MMATAN02

Определение 1.2. Числовая последовательность {xn} называется бесконечно малой последовательностью, если

lim xn = 0.

n→∞

Приведем основные свойства бесконечно малых последовательностей, первые два из которых следуют из только что доказанной теоремы. Поэтому докажем только третье свойство.

Теорема 1.5

1.Сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

2.Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

3.Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая последовательность.

До к а з а т е л ь с т в о. 3. Пусть

lim xn = 0,

n→∞

а {yn} — ограниченная последовательность. В силу ограниченности

{yn}

( M > 0)( n N) : |yn| ≤ M.

По определению предела

( ε > 0)( N N)( n N, n > N ) : |xn| < Mε .

Откуда следует, что при всех n > N

ε

|xn · yn| = |xn| · |yn| < M M = ε,

т.е.

lim xnyn = 0.

n→∞

Следующая теорема позволяет совершать предельные переходы в неравенствах.

11

Теорема 1.6

Пусть {xn}, {yn}, {zn} — последовательности в R. Тогда

1.Для сходящихся последовательностей {xn} и {yn} из соотношений

т.е.

( ε > 0)( N1 N)( n N, n > N1) : a − ε < xn < a + ε,

12

( ε > 0)( N2 N)( n N, n > N2) : a − ε < zn < a + ε.

Но тогда при n > N = max{N1, N2} выполняется

a − ε < xn ≤ yn ≤ zn < a + ε |yn − a| < ε,

т.е. lim yn = a.

n→∞

3. Пусть lim xn = x < p, т.е.

n→∞

( ε > 0)( N (ε) N)( n N, n > N ) : x − ε < xn < x + ε.

Если взять ε < p − x, то при n > N выполняется

xn < p.

Случай xn > q рассматривается аналогично.

З а м е ч а н и е. Из строгого неравенства xn < yn еще не следует строгое неравенство для пределов. Например,

1.3. Монотонные последовательности

В этом пункте введем важные понятия монотонных последовательностей и установим условия существования их пределов.

Определение 1.3. Последовательность {xn} R называется

1) возрастающей, если

( n1 N, n2 N, n1 > n2) : xn1 > xn2 ,

2) убывающей, если

( n1 N, n2 N, n1 > n2) : xn1 < xn2 ,

13

3) неубывающей, если

( n1 N, n2 N, n1 > n2) : xn1 ≥ xn2 ,

4) невозрастающей, если

( n1 N, n2 N, n1 > n2) : xn1 ≤ xn2 .

Все эти последовательности называются монотонными, 1) и 3)

— монотонно возрастающие, 2) и 4) — монотонно убывающие.

Определение 1.4. Пусть {zn} — последовательность в C. Будем говорить, что

lim zn = ∞,

n→∞

если

( ε > 0)( N N)( n N, n > N ) : |zn| > ε.

Пусть {xn} — последовательность в R. Тогда

lim xn = +∞ ( ε > 0)( N N)( n N, n > N ) : xn > ε,

n→∞

lim xn = −∞ ( ε > 0)( N N)( n N, n > N ) : xn < −ε.

n→∞

Теорема 1.7

1.Всякая монотонно возрастающая последовательность, ограниченная сверху, имеет конечный предел.

2.Предел монотонно возрастающей не ограниченной сверху последовательности равен +∞.

3.Всякая монотонно убывающая последовательность, ограниченная снизу, имеет конечный предел.

4.Предел монотонно убывающей не ограниченной снизу последовательности равен −∞.

До к а з а т е л ь с т в о. Проведем для монотонно возрастающей последовательности. Для монотонно убывающей последовательности доказательство проводится аналогично.

14

1. Пусть {xn} R — последовательность, монотонно возрастающая и ограниченная сверху. Существует точная верхняя граница множества ее значений

a = sup{xn}.

Покажем, что lim xn = a. По определению точной верхней границы,

n→∞

во-первых, xn ≤ a, а значит для любого ε > 0

Сопоставляя (1.1) и (1.2), получаем, что при n > N a − ε < xn < a + ε,

т.е.

lim xn = a.

n→∞

2. Пусть {xn} — монотонно возрастает и неограничена сверху, т.е.

( ε > 0)( xN ) : xN > ε,

и в силу монотонности последовательности {xn} для любых n > N

xn > ε,

а это означает, что

lim xn = +∞.

n→∞

1.4. Табличные пределы

Приведем несколько важных пределов, часто встречающихся в различных приложениях, которые будем называть табличными пределами. Это следующие пределы:

15

получаем b = 0, т.е.

Положим a = 1 + x, где x > 0, и пусть k — такое натуральное число, что k > α.

Докажем сначала неравенство (n!)2 ≥ nn. Запишем (n!)2 в виде

(n!)2 = [1 · n][2 · (n − 1)] · · · [k · (n − k + 1)] · · · [n · 1].

Каждый сомножитель в последнем равенстве k(n − k + 1) ≥ n.

17

Если a = 1, то утверждение тривиально; если 0 < a < 1, то полагая a = 1b , где b > 1, получим

Этот предел называют вторым замечательным пределом. Его существование докажем позже с использованием понятий верхнего и нижнего пределов (п. 1.8).

1.5. Предел последовательности в Rk

Пусть {xn} — последовательность в Rk и x Rk . Учитывая, что расстояние в Rk равно dRk (x, y) = x − y , определение предела для векторов можно дать так:

x Rk x ( 0)( )( ) : x x

n → ε > N N n N, n > N n − < ε.

Следующая теорема известна под названием теоремы о покоординатной сходимости. Она позволяет свести нахождение предела векторной последовательности к вычислению пределов координат этой последовательности (к вычислению k пределов числовых последовательностей).

19

т.е. сходимость в пространстве Rk равносильна сходимости координат в R (покоординатной сходимости).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть x Rk x. Тогда

n →

( ε > 0)( N N)( n N, n > N ) : xn − x < ε.

т.е. x Rk x.

n →

С л е д с т в и е. Необходимым и достаточным условием сходимости комплексной последовательности {zn}, zn = an + ibn, является сходимость последовательностей действительных чисел {an} и {bn}.

Иными словами, если zn = an + ibn, z = a + ib, то

Теорема о покоординатной сходимости позволяет перенести некоторые арифметические операции для пределов числовых последовательностей на последовательности векторов.

20