MMATAN02

З а м е ч а н и е. В определении непрерывности функции f : (E Rk ) → R величина δ = δ(ε, t) > 0 зависит не только от числа ε > 0, но и от точки t E, т.е. при фиксированном ε > 0 с изменением точки t значение δ(ε, t), вообще говоря, изменяется. Для равномерной непрерывности нужно существование δ = δ(ε) > 0, такого, которое годилось бы сразу для всех точек t E (не зависело бы от t). Однако этого может и не быть. Например, f : (0, 1] → R, за-

данная формулой f (x) = x1 , непрерывна в каждой точке интервала

(0, 1]. Но f (x) − f (t) = x1 − 1t = tx1 (t − x) и

|f (x) − f (t)| = tx1 |x − t| < ε

лишь тогда, когда |x − t| < εtx. Если t → 0, то величина εtx при фиксированном ε и любых t (0, 1] также будет стремиться к нулю и числа δ > 0, не зависящего от t, т.е. годного для всех t (0, 1], не существует.

Из равномерной непрерывности следует непрерывность в каждой точке, а значит, и на множестве. Нижеследующая теорема дает достаточные условия, при которых из непрерывности функции на множестве следует ее равномерная непрерывность на этом множестве.

Теорема 2.12

(Теорема Кантора.) Пусть E Rk – ограниченное и замкнутое множество и f : (E Rk ) → R — непрерывная функция на E. Тогда f (x) равномерно непрерывна на множестве E.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим противное, что f (x) не является равномерно непрерывной на E, т.е.

( ε0 > 0)( δ > 0)( xδ E, tδ E, xδ −tδ < δ) : |f (xδ )−f (tδ )| ≥ ε0.

Возьмем последовательность положительных чисел {δn}, δn → 0. Тогда

( δn > 0)( xn E, tn E, xn − tn < δn) : |f (xn) − f (tn) ≥ ε0.

61

Так как множество E ограниченное, то последовательность {xn} ограниченная и, следовательно, по теореме Больцано—Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность xnk → x0, где, очевидно, x0 — предельная точка множества E. В силу замкнутости множества E точка x0 E. Далее так как xnk − tnk < δnk и δnk → 0, то xnk − tnk → 0, и в силу непрерывности нормы (следствие к теореме 2.5) xnk − tnk → θ, так что и tnk → x0. Ввиду непрерывности функции f в точке x0 E, мы имеем f (xnk ) → f (x0). Откуда

f (xnk ) − f (tnk ) → 0,

что противоречит предположению

|f (xn) − f (tn)| ≥ ε0.

2.5. Свойства непрерывных функций

Теорема 2.13

(Первая теорема Вейерштрасса). Пусть E Rk — ограниченное и замкнутое множество. Если f : (E Rk ) → R — непрерывная функция на E, то f ограничена.

Чтобы выяснить, насколько важны условия в формулировке теоремы, рассмотрим несколько примеров, в каждом из которых не выполняется только одно из этих условий.

П р и м е р ы. 1) Пусть E = R, а f (x) = x : R → R. В этом случае E — замкнутое множество, но оно не является ограниченным. Функция f (x) непрерывна на множестве E. Очевидно, что f (x) = x неограничена на множестве E = R (рис. 2.1 слева).

2) Пусть E = (0, 1], а f (x) = x1 : (0, 1] → R. В этом примере множество E ограничено, но не является замкнутым (предельная точка x = 0 не принадлежит множеству (0, 1]). Функция f (x) = x1

непрерывна на множестве E, но она неограничена на этом множестве (рис. 2.1 в центре).

62

Теорема 2.14

(Вторая теорема Вейерштрасса). Пусть E Rk — ограниченное и замкнутое множество. Если f : (E Rk ) → R — непрерывная функция на E, то она достигает на множестве E своей точной верхней и точной нижней границы.

Иными словами, существуют x1 и x2 из множества E, такие, что

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть M = sup f (x) и f не дости-

x E

гает верхней грани, т.е. для любых x E выполняется f (x) < M . Рассмотрим функцию

1

g(x) = M − f (x) > 0.

Эта функция непрерывна и, следовательно, по первой теореме Вейерштрасса она ограничена, т.е. существует число μ > 0, такое, что g(x) < μ для всех x E. Но тогда

1

M − f (x) < μ.

Откуда следует

f (x) < M − μ1 < M

для любых x E, т.е. M не является верхней границей. Аналогично доказывается второе утверждение теоремы.

Теорема 2.15

(Первая теорема Коши для функции одного переменного.) Пусть функция f : [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b] и принимает на концах сегмента значения разных знаков: это означает, что

f (a) · f (b) < 0.

Тогда существует точка c (a, b), такая, что f (c) = 0.

64

Интересно геометрическое толкование этой теоремы.

График непрерывной функции f (x), a ≤ x ≤ b, представляет из себя непрерывную кривую. Если, например, f (a) < 0, а f (b) > 0, то кривая, соединяющая точки (a, f (a)) и (b, f (b)), непременно пересечет ось x хотя бы в одной точке c (a, b), в которой f (c) = 0 (рис. 2.2).

Рис. 2.2

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для определенности положим f (a) < 0

значения разных знаков (отрицательное значение на левом конце и положительное на правом). Обозначив этот промежуток [a1, b1], получим f (a1) < 0 и f (b1) > 0. Аналогично, разделив [a1, b1] пополам, получим промежуток [a2, b2], для которого f (a2) < 0 и f (b2) > 0 (мы будем предполагать всегда, что в точке деления f = 0). Продолжая этот процесс, будем иметь на концах n-го промежутка [an, bn] значения функции разных знаков, f (an) < 0 и f (bn) > 0, причем для

65

По лемме о вложенных промежутках существует точка c (a, b), для

Откуда следует f (c) = 0.

Определение 2.8. Отрезком в Rk, соединяющим точки x1 и x2, назовем множество точек x Rk , удовлетворяющих уравнению x = x1 + t(x2 − x1), где 0 ≤ t ≤ 1.

Для лучшего понимания этого определения рассмотрим в плоскости R2 две точки x1 и x2 (рис. 2.3), и пусть x — произвольная точка на отрезке, соединяющем эти точки.

Рис. 2.3

коллинеарны и направлены в одну сторону. Следовательно,

x − x1 = t(x2 − x1),

66

где скалярная величина t неотрицательна и t ≤ 1, так как длина

−→ −−→

вектора AC не превосходит длины вектора AB. Откуда получаем уравнение отрезка в плоскости, соединяющего точки x1 и x2,

x = x1 + t(x2 − x1), 0 ≤ t ≤ 1.

Это уравнение обобщается на пространство любого измерения.

Определение 2.9. Ломаной линией в Rk с вершинами в точках x1, x2, . . . , xm назовем множество точек, лежащих на отрезках, соединяющих xi и xi+1, i = 1, 2, . . . , m − 1.

Определение 2.10. Множество E Rk называется связным, если любые его две точки можно соединить ломаной линией, лежащей в E.

На рисунке 2.4 приведены примеры связных множеств. На правом рисунке граница принадлежит множеству E2 и, следовательно, точка x2 (точка пересечения прямых AB и CD) принадлежит множеству E2.

y; yy;; ;;;yyy

Рис. 2.4

На рисунке 2.5 приведены примеры несвязных множеств. На правом рисунке граница не принадлежит множеству E2 и, следовательно, точка пересечения прямых AB и CD не принадлежит этому множеству. В обоих случаях точки x1 и x2 невозможно соединить ломаной линией, принадлежащей множеству.

67

y; y;yy;; y;yy;;

Рис. 2.5

Теорема 2.16

(Первая теорема Коши для функции многих переменных). Пусть

E Rk — связное множество, f : (E Rk ) → R — непрерывная функция на E и точки a E и b E, такие, что

f (a) · f (b) < 0.

Тогда существует точка c E, в которой

f (c) = 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Соединим точки a и b ломаной линией, лежащей в E. Вычислим значения функции f (x) в вершинах ломаной. Возможны случаи:

1)В одной из вершин f (x) = 0. Тогда теорема установлена.

2)Во всех вершинах f (x) = 0. Тогда существует отрезок ломаной, соединяющий некоторые точки x1 и x2 из E, такие, что

f (x1)f (x2) < 0.

Уравнение этого отрезка имеет вид

x = x1 + t(x2 − x1) (0 ≤ t ≤ 1).

Рассмотрим функцию f (x) на этом отрезке. Имеем f (x) = f (x1 + t(x2 − x1)) = F (t).

68

Функция F (t) непрерывна на сегменте [0, 1] и

F (0)F (1) = f (x1)f (x2) < 0.

Но тогда по предыдущей теореме существует точка ξ (0, 1), такая, что F (ξ) = 0, и, следовательно, полагая c = x1 + ξ(x2 − x1), будем иметь

F (ξ) = f (x1 + ξ(x2 − x1)) = f (c) = 0.

Теорема 2.17

(Вторая теорема Коши.) Пусть E Rk — связное множество, функция f : (E R) → R — непрерывна на E и точки a E и b E, такие, что

f (a) < f (b).

Тогда f (x) принимает все значения на интервале (f (a), f (b)).

Рис. 2.6

Следующий пример является хорошей иллюстрацией этой теоремы.

Если функция f : [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b], то кривая y = f (x), соединяющая точки (a, f (a)) и (b, f (b)), также непрерывна. Тогда, как видно из рисунка 2.6, для любого значения C, такого, что f (a) < C < f (b), существует хотя бы одна точка c (a, b), в которой f (c) = C.

69

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть C — любое число, такое, что f (a) < C < f (b).

Рассмотрим функцию

g(x) = f (x) − C.

Она удовлетворяет всем условиям первой теоремы Коши:

1.g(x) = f (x) − C — непрерывная функция на множестве E.

2.g(a) = f (a) − C < 0 и g(b) = f (b) − C > 0.

Но тогда существует точка t E, такая, что g(t) = 0 и f (t) = C.

70