3 . 27.9. y = C1 e¡x + C2 e3x. 27.10. y =
C1 cos x+ C2 sin x. 27.11. y = C1 ex + C2 e6x. 27.12. y = C1 ex + C2 e2x. 27.13. y = C1 ex + C2 e¡7x. 27.14. y = C1 ex + C2 e¡13x. 27.15. y = e¡2x(C1 cos 2x + C2 sin 2x). 27.16. y = (C1 + C2x) e¡4x. 27.17. y = C1 + C2 e25x. 27.18. y = e¡4x(C1 cos x + C2 sin x). 27.19. y =
C1 e¡x + C2 e¡ |
3x |
. 27.20. y = C1 + C2 e¡36x. 27.21. (C1 + C2x) ex. |
||||||
2 |
||||||||
27.22. y = (C1 +C2x) e¡x4 . 27.23. y = e¡x(C1 cos x+C2 sin x). 27.24. |
||||||||
x |
p |
|
|
p |
|
|
||
|
|
|||||||
y = e 2 ÃC1 cos |
|
3 |
x + C2 sin |
3 |
x!. 27.25. y = e¡16x(C1 cos 17x + |
|||
|
2 |
2 |
C2 sin 17x). 27.26. y = C1 cos !x + C2 sin !x.
28. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
Линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение
ay00 + by0 + cy = f(x);
где a; b; c постоянные вещественные числа, f(x) заданная функция, f(x) 6´0.
Решение неоднородного уравнения складывается из общего решения y = y0(x) однородного уравнения и частного решения y = yч(x) решения неоднородного уравнения:
y = y0(x) + yч(x):
160