Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

MMATAN02

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

651.36 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

lim

− 3x + 2

x→1 x5

− 4x + 3

√

− 3

lim

− x

√

→−

√

+ 2

lim

x − 6

x→−2

x3 + 8

3.	lim	x3 − 2x2 − 4x + 8							.
	x→2	√	x4 − 8x2 + 16
		√			− 2	√				.
5.	lim		x + 13		− 2		x	+ 1
5.	lim			x2 − 9
	x→3			x2 − 9
		n
		n
7.	lim	√1 + x − 1				(n — целое).
	x→0			x

8. x→+∞		x +	x + √x − √x .
lim

Ответы

1. 5−5. 2. 1. 3.	1	.	4.	−2. 5.	−	1	6.	1	.	7.	1	.	8.	1	.

	4					16		144			n			2

Занятие 3. Первый и второй замечательные пределы

Задание

Найти пределы функций:

lim

sin 5x

x→0

lim

cos x − cos 3x

x→0

lim

x→0

√1 + x sin x −

√

cos x

1−

√

а) x→0

1 + x

1−x

;

2 + x

lim

1−

√

1 + x

1−x

в) x→+∞ 2 + x

lim

2. lim sin mx . x→π sin nx

4.	lim	(1	−	x)	tg	πx	.
						2
	x 1
	→

				1−√
		1	+ x	1−√	x
б)	x→1	1	+ x	1−x		;
б)	x→1	2	+ x			;
	lim

lim

√

−

2x.

x 0

→

1 + tg x

x→0

sin x

1 + sin x

lim

( tg x) tg 2x.

11.

lim

x→π4

13.

lim

ln(1 + x)

x→0

x + a

x→∞

x − a

lim

cos x

10.

x→0

cos 2x

lim

cosn

12.

nlim

√

→∞

14.

lim

ax − 1

(a > 0).

x→0

Решения

При вычислении следующих пределов будем использовать первый и второй замечательные пределы:

sin α

lim

= 1,

lim (1 + α) α = e.

α→0

lim

sin 5x

= lim

sin 5x

5 = 5.

x 0

→

lim

sin mx

Замена

x = π

= lim

sin(mπ − mt)

x→π sin nx m

−

t→0

sin(nπ − nt)

= lim

(−1) sin mt

= (

1)m−n lim

sin mt

(−1)n sin nt

· sin nt ·

t→0

−

t→0 mt

= (−1)m−n

lim

cos x − cos 3x

= lim

2 sin 2x sin x

= lim

sin 2x

sin x

4 = 4.

x 0

→

−

→

− 2

x→1

2 = [ Замена x = 1 − t] = t→0

lim (1

πx

lim t

πt

lim

= lim

= t→0 t ctg

t→0 sin

πt

· cos

· π

√

+ √

1 + x sin x

√cos x

x→0

cos x

5. x→0 √1 + x sin x −

1 − cos x + x sin x

lim

= lim

√

+ √

1 + 1

. Здесь

1 + x sin x

= lim

cos x

1 − cos x

+ sin x

x→0

+ 1

x 0

−x2

x 0

lim

cos x

= lim

2 sin2

= lim

sin 2

→

1−√

1 + x

lim

1−x

а)

2 + x

1−√

= 2 ;

x→0

1 + x

−

1 + x

√

lim

;

б)

x→1

2 + x

1−

√

= x→1

2 + x

1 + x

lim

1−x

2 + x

= 1 = 1.

в) x→+∞

(1 − 2x)

−2x

lim

lim (1

2x)

= lim

−

x→0

1 − 2x = x→0

−

x→0

e−

x + a

lim

= lim

1 +

x − a

x→∞ x − a

x→∞

2ax

= xlim

x2−aa

1 + x

2a a

x−a

= e2a.

→∞

−

1 + tg x

lim

sin x

= lim

sin x

1 + sin x

1 + 1 + sin x −

x→0

1+sin x

tg x−sin x

(1+sin x) sin x

tg x − sin x

= lim

1 +

tg x−sin x

= e0 = 1.

x→0

1 + sin x

cos x

10.

x→0

= x→0

cos 2x

cos 2x −

lim

1 +

−

cos 2x

cos2

lim

cos

cos 2x

x−2

x→0

cos 2x

= lim

1 +

cos x

− cos 2x

cos x−cos 2x

x→0

2 .

Здесь

cos x − cos 2x

2 sin

sin

lim

= lim

· 2

x 0

→

x→π4

−

tg 2x( tg x−1)

11.

lim

( tg x) tg 2x = lim

(1 + tg x

tg x−1

lim

tg 2x( tg x − 1)

= ex→π4

= e−1, так как предел показателя равен

lim

2x(

x 1) =

lim

sin 2x

sin x − cos x

= lim

−2 sin x

−

sin x + cos x

x→π4

−

x→π4

cos 2x

cos x

x→π4

cos

√n −

cos

12.

nlim cosn √n

= nlim

1 + cos √n

√n −

→∞

−

lim n

cos √

= e

так как n→∞

√n −

n→∞

n −

−

lim

cos

1 =

sin

√

lim n

2 sin2

2 lim

− n→∞

2√n

−

n→∞

2√n

−

ln(1 + x)

13. lim

= lim ln(1 + x) x = ln e = 1.

x→0

14. Сделаем замену ax − 1 = t. Тогда x = ln(1 + t) . ln a

Используя результат предыдущей задачи, получаем

lim	ax − 1	= ln a	·	lim	t	= ln a.
	x
x 0				t 0 ln(1 + t)
→				→

Задачи для самостоятельной работы

lim

sin 5x − sin 3x

x→0

sin x

√

− √

lim

1 + tg x

1 + sin x

x→0

x + 2

x→∞ 2x − 1

lim

x2 − 1

lim

x→∞ x2 + 1

sin x

x−a

x→a sin a

lim

11.lim x(ln(x + 1) − ln x).

x→+∞

x→π4

4 −

lim

tg 2x tg

x .

lim

√

x).

x +

(sin

x + 1 − sin

→ ∞

3x2 − x + 1

lim

1−x .

2x2 + x + 1

x→∞

− 3x − 2

2x2

lim

+ 2x − 1

10.

lim (sin x) tg x.

x→π2

12.

lim

ln x − ln a

x→a

x − a

Ответы

1. 2.2. 12 . 3. 14 . 4. 0. 5. 0. 6. 0. 7. e3. 8. 1. 9. e ctg a (a = kπ, k Z). 10. 1. 11. 1. 12. a1 .

Занятие 4. Самостоятельная работа

1.	lim	x3 − 2x − 1					.
	x→−1 x5 − 2x − 1
		√
3.	lim	4		x	− 2 .
	lim			x	− 2 .
	x 16	√		x − 4
	→			x − 4
5.	lim	tg x − sin x				.
	x→0		sin3 x
7.	lim (1 + x2) ctg 2x.
	x→0

9.lim cos √

x x.

x→0

√x +

√x

lim

x→+∞

√2x + 1 .

4. lim

√8 + 3x − x2 − 2

x→0

x + x2

lim

cos x − cos a

x→a

x − a

lim (1 + sin πx) ctg πx.

x→1

n + x

10.

n→∞ n − 1

lim

Ответы

1.	1	. 2.	1		. 3.	1	. 4.	1	. 5.	1	. 6. − sin a. 7.	e. 8.	e−1. 9.	1		.
			√											√
	3					4		4		2
				2											e
10.		ex+1.

Занятие 5. Определение предела функции

Задание

1. С помощью “ε − δ”-рассуждений доказать, что

lim x2 = 4.

x→2

2. На языке ”ε − δ” доказать, что

lim	1	= +∞.
	(1 − x)2
x→1

Сформулировать на языке “ε − δ” для функции действительного переменного f : (E R) → R следующие утверждения:

3.	lim f (x) = b.		4.	lim	f (x) = b.		5.	lim f (x) = b.
	x→a			x→a−0				x→∞
6.	lim f (x) =	∞.	7.	lim f (x) =		−∞.	8.	lim f (x) = +	∞.
6.	x a	∞.	7.	x a		−∞.	8.	x a	∞.
	→			→				→

9.lim f (x) = −∞.

x→a+0

11.lim f (x) = +∞.

x→−∞

13.lim f (x) = −∞.

10. lim f (x) = ∞.

x→∞

12.lim f (x) = ∞.

x→+∞

	x→+∞
14.	R	R	16.	R	R
14.	f (x) → b − 0	при x → a.	16.	f (x) → b − 0	при x → +∞.
15.	R	R	17.	R	R
15.	f (x) → b + 0	при x → a.	17.	f (x) → b + 0	при x → ∞.

Сформулировать для различных функций на языке символики следующие утверждения (здесь (X, dX ) и (Y, dY ) — метрические пространства):

18.	Rm	Rn
	f(x) −→ A при x −→ a.
19.	C	Rn
	f (x) −→ A при x −→ a.

20.	Rm	X
	f(x) −→ A при x −→ a.
21.	Y	Rn
	f (x) −→ A при x −→ a.

Решения

1. По определению предела

lim		def
	2	= 4
x 2 x
→

( ε > 0)( δ(ε) > 0)( x R, 0 < |x − 2| < δ) : |x2 − 4| < ε.

Предполагая выполнение последнего неравенства, найдем оценку для |x − 2|:

|x2 − 4| = |x − 2||x + 2| = |x − 2||x − 2 + 4| ≤ |x − 2|2 + 4|x − 2| < ε.

После замены |x − 2| = t, где t > 0, приходим к квадратному неравенству

t2 + 4t − ε < 0.

Решая его, получаем с учетом ограничения на t

0 < t < −2 + √4 + ε = δ(ε).

Таким образом, при 0 < |x − 2| < δ(ε) = √4 + ε − 2 выполняется |x2 − 4| < ε, что и нужно было доказать.

2. По определению предела

lim

= +

def

∞

(1 − x)2

x→1

( ε > 0)( δ(ε) > 0)( x R, 0

< |x − 1|

< δ) :

> ε.

(1 − x)2

Из последнего неравенства получаем

> ε 0 < (x − 1)2 <

0 <

|x − 1| < √

= δ(ε).

(x − 1)2

lim

def

x a f (x) = b

→

( ε > 0)( δ(ε) > 0)( x E, 0 < |x − a| < δ) : |f (x) − b| < ε.

lim

def

0 f (x) = b

4. x a

→ −

( ε > 0)( δ(ε) > 0)( x E, 0 < a − x < δ) : |f (x) − b| < ε.

5.	xlim	def
5.	xlim	f (x) = b
	→∞

( ε > 0)( δ(ε) > 0)( x E, |x| > δ) : |f (x) − b| < ε.

6. lim	def

x a f (x) = ∞
→

( ε > 0)( δ(ε) > 0)( x E, 0 < |x − a| < δ) : |f (x)| > ε.

7	. lim f (x) =	def
	. lim f (x) =	−∞
	x a	−∞
	→

( ε > 0)( δ(ε) > 0)( x E, 0 < |x − a| < δ) : f (x) < −ε.

8	. lim	def

	x a f (x) = +∞
	→

( ε > 0)( δ(ε) > 0)( x E, 0 < |x − a| < δ) : f (x) > ε.

9	.	lim	def

		x a+0 f (x) = −∞
		→

( ε > 0)( δ(ε) > 0)( x E, 0 < x − a < δ) : f (x) < −ε.

10.	xlim	def
10.	xlim	f (x) = ∞
	→∞

( ε > 0)( δ(ε) > 0)( x E, |x| > δ) : |f (x)| > ε.

11.	x lim	def
11.	x lim	f (x) = +∞
	→−∞

( ε > 0)( δ(ε) > 0)( x E, x < −δ) : f (x) > ε.

12	.	lim	f (x) =	def
	.	lim	f (x) =	∞
		x +		∞
		→ ∞

( ε > 0)( δ(ε) > 0)( x E, x > δ) : |f (x)| > ε.

13	.	lim	f (x) =	def
	.	lim	f (x) =	−∞
		x +		−∞
		→ ∞

( ε > 0)( δ(ε) > 0)( x E, x > δ) : f (x) < −ε.

14.	f (x) → b − 0 при x → a
	R	R	def

( ε > 0)( δ(ε) > 0)( x E, 0 < |x − a| < δ) : 0 < b − f (x) < ε.

15.	f (x) → b + 0 при x → a
	R	R	def

( ε > 0)( δ(ε) > 0)( x E, 0 < |x − a| < δ) : 0 < f (x) − b < ε.

16.	f (x) → b − 0 при x → +∞
	R	R	def

( ε > 0)( δ(ε) > 0)( x E, x > δ) : 0 < b − f (x) < ε.

17.	f (x) → b + 0 при x → ∞
	R	R	def

( ε > 0)( δ(ε) > 0)( x E, |x| > δ) : 0 < f (x) − b < ε.

18. Для функции f : (E Rn) → Rm

Rm	Rn	def
f(x) −→ A при x −→ a

( ε > 0)( δ > 0)( x E, 0 < x − a Rn < δ) : f(x) − A Rm < ε.

19. Для функции f : (E Rn) → C

C	Rn	def
f (x) −→ A при x −→ a

( ε > 0)( δ > 0)( x E, 0 < x − a Rn < δ) : |f (x) − A|C < ε.

20. Для функции f : (E (X, dX )) → Rm

Rm	X	def
f(x) −→ A при x −→ a

( ε > 0)( δ > 0)( x E, 0 < dX (x, a) < δ) : f(x) − A Rm < ε.

21. Для функции f : (E Rn) → (Y, dY )

Y	Rn	def
f (x) −→ A при x −→ a

( ε > 0)( δ > 0)( x E, 0 < x − a Rn < δ) : dY (f (x), A) < ε.

Задачи для самостоятельной работы

Сформулировать на языке ”ε −δ” для функции действительного переменного f : (E R) → R следующие утверждения:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.11.20191.59 Mб5MINISTERSTVO_OBRAZOVANIYa_I_NAUKI_ROSSIJSKOJ_FE...doc
#
27.03.201564.08 Кб11mirovaya_ekonomika.docx
#
27.03.201570.9 Кб14Mirovaya_ekonomika_Mikheeva_bilety.docx
#
16.09.2019211.97 Кб3Mirovozzrenie_i_ego_tipy.doc
#
27.03.20151.12 Mб24MMATAN01.pdf
#
27.03.2015651.36 Кб28MMATAN02.pdf
#
27.03.20151.02 Mб93MMATAN04.pdf
#
27.03.20151.1 Mб27MMATHAN05.pdf
#
01.09.2019285.18 Кб6Module 3_Company.doc
#
24.08.201941.3 Кб3moi_laby.docx
#
22.09.2019482.82 Кб1moi_otvety_na_fto_sukhodoev.doc