MMATAN02

Определение 2.2. Пусть A, B, C — множества произвольной природы. Если

f : A → B, g : (f (A) B) → C,

то функция

называется сложной функцией для f и g или суперпозицией отображений f и g.

Теорема 2.3

Пусть (X, dX ), (Y, dY ), (Z, dZ ) — метрические пространства и

Тогда, если f непрерывна в точке x0, а g непрерывна в точке f (x0), то h непрерывна в точке x0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как g непрерывна в точке f (x0), то

( ε > 0)( η > 0)( y f (E), dY (y, f (x0)) < η) : dZ (g(y), g(f (x0))) < ε.

Поскольку f непрерывна в точке x0, то

( η > 0)( δ > 0)( x E, dX (x, x0 ) < δ) : dY (f (x), f (x0)) < η.

Сравнивая последние два соотношения и учитывая, что y = f (x), g(y) = g(f (x)), получаем

( ε > 0)( δ > 0)( x E, dX (x, x0 ) < δ) : dZ (g(f (x)), g(f (x0))) < ε.

51

Теорема 2.4

(Устойчивость знака непрерывной функции). Пусть задана действительно значная функция f : (E X) → R, определенная на множестве E метрического пространства (X, d). Если f (x) непрерывна в точке x0 E и если f (x0) = 0, то существует Oδ (x0)-окрестность точки x0, такая, что для всех x Oδ (x0) E функция f (x) имеет знак, совпадающий со знаком f (x0).

Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению непрерывности функции f (x) в точке x0

( ε > 0)( δ = δ(ε) > 0)( x E, d(x, x0) < δ) : |f (x) − f (x0)| < ε.

Откуда для всех x Oδ E

f (x0) − ε < f (x) < f (x0) + ε.

Возьмем в качестве ε число, удовлетворяющее неравенству 0 <

ε < |f (x0)|. При таком выборе f (x0)−ε и f (x0)+ ε имеет тот же знак, что и f (x0). Следовательно, знак f (x) совпадает со знаком f (x0) при

xOδ (x0) E.

Взаключение этого пункта приведем полезную в дальнейшем теорему.

Теорема 2.5

(Непрерывность расстояния в метрическом пространстве). Пусть

(X, d) — метрическое пространство. Тогда d : X × X → R непрерывная функция, в том смысле, что если

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу аксиомы треугольника

d(xn, yn) ≤ d(xn, x) + d(x, yn) ≤ d(xn, x) + d(x, y) + d(y, yn).

Откуда получаем

d(xn, yn) − d(x, y) ≤ d(xn, x) + d(yn, y).

52

Но в этом неравенстве можно поменять местами xn c x и yn с y

d(x, y) − d(xn, yn) ≤ d(xn, x) + d(yn, y).

Из последних двух неравенств вытекает

|d(xn, yn) − d(x, y)| ≤ d(xn, x) + d(yn, y),

и если xn → x, yn → y, то d(xn, x) → 0, d(yn, y) → 0 и, следовательно, d(xn, yn) → d(x, y).

С л е д с т в и е. (Непрерывность нормы.) В нормированном пространстве для расстояний имеем d(xn, yn) = xn − yn , d(x, y) =

x − y и, если xn → x, yn → y, то xn − yn → x − y . Полагая здесь yn = θ, получаем непрерывность нормы

xn → x при xn → x.

Отсюда, в частности, в силу единственности нулевого элемента θ следует

xn → 0 xn → θ.

2.2.Непрерывность функции действительного переменного

Определение 2.3. Пусть f : (E R) → R — функция действительного переменного и x0 E — предельная точка множества E.

1. Функция f (x) называется н е п р е р ы в н о й в точке x0, если

lim f (x) = f (x0).

x→x0

2.Функция f (x) называется непрерывной с п р а в а в точке x0, если

lim f (x) = f (x0) или f (x0 + 0) = f (x0).

x→x0+0

53

3.Функция f (x) называется непрерывной с л е в а в точке x0, если

lim f (x) = f (x0) или f (x0 − 0) = f (x0).

x→x0−0

Непрерывность функции справа или слева иногда называют односторонней непрерывностью. Следующая теорема устанавливает связь между односторонней непрерывностью с непрерывностью функции в точке.

Теорема 2.6

Пусть f : (E R) → R — функция действительного переменного и x0 E — предельная точка множества E. Функция f (x) непрерывна в точке x0 тогда и только тогда, когда она одновременно непрерывна справа и слева в точке x0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Утверждение теоремы следует из теоремы 1.19 об односторонних пределах, согласно которой

Определение 2.4. Пусть f : (E R) → R — функция действительного переменного и x0 E — предельная точка множества E.

1.Будем говорить, что f (x) разрывна в точке x0, если она не является непрерывной в этой точке.

2.Если f (x) разрывна в точке x0 и если существуют конечные значения f (x0 + 0) и f (x0 −0), то говорят, что f (x) имеет в точке x0 разрыв п е р в о г о рода ( п р о с т о й разрыв). В противном случае разрыв называется разрывом в т о р о г о рода.

Возможны две разновидности разрывов первого рода: либо

f (x0 + 0) = f (x0 − 0)

(в этом случае говорят о разрыве типа конечного скачка, а разность f (x0 + 0) − f (x0 − 0) называют скачком функции f (x) в точке x0), либо

f (x0 + 0) = f (x0 − 0) = f (x0)

54

(в этом случае говорят об устранимом разрыве: значение функции f (x) в точке x0 можно изменить, полагая его равным пределу

lim f (x)).

x→x0

Для разрывов 2-го рода возможны случаи: один из пределов f (x − 0) или f (x + 0) равен бесконечности (в этом случае говорят о бесконечном разрыве) либо один из этих пределов не существует.

2.3. Монотонные функции

Определение 2.5. Пусть f : (a, b) → R — функция действительного переменного. Если для любых x (a, b) и любых y (a, b), таких, что x < y, всегда выполняется одно из следующих неравенств

(а) f (x) < f (y),

(б) f (x) ≤ f (y),

(в) f (x) > f (y),

(г) f (x) ≥ f (y),

то функция f (x) соответственно называется: (а) возрастающей на (a, b);

(б) неубывающей на (a, b); (в) убывающей на (a, b);

(г) невозрастающей на (a, b).

Во всех случаях функция f (x) называется монотонной на множестве (a, b), для (а) и (б) — монотонно возрастающей, для (в) и (г) — монотонно убывающей.

Монотонные функции обладают интересными свойствами. Например, в любой внутренней точке области определения всегда существуют конечные односторонние пределы; монотонная функция может иметь не более чем счетное число точек разрыва, причем эти точки могут быть только точками разрыва первого рода; только для монотонной функции можно гарантировать существование однозначной обратной функции. Установим все эти свойства.

55

Теорема 2.7

(О существовании односторонних пределов). Пусть на интервале

(a, b) задана функция f : (a, b) → R.

1) Если f (x) монотонно возрастает на (a, b), то f (x0 +0) и f (x0 −0) существуют в каждой точке x0 (a, b) и выполняются два неравен-

2) Если f (x) монотонно убывает на (a, b), то f (x0 + 0) и f (x0 − 0) существуют в каждой точке x0 (a, b) и выполняются неравенства

Д о к а з а т е л ь с т в о. (Для монотонно возрастающей функции.) По условиям теоремы множество

E1 = {f (x) : a < x < x0}

ограничено сверху числом f (x0) и потому имеет точную верхнюю границу

A1 = sup E1 = sup f (x).

верхней границы функции следует:

1.( x (a, x0)) : f (x) ≤ A1.

2.( ε > 0)( δ > 0) : A1 − ε < f (x0 − δ). Но тогда в силу монотонности f (x) имеем

A1 < f (x0 − δ) ≤ f (x) ≤ A1, x0 − δ < x < x0.

Откуда получаем, что при 0 < x0 − x < δ выполняется

|f (x) − A1| < ε.

56

Значит

lim f (x) = A1.

x→x0−0

Докажем существование правостороннего предела f (x0 + 0). В силу условий теоремы множество

E2 = {f (x) : x0 < x < b}

ограничено снизу числом f (x0) и, следовательно, имеет точную нижнюю границу

A2 = inf E2 = inf f (x).

По определению точной нижней границы

1.( x (x0, b)) : A2 ≤ f (x).

2.( ε > 0)( δ > 0) : f (x0 + δ) < A2 + ε.

Всилу монотонности f (x)

После доказанного выполнение первого неравенства становится очевидным.

Далее, если a < x < y < b, то из только что доказанного следует

f (x + 0) ≤ f (y − 0).

С л е д с т в и е. Монотонная функция не имеет разрывов второго рода.

57

Теорема 2.8

(Мощность множества точек разрыва у монотонной функции.) Пусть функция f : (a, b) → R — монотонна на интервале (a, b). Тогда множество точек интервала, в которых f (x) разрывна, не более чем счетно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим для определенности, что f (x) монотонно возрастает, и пусть E (a, b) — множество точек, в которых f (x) разрывна.

Каждой точке x E сопоставим рациональное число r(x)

f (x − 0) < r(x) < f (x + 0).

Ясно, что r(x1 ) = r(x2), если x1 = x2, так как при x1 < x2 мы имеем

f (x1 − 0) < r(x1 ) < f (x1 + 0),

f (x2 − 0) < r(x2 ) < f (x2 + 0),

f (x1 + 0) ≤ f (x2 − 0).

Таким образом, установлено взаимно-однозначное соответствие между множеством E и подмножеством множества Q всех рациональных чисел. Но множество Q — счетное. Следовательно, E — не более чем счетно.

Отметим, что существует более общая теорема, доказательство которой мы опускаем:

Теорема 2.9

Пусть f : (a, b) → R — функция действительного переменного. Множество точек, в которых f (x) имеет разрыв первого рода, не более чем счетно.

Теорема 2.10

(Непрерывность монотонной функции.) Пусть f : [a, b] → R — функция действительного переменного. Если f (x) монотонно возрастающая на сегменте [a, b] и принимает при x [a, b] каждое значение из отрезка [f (a), f (b)], то f (x) непрерывна на [a, b].

58

Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме 2.7 в любой точке x0 (a, b) существуют f (x0 + 0) и f (x0 − 0), связанные соотношением

f (x0 − 0) ≤ f (x0) ≤ f (x0 + 0).

Но в силу условий теоремы исключается неравенство f (x − 0) < f (x0 + 0). Поэтому выполняется равенство f (x0 − 0) = f (x0 + 0) = f (x0) и по теореме 2.1 f (x) непрерывна в точке x0.

Аналогично в граничных точках сегмента [a, b] исключаются неравенства f (a) = f (a + 0) и f (b) = f (b − 0) и f (x) непрерывна в точках x = a и x = b. (В этом случае можно говорить об односторонней непрерывности.)

Определение 2.6. Пусть y = f (x) — функция

f : E → F

и x = ϕ(y) — функция

ϕ : (f (E) F ) → E.

Функция ϕ(y) называется обратной к функции f (x), если выполняется

( x E) : ϕ[f (x)] ≡ x, ( y f (E)) : f [ϕ(y)] ≡ y.

Теорема 2.11

(Существование обратной функции.) Пусть f : [a, b] → R удовлетворяет следующим условиям

1.Непрерывна на [a, b].

2.Возрастает на [a, b].

Тогда на сегменте [f (a), f (b)] существует функция ϕ(y), обратная к f (x). Эта функция ϕ(y) также непрерывная и возрастающая.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Отметим сначала, что в силу непрерывности и монотонности функции f (x) ее значения заполняют весь промежуток [f (a), f (b)].

59

Для y = f (a) = A положим ϕ(A) = a, для y = f (b) = B положим ϕ(B) = b, для любого y = C (f (a), f (b)) положим ϕ(y) равной тому (единственному) значению c, для которого

f (c) = C.

Таким образом, функция ϕ(y) определена на [A, B]; для любых x

[a, b] и любых y [A, B]

ϕ[f (x)] ≡ x, f [ϕ(y)] ≡ y.

Очевидно, что из y1 < y2 следует x1 < x2, т.е. ϕ(y1) < ϕ(y2), так что функция ϕ(y) возрастает. Ее непрерывность следует из того, что она принимает все значения в промежутке f (a) ≤ x ≤ f (b) (теорема 2.10).

2.4.Непрерывность функции многих переменных

Определение 2.7. Пусть f : (E Rk ) → R — функция многих переменных.

1.Функция f (x) называется н е п р е р ы в н о й на множестве E, если

( t E)( ε > 0)( δ = δ(ε, t) > 0)( x E, x − t < δ) :

|f (x) − f (t)| < ε.

2.Функция f (x) называется р а в н о м е р н о н е п р е р ы в- н о й на множестве E, если

( ε > 0)( δ = δ(ε) > 0)( x E, t E, x − t < δ) :

|f (x) − f (t)| < ε.

60