MMATAN02

Тогда

d(pm, pn) ≤ M (n = 1, 2, 3, . . .),

что и доказывает ограниченность {pn}.

Следующая теорема дает необходимое ( но не достаточное) условие сходимости последовательности метрического пространства.

Теорема 1.14

Всякая сходящаяся последовательность в метрическом пространстве (X, d) есть последовательность Коши.

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно, т.е. существуют метрические пространства, в которых последовательность Коши может и не сходиться.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть lim pn = p, т.е.

n→∞

ε

( ε > 0)( N N)( n N, n > N ) : d(pn, p) < 2 .

Значит, если m > N и n > N , то

d(pm, pn) ≤ d(pm, p) + d(pn, p) < ε,

так что {pn} — последовательность Коши.

Докажем, что обратное утверждение, вообще говоря, неверно. С этой целью рассмотрим множество натуральных чисел с метрикой

d(m, n) = |m − n| mn

— метрическое пространство (установлено в нашем учебном пособии “ Понятие функции. Основные пространства ”, стр. 46 ). Последовательность {n} — последовательность Коши в этом метрическом пространстве:

( ε > 0)( N > 2ε )( m N, n N, m > N, n > N ) :

d(m, n) = |m − n| ≤ 1 + 1 < ε, mn m n

31

но {n} не сходится. Действительно, если бы {n} сходилась, то существовало бы n0 N, такое, что d(n, n0) → 0. Но

d(n, n0) = |n − n0| → 1 = 0. nn0 n0

Интерес представляют метрические пространства, в которых всякая последовательность Коши сходится, что приводит к следующему определению.

Определение 1.9. Метрическое пространство, в котором любая последовательность Коши сходится, называется полным метрическим пространством.

Следующая теорема дает одно из достаточных условий сходимости.

Теорема 1.15

Пространство Rk полное.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть {xn} Rk - последовательность Коши. По теореме 1.2 она ограничена, и, следовательно, согласно теореме Больцано—Вейерштрасса, из {xn} можно выделить сходящуюся подпоследовательность {xnk }, для которой

lim xnk = a, a Rk.

k→∞

Докажем, что и сама последовательность {xn} сходится к a. Из того, что {xn} — последовательность Коши, следует

ε

( ε > 0)( N N)( n N, nk N, n > N, nk > N ) : xn − xnk < 2 .

Из того, что lim xnk = a, получаем

k→∞

ε

( ε > 0)( K N)( k N, k > K) : nk > N и xnk − a < 2 .

Окончательно при всех n > N имеем

xn − a ≤ xn − xnk + xnk − a < ε,

32

т.е. lim xn = a.

n→∞

С л е д с т в и е. Пространства R и C полные.

Результаты этого пункта можно сформулировать в виде полезного в дальнейшем критерия Коши.

Критерий Коши существования предела последовательности

Для существования предела последовательности в Rk (в R, в C) необходимо и достаточно, чтобы эта последовательность была последовательностью Коши, т.е.

x Rk x ( 0)( )( ) : n → ε > N N m N, n N, m ≥ n > N

xm − xn < ε.

1.10. Предел функции на метрическом пространстве

Определение 1.10

Определение предела функции по Коши. Пусть (X, dX ) и (Y, dY ) —

любые метрические пространства, f : (E X) → Y и p — предельная точка множества E. Элемент q Y называется пределом функции f (x) при x → p, если

( ε > 0)( δ = δ(ε) > 0)( x E, 0 < dX (x, p) < δ) : dY (f (x), q) < ε.

При этом пишут

lim f (x) = q

x→p

или

( ) Y при X

f x → q x → p.

33

Определение 1.11

Определение предела функции по Гейне. Пусть (X, dX ) и (Y, dY ) —

любые метрические пространства, f : (E X) → Y и p — предельная точка множества E. Элемент q Y называется пределом функции f (x) при x → p, если

( = X ) : ( ) Y

{pn} E, pn p, pn → p f pn → q.

Следующая теорема устанавливает эквивалентность этих определений.

Теорема 1.16

Определения предела функции по Коши и по Гейне равносильны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть lim f (x) = q по Коши, т.е.

x→p

( ε > 0)( δ = δ(ε) > 0)( x E, 0 < dX (x, p) < δ) : dY (f (x), q) < ε.

Пусть {pn}, pn = p, — любая последовательность в множестве E,

удовлетворяющая условию: pn X p. (Такая последовательность су-

→

ществует по теореме о предельной точке.) Тогда

( δ > 0)( N N)( n N, n > N ) : 0 < dX (pn, p) < δ.

Возьмем здесь δ из определения предела функции. Тогда при n > N будем иметь dY (f (pn), q) < ε, откуда следует

f (pn) Y q.

→

Обратно, пусть lim f (x) = q по Гейне, т.е.

x→p

( = X ) : ( ) Y

{pn} E, pn p, pn → p f pn → q.

Допустим противное, что lim f (x) = q по Коши. Это значит

x→p

( ε0 > 0)( δ > 0)( xδ E, 0 < dX (xδ , p) < δ) : dY (f (xδ ), q) ≥ ε0.

34

Y

f (xn) →/ q.

С л е д с т в и е. Если функция f имеет предел в точке p, то этот предел единственный.

З а м е ч а н и е. Определение предела функции по Коши обычно используют для доказательства существования предела, а определение предела функции по Гейне — для доказательства того, что предел не существует.

П р и м е р ы

1) Установим, что

lim x2 = 4.

x→2

Учитывая, что расстояние между двумя точками x и y на действительной оси равно |x−y|, определение предела по Коши в этом случае можно записать так:

( ε > 0)( δ = δ(ε) > 0)( x R, 0 < |x − 2| < δ) : |x2 − 4| < ε.

Покажем, что по числу ε > 0 мы действительно можем найти нужное нам число δ = δ(ε) > 0.

Используя соотношение

|x2 − 4| = |x − 2||x + 2| = |x − 2||(x − 2) + 4| ≤ |x − 2|(|x − 2| + 4),

мы можем вместо неравенства |x2 −4| < ε рассматривать неравенство

|x − 2|2 + 4|x − 2| < ε.

Решая его относительно |x − 2|, получаем с учетом того, что x = 2,

0 < |x − 2| < √4 + ε − 2.

Откуда следует δ(ε) = √4 + ε − 2. 2) Для того чтобы показать, что

lim sin x

x→+∞

35

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если воспользоваться определением предела функции по Гейне, то эти утверждения следуют из аналогичных свойств для числовых последовательностей.

1.12.Предел функции действительного переменного

Определение 1.13. Пусть f : (E R) → R — функция действительного переменного и a — предельная точка множества E.

Число A называется пределом функции f (x) в точке a,

lim f (x) = A, если

x→a

( ε > 0)( δ = δ(ε) > 0)( x E, 0 < dR(x, a) = |x − a| < δ) :

dR(f (x), A) = |f (x) − A| < ε.

З а м е ч а н и е. Неравенство 0 < |x − a| < δ, фигурирующее в определении предела, эквивалентно соотношениям a −δ < x < a + δ,

x= a, т.е. означает, что x принадлежит выколотой δ-окрестности точки a (выкалывается a). Аналогично неравенство |f (x) − A| < ε эквивалентно двойному неравенству A − ε < f (x) < A + ε, которое означает, что f (x) принадлежит ε-окрестности A. Сопоставляя эти два факта, приходим к выводу, что при выбранном ε график функции y = f (x) лежит в прямоугольнике со сторонами x = a − δ,

x= a + δ, y = A − ε и y = A + ε. При уменьшении значения ε этот прямоугольник также уменьшается. Иными словами, при стремлении x к a график функции y = f (x) неограниченно приближается к прямой y = A (рис. 1.2).

Так же, как и для последовательностей, для функции действительного переменного можно совершать предельные переходы в неравенствах.

37

+ε

− ε

Рис. 1.2. Геометрический смысл предела функции

Теорема 1.18

Пусть f : (E R) → R и g : (E R) → R — функции действительного переменного, a — предельная точка множества E и

Тогда

1.Если f (x) ≤ g(x), то A ≤ B.

2.Если q < A < p, то существует окрестность Oδ (a) точки a, такая, что для всех x Oδ (a) E выполняется

q < f (x) < p.

До к а з а т е л ь с т в о

1.Пусть lim f (x) = A и lim g(x) = B. По определению предела

38

Предположим противное, что A > B и пусть ε = A − B. Тогда для x E, таких, что 0 < |x − a| < δ, выполняется

f (x) > A − 2ε = (B + ε) − 2ε = B + 2ε > g(x).

Получили противоречие.

2. Пусть lim f (x) = A, т.е.

x→a

( ε > 0)( δ = δ(ε) > 0)( x E, 0 < |x−a| < δ) : A−ε < f (x) < A+ε,

и пусть q < A < p. Тогда при ε < min{p − A, A − q} выполняется

q < A − ε < f (x) < A + ε < p,

что и доказывает второе утверждение теоремы.

Для функции действительного переменного вводятся понятия односторонних пределов.

Определение 1.14. Число A называется пределом справа для функции f (x) (правосторонний предел) в точке a, f (a + 0) =

lim f (x) = A, если

x→a+0

( ε > 0)( δ = δ(ε) > 0)( x E, 0 < x − a < δ) : |f (x) − A| < ε.

Число A называется пределом слева для функции f (x) (левосто-

Следующая теорема устанавливает связь между пределом функции и ее односторонними пределами.

39

Теорема 1.19

Для того чтобы у функции действительного переменного существовал lim f (x) = A, необходимо и достаточно, чтобы существовали

x→a

односторонние пределы f (a − 0), f (a + 0) и f (a − 0) = f (a + 0).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть существует

lim f (x) = A, т.е.

x→a

( ε > 0)( δ = δ(ε) > 0)( x E, 0 < |x − a| < δ) : |f (x) − A| < ε.

Но тогда последнее неравенство выполняется при 0 < x − a < δ и при 0 < a − x < δ, т.е. существуют односторонние пределы

т.е.

( ε > 0)( δ1 > 0)( x E, 0 < a − x < δ1) : |f (x) − A| < ε,

( ε > 0)( δ2 > 0)( x E, 0 < x − a < δ2) : |f (x) − A| < ε.

Обозначим через δ = min{δ1, δ2}. Тогда при любых x E, удовлетворяющих условию 0 < |x − a| < δ, выполняется |f (x) − A| < ε.

Откуда следует, что lim f (x) существует и равен A.

x→a

1.13. Предел функции многих переменных

Определение 1.15. Функция f : (E Rk ) → R (k ≥ 2), отображающая множество E евклидова пространства Rk в R, называется функцией многих переменных (k переменных) и обозначается

y = f (x) = f (x1, x2, . . . , xk ).

40