MMATAN02

Определение 1.16. Пусть f : (E Rk ) → R — функция многих переменных и a — предельная точка множества E. Число A называется пределом функции многих переменных в точке a,

lim f (x) = A, если

x→a

( ε > 0)( δ = δ(ε) > 0)( x E, 0 < dRk (x, a) = x − a < δ) :

dR(f (x), A) = |f (x) − A| < ε,

или на языке последовательностей

( x x = a x Rk a) : (x ) R

{ n} E, n , n → f n → A.

Сформулируем и докажем необходимое и достаточное условие существования предела функции многих переменных, которое так же, как и для последовательности, называют критерием Коши.

Теорема 1.20

Пусть f : (E Rk ) → R — функция k переменных (k ≥ 1) и a — предельная точка множества E. Для того чтобы существовал предел

lim f (x), необходимо и достаточно, чтобы

x→a

( ε > 0)( δ(ε) > 0)( x E, t E, 0 < x − a < δ, 0 < t − a < δ) :

|f (x) − f (t)| < ε.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть существует

предел lim f (x) = A, т.е.

x→a

( ε > 0)( δ > 0)( x E, 0 < x − a < δ) : |f (x) − A| < 2ε ,

( ε > 0)( δ > 0)( t E, 0 < t − a < δ) : |f (t) − A| < 2ε .

Откуда получаем, что при любых x и t из E, удовлетворяющих неравенствам 0 < x − a < δ и 0 < t − a < δ, выполняется

|f (x) − f (t)| = |(f (x) − A) − (f (t) − A)| ≤ |f (x) − A| + |f (t) − A| < ε.

41

Достаточность. Пусть выполняется условие Коши

( ε > 0)( δ > 0)( x E, t E, 0 < x − a < δ, 0 < t − a < δ) :

|f (x) − f (t)| < ε.

Так как a — предельная точка множества E, то по теореме о предельной точке существует последовательность {xn} E, xn = a, такая,

что xn Rk a, т.е. по δ > 0 можно определить натуральное число N ,

→

такое, что при m > N и n > N

0 < xm − a < δ, 0 < xn − a < δ.

Отсюда и из условия Коши имеем

( ε > 0)( δ > 0)( m N, n N, m > N, n > N ) : |f (xm)−f (xn)| < ε.

А это означает, что {f (xn)} — последовательность Коши в R. В силу полноты пространства R она имеет предел.

Таким образом мы доказали, что для любой последовательности {xn} E, которая сходится к точке a, соответствующая последовательность значений функций сходится к некоторому действительному числу. Eсли мы покажем, что для любой последовательности

ность значений функции {f (xn)} имеет один и тот же предел A, то согласно определению предела функции по Гейне получим, что lim f (x) = A.

x→aДопустим, что существуют две различные последовательности {x(1)n } E и {x(2)n } E , сходящиеся к a, в то время как

Построим теперь последовательность в множестве E следующим образом

x(1)1 , x(2)1 , x(1)2 , x(2)2 , x(1)3 , . . . .

Очевидно, что предел этой последовательности равен a, а предел соответствующей последовательности значений функции

f (x(1)1 ), f (x(2)1 ), f (x(1)2 ), . . . ,

42

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если воспользоваться определением предела функции по Гейне, то утверждение теоремы следует из необходимого и достаточного условия сходимости комплексной последовательности (следствие к теореме 1.8 о покоординатной сходимости).

1.15.Бесконечно малые и бесконечно большие величины

Определение 1.19 Пусть f : (E C) → C — функция комплексного переменного, a — предельная точка множества E. Функция f (x) называется бесконечно малой при x → a, если

lim f (x) = 0,

x→a

т.е.

( ε > 0)( δ(ε) > 0)( x E, 0 < |x − a| < δ) : |f (x)| < ε.

Функция f (x) называется бесконечно большой при x → a, если

( ε > 0)( δ(ε) > 0)( x E, 0 < |x − a| < δ) : |f (x)| > ε.

З а м е ч а н и е. Сами по себе понятия бесконечно малой и бесконечно большой функции в математике не существуют. Эти понятия вводятся при определенном условии, а именно при x → a, где a, в частности, может быть и несобственным числом. Сказанное хорошо иллюстрирует следующий пример.

П р и м е р. Рассмотрим функцию действительного переменного

α(x) = x − 1 . x2

Очевидно, что на эту функцию можно смотреть с трех точек зрения:

1.α(x) – бесконечно малая при x → 1.

2.α(x) – бесконечно большая при x → 0.

3.α(x) – бесконечно малая при x → ∞.

44

Определение 1.20. Пусть α(x) и β(x) — две бесконечно малые величины при x → a. Введем следующие понятия:

1.Величина α(x) называется бесконечно малой более высокого порядка малости, чем β(x), если

lim α(x) = 0.

x→a β(x)

Обозначение α(x) = o(β(x)).

2. Если

lim α(x) = c,

x→a β(x)

где c = 0 и конечное число, то α(x) и β(x) называются величинами одного порядка малости.

3. Если

lim α(x) = 1,

x→a β(x)

то α(x) и β(x) называются эквивалентными бесконечно малыми величинами. Обозначение α(x) β(x).

4. Если существуют конечные числа c = 0 и k > 0, такие, что

то говорят, что бесконечно малая величина α(x) имеет порядок малости k (по отношению к x−a), а c(x−a)k называют главной частью бесконечно малой α(x).

В приложениях приходится выделять главную часть бесконечно малой величины. Это позволяет сделать следующая теорема, которая дает нам нужное представление бесконечно малой.

Теорема 1.22

Если c(x − a)k — главная часть бесконечно малой α(x) при x → a, то α(x) представима в виде

α(x) = c(x − a)k + o((x − a)k ).

45

x → a. Отсюда имеем

α(x) = c(x − a)k + β(x)c(x − a)k .

Так как β(x)c(x − a)k = o((x − a)k ), то

α(x) = c(x − a)k + o((x − a)k ).

Введем для бесконечно больших величин, часто используемые понятия, аналогичные понятиям для бесконечно малых.

Определение 1.21. Пусть функции α(x) и β(x) — бесконечно большие величины при x → a.

1.Величина β(x) называется бесконечно большой более высокого порядка, чем α(x), если

lim α(x) = 0.

x→a β(x)

2. Если

lim α(x) = c,

x→a β(x)

где c = 0 и конечное число, то бесконечно большие α(x) и β(x) называются величинами одного порядка.

3. Если существуют конечные числа c = 0 и k > 0, такие, что

то α(x) называют бесконечно большой величиной порядка k (по

1

отношению к x − a ).

46

Следовательно, α(x) — бесконечно малая величина при x → 1 более высокого порядка малости, чем β(x), α(x) = o(β(x).

√

2) Функции α(x) = x − 8 и β(x) = 3 x − 2 – бесконечно малые величины при x → 8. Предел их отношения равен

Величины α(x) и β(x) — одного порядка при x → 8.

3) Классическим примером эквивалентных бесконечно малых величин одного порядка являются функции α(x) = sin x и β(x) = x при x → 0. Докажем, что

Рис. 1.3

π

Пусть 0 < x < 2 . Тогда из рис. 1.3 видно, что длина перпендикуляра AB = sin x меньше длины части хорды AC = x, а длина хорды

47

AC меньше длины отрезка касательной AD = tg x, что приводит к неравенству

sin x < x < tg x.

Разделим последнее неравенство на sin x > 0. Получим

Это неравенство выполняется не только для положительных углов

π

x, 0 < x < 2 , но и для отрицательных углов, удовлетворяющих

π

неравенству − 2 < x < 0, так как члены этого неравенства – четные функции. Переходя в нем к пределу при x → 0, получаем, что

lim sin x = 1.

x→0 x

Заметим, наконец, что этот предел называют первым замечательным пределом.

48

Глава 2

Непрерывность функции

2.1. Непрерывность функции на метрическом пространстве

Определение 2.1. Пусть (X, dX ) и (Y, dY ) – два метрических пространства и f : (E X) → Y . Функция f (x) называется непрерывной в точке x0 E, если

( ε > 0)( δ = δ(ε, x0) > 0)( x E, dX (x, x0) < δ) : dY (f (x), f (x0 )) < ε.

Функция f (x) называется непрерывной на множестве E, если она непрерывна в каждой точке множества E.

Напомним, что точка x0 называется изолированной точкой множества E, если x0 E и x0 не является предельной точкой множества E.

Если x0 — изолированная точка множества E, то из определения 2.1 следует, что каждая функция f , определенная на E, непрерывна в точке x0. Действительно, каково бы ни было ε > 0, можно указать δ > 0, такое, что точкой x E, для которой dX (x, x0) < δ, окажется одна точка x = x0; тогда dY (f (x), f (x0)) = 0 < ε.

Теорема 2.1

Пусть в определении 2.1 x0 — предельная точка множества E. То-

гда функция f (x) непрерывна в предельной точке x0 тогда и только тогда, когда

lim f (x) = f (x0).

x→x0

Д о к а з а т е л ь с т в о. Утверждение теоремы становится ясным, если сравнить определение предела и определение непрерывности в точке для функции f (x).

Следующая теорема устанавливает арифметические свойства над непрерывными функциями.

Теорема 2.2

Пусть

f : (E X) → C, g : (E X) → C

— комплекснозначные непрерывные функции на множестве E метрического пространства (X, d). Тогда f + g, f g, f /g непрерывны на множестве E (в последнем случае g = 0).

Д о к а з а т е л ь с т в о. В случае изолированной точки утверждение тривиально.

Пусть x0 E — предельная точка множества E. Тогда

и по теореме о предельном переходе в сумме, произведении, частном функций имеем

lim (f + g)(x) = f (x0) + g(x0) = (f + g)(x0),

x→x0

lim (f g)(x) = f (x0)g(x0) = (f g)(x0),

x→x0

Дадим теперь определение сложной функции, а затем докажем ее непрерывность.

50