MMATAN02

Теорема 1.9

Пусть {xn} Rk , {yn} Rk — векторные последовательности, {βn} R — последовательность действительных чисел (скалярная последовательность), и существуют пределы:

Тогда 1. Предел суммы последовательностей векторов равен сумме пре-

делов этих же векторов:

lim (xn + yn) = (x + y).

n→∞

2. Предел скалярного произведения последовательностей векторов равен скалярному произведению пределов этих векторов:

lim (xn, yn) = (x, y).

n→∞

3. Предел произведения скалярной последовательности на векторную последовательность равен произведению пределов скалярной и векторной последовательностей:

lim βnxn = βx.

n→∞

Д о к а з а т е л ь с т в о. Используя теорему о покоординатной сходимости и свойства сходящихся числовых последовательностей получаем

21

1.6. Подпоследовательности

Определение 1.5. Пусть {pn} — последовательность в метрическом пространстве (X, d). Возьмем последовательность {nk} в множестве натуральных чисел, {nk} N, такую, что

N + при + n1 < n2 < n3 < · · · , nk → ∞ k → ∞.

Выберем из последовательности {pn} элементы pnk с номерами n = nk . Тогда последовательность {pnk } называется подпоследовательностью последовательности {pn}.

Если подпоследовательность {pnk } сходится, то ее предел называется частичным пределом последовательности {pn}.

Теорема 1.10

Последовательность {pn} метрического пространства (X, d) сходится к точке p X тогда и только тогда, когда всякая ее подпоследовательность {pnk } сходится к p.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть lim pn = p, т.е.

n→∞

( ε > 0)( N N)( n N, n > N ) : d(pn, p) < ε.

Пусть далее {pnk } подпоследовательность последовательности {pn}. Ввиду того, что nk → +∞ при k → +∞, имеем

( N > 0)( K N)( k N, k > K) : nk > N.

Если в качестве числа N взять номер из определения предела последовательности {pn}, то получим, что при k > K выполняется

d(pnk , p) < ε,

а это означает, что

lim pnk = p.

k→∞

Обратное очевидно.

22

Теорема 1.11

Частичные пределы последовательности {pn} X в метрическом пространстве (X, d) образуют замкнутое множество в X.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть E — множество значений последовательности {pn}, а E — множество всех частичных пределов этой последовательности. Допустим, что q — предельная точка множества E . Чтобы показать, что q E , достаточно по теореме о предельной точке показать, что q — предельная точка множества E.

Пусть задано число ε > 0. Поскольку q — предельная точка множества E , имеется точка p E , p = q, такая, что

ε

d(p, q) < 2 .

Так как p E — частичный предел последовательности {pn}, то при некотором pn

d(pn, p) < d(p, q).

Значит, pn = q и

d(pn, q) ≤ d(pn, p) + d(p, q) < 2d(p, q) < ε.

Поскольку pn E, отсюда следует, что q — предельная точка множества E.

1.7. Теорема Больцано—Вейерштрасса

Этот пункт посвящен одной очень важной в приложениях теореме, называемой теоремой Больцано—Вейерштрасса. Докажем предварительно лемму о вложенных промежутках:

Лемма 1.1

Пусть имеется последовательность {(an, bn)} конечных промежутков в R, удовлетворяющих условиям

1) (an+1, bn+1) (an, bn), n = 1, 2, 3, . . ..

2) lim (bn − an) = 0.

n→∞

23

Тогда последовательности {an} и {bn} сходятся и

lim an = lim bn.

n→∞ n→∞

Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего имеем an ≤ an+1 при любых n и, кроме того, все an < b1. Таким образом, последователь-

ность {an} будет монотонно возрастающей и ограниченной сверху, а

потому имеет предел: lim an = a. Аналогично, последовательность

n→∞

{bn} убывающая и ограничена снизу числом a1. Значит она имеет

Теперь сформулируем и докажем теорему Больцано—Вейершт- расса.

Теорема 1.12

Из всякой ограниченной последовательности действительных чисел {xn} R можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если последовательность принимает конечное число значений, то утверждение теоремы очевидно. Пусть {xn} R содержит бесконечное число значений и ограничена. В этом случае существует конечный интервал (a, b), такой, что все xn (a, b). Разделим промежуток (a, b) пополам и обозначим через (a1, b1) ту половину, в которой содержится бесконечное множество значений последовательности {xn}. Аналогично, из промежутка (a1, b1) выделим его половину (a2, b2), в которой содержится бесконечное число значений {xn}, и т.д. Продолжая этот процесс, получим последовательность вложенных промежутков {(an, bn)}

Теперь построим последовательность {xnk } следующим образом. В качестве xn1 возьмем любой член последовательности, такой, что

24

a1 ≤ xn1 ≤ b1. В качестве xn2 возьмем любой член последовательности, удовлетворяющий условиям n2 > n1 и a2 ≤ xn2 ≤ b2 и т.д. В качестве xnk возьмем любой член последовательности, удовлетворяющий условиям nk > nk−1 и ak ≤ xnk ≤ bk. Это построение возможно, так как в каждом интервале (ak , bk) содержится бесконечное множе-

С л е д с т в и е. Если последовательность векторов {xn} Rk ограничена, то из нее можно выделить сходящуюся в Rk подпоследовательность.

Действительно, пусть {xn} Rk (k > 1) и {xn} ограничена, т.е.

( M > 0)( n N) : xn ≤ M,

но тогда последовательность координат {xin} R векторов xn = (x1n, x2n, . . . , xkn) будет также ограниченной,

k

|xin| ≤ x2in = xn ≤ M.

i=1

Следовательно, из любой последовательности {xin} можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Теперь построим последовательность {xnr } следующим образом. Из {xn} выделим подпоследовательность векторов {xnm }, у которой первая координата сходится, затем из {xnm } выделим подпоследовательность, у которой вторая координата сходится. Повторяя этот процесс еще k − 2 раз, получаем подпоследовательность {xnr } Rk последовательности {xn}, у которой все координаты сходятся, и по теореме о покоординатной сходимости сходится {xnr }.

1.8. Верхний и нижний пределы

Определение 1.6. Пусть {xn} — последовательность в множестве действительных чисел, {xn} R, и E — множество частичных пределов, которое содержит, возможно, несобственные числа +∞, −∞. Положим

25

x = sup E, x = inf E.

Числа x и x называются верхним и нижним пределами последовательности {xn} и обозначаются:

3) Если {xn} — последовательность, содержащая все рациональные числа, то каждое вещественное число является частичным пределом и

Установим основные свойства для верхнего и нижнего пределов.

Свойство 1.1

У всякой последовательности {xn} R существуют верхний и нижний пределы.

Для доказательства этого факта достаточно установить, что множество частичных пределов E последовательности {xn} не пусто.

Действительно, если последовательность {xn} ограничена, то по теореме Больцано—Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность и существует хотя бы один частичный предел. Если же последовательность {xn} неограничена, то из нее очевидно можно выделить подпоследовательность, пределом которой является одно из несобственных чисел +∞ или −∞.

26

Свойство 1.2

Верхний и нижний пределы принадлежат множеству частичных пределов.

Согласно теореме 1.11 множество частичных пределов E — замкнутое множество в R. Если E ограничено сверху, то его точная

верхняя граница принадлежит этому множеству, т.е. lim xn E. Ес-

n→∞

ли sup E = +∞, то существует подпоследовательность {xnk }, предел которой равен +∞. Если sup E = −∞, то сама последовательность {xn} имеет своим пределом несобственное число −∞.

Аналогичные рассуждения можно провести и для нижнего предела.

Из этого свойства следует, что верхний и нижний пределы можно искать как наибольший или наименьший из всех частичных пределов.

Свойство 1.3

Если lim xn < a, то ( N N)( n > N ) : xn < a.

n→∞

Если lim xn > a, то ( N N)( n > N ) : xn > a.

n→∞

Докажем это свойство для верхнего предела. (Для нижнего предела устанавливается аналогично.)

Пусть x = lim xn и x < a. Допустим, что xn ≥ a для бес-

n→∞

конечного множества значений n. В этом случае существует число y E (множеству частичных пределов), такое, что y ≥ a > x , а это противоречит определению x .

Пусть lim xn = x. Тогда по теореме о сходящихся подпоследо-

n→∞

вательностях множество частичных пределов состоит из одного элемента, E = {x}. Но тогда

x = x = x.

27

Обратно, пусть

lim xn = lim xn = x,

n→∞ n→∞

но

lim xn = x ( ε0 > 0)( N N)( n N, n > N ) : |xn − x| ≥ ε0.

n→∞

Последнее неравенство имеет место, если выполняется одно из неравенств

xn ≥ x + ε0 или xn ≤ x − ε0.

Предположим, что выполняется xn ≥ x + ε0. В силу свойства 1.3 имеем, так как lim xn = x < x + ε0, что начиная с некоторого но-

n→∞

мера xn < x + ε0. Но тогда существует число N N, для которого одновременно

xN ≥ x + ε0 и xN < x + ε0,

что невозможно.

Приведем, наконец, свойство, доказательство которого тривиаль-

но.

Свойство 1.5

Если xn ≤ yn при n ≥ N , где N фиксировано, то

lim xn ≤ lim yn,

n→∞ n→∞

lim xn ≤ lim yn.

n→∞ n→∞

В качестве иллюстрации применения свойств верхних и нижних пределов установим существование второго замечательного предела

Предварительно введем понятие числа e.

Определение 1.7. Определим число e как бесконечную сумму

28

Это определение имеет смысл, так как у последовательности Sn существует конечный предел. Во-первых, она монотонно возрастает и, во-вторых, ограничена сверху: