RZVM

A конечное, отличное от нуля положительное число (0 < A < +1), то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Ряды, исследуемые на сходимость с помощью этих признаков, обычно сравнивают с гармоническим рядом

n=1 np = 1 + 2p + 3p + ¢ ¢ ¢ + np + ¢ ¢ ¢ ;

который сходится при p > 1 и расходится при p · 1, или с суммой

бесконечно убывающей геометрической прогрессии

X1 qn = 1 + q + q2 + q3 + ¢ ¢ ¢ = 1 ¡1 q ;

n=0

где 0 < q < 1.

П р и м е р 1. Исследовать сходимость ряда

3 + 9 + 19 + ¢ ¢ ¢ = n=1 2n2 + 1:

Р е ш е н и е. Ряд расходится, так как не выполняется необходимое

n=1

Р е ш е н и е. В этом случае не существует предела n-го члена,

lim an = lim (¡1)n¡1 не существует. Необходимое условие сходи-

n!1 n!1

мости не выполняется. Ряд расходится.

П р и м е р 3. Исследовать сходимость ряда

X1 1

n=1 2n + n:

171

Р е ш е н и е. При n ¸ 1 выполняется неравенство

X1 µ1¶n

Ряд сумма бесконечно убывающей прогрессии. Он схо-

n=1 2

дится. Применяя мажорантный признак сравнения, получаем, что исходный ряд сходится.

П р и м е р 4. Исследовать сходимость ряда

Р е ш е н и е. Ряд сходится согласно мажорантному признаку сравнения, так как

X1 1

а ряд n=1 n2 сходится как гармонический с показателем p = 2 > 1. П р и м е р 5. Исследовать сходимость ряда

p = 2 < 1. Следовательно, исходный ряд расходится (мажорантный признак сравнения).

172

Признак Даламбера. Пусть дан ряд

X1

an

n=1

и существует конечный или бесконечный предел

lim jan+1j = q:

n!1 janj

1)Если q < 1, то ряд сходится.

2)Если q > 1, то ряд расходится.

3)Существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых q = 1.

Признак Коши. Пусть дан ряд

X1

an

n=1

и существует конечный или бесконечный предел p

lim n janj = q:

n!1

1)Если q < 1, то ряд сходится.

2)Если q > 1, то ряд расходится.

3)Существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых q = 1.

За м е ч а н и е. Если признак Даламбера или Коши применяем к числовым рядам с положительными членами, то очевидно, что нужно рассматривать пределы

П р и м е р 8. Исследовать сходимость ряда

X1 2n ¡ 1 2n :

n=1

174

Следовательно, данный ряд сходится (признак Даламбера).

П р и м е р 9. Исследовать сходимость ряда

X1 3n ¢ n!

n=1 nn :

Р е ш е н и е. Напомним, что n! это произведение первых n последовательных чисел натурального ряда:

175

n=1

сходится, если 1) последовательность абсолютных величин членов ряда моно-

тонно убывает, т.е. cn+1 < cn,

сходится, так как выполнены все условия признака Лейбница.

176

П р и м е р 13. Исследовать сходимость ряда

X1 (¡1)n¡1 2n + 1 : n(n + 1)

n=1

Р е ш е н и е. Ряд знакочередующийся. Проверим условия при-

по признаку Лейбница.

З а м е ч а н и е. Все приведенные здесь признаки сходимости остаются справедливы, если их условия будут выполняться, начиная

снекоторого номера.

Пр и м е р 14. Исследовать сходимость ряда