Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

MMATAN02

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

651.36 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

1.lim f (x) = b.

x→a+0

3.lim f (x) = b.

x→+∞

5.lim f (x) = ∞.

x→a+0

7.lim f (x) = +∞.

x→a+0

9. lim f (x) = +∞.

x→∞

11.lim f (x) = −∞.

x→−∞

2.lim f (x) = b.

x→−∞

4.lim f (x) = +∞.

x→a−0

6.lim f (x) = ∞.

x→a−0

8. lim f (x) = −∞.

x→∞

10.lim f (x) = ∞.

x→−∞

12.lim f (x) = +∞.

x→+∞

Сформулировать на языке символики следующие утверждения:

13.	R	R
13.	f (x) −→ b − 0	при x −→ a − 0.
14.	R	R
14.	f (x) −→ b + 0	при x −→ a − 0.
15.	R	R
15.	f (x) −→ b + 0	при x −→ a + 0.
16.	R	R
16.	f (x) −→ b − 0	при x −→ ∞.
17.	R	R
17.	f (x) −→ b − 0	при x −→ −∞.
18.	R	R
18.	f (x) −→ b + 0	при x −→ −∞.

19.	R	Rn
	f (x) −→ A при x −→ a.
21.	R	X
	f (x) −→ A при x −→ a.
23.	Rm	R
	f(x) −→ A при x −→ a − 0.

20.	Rm	C
	f(x) −→ A при x −→ a.
22.	Rm	R
	f(x) −→ A при x −→ a + 0.
24.	Y	R
	f (x) −→ A при x −→ a.

Занятие 6. Бесконечно малые и бесконечно большие величины

Задание

1. Убедиться в том, что при x → 1 бесконечно малые величины 1 −x

√

и 1− 3 x будут одного порядка малости. Будут ли они эквивалентны?

2.		k				→	1 бесконечно малые величины 1	−		и
	Показать, что при				x		1 бесконечно малые величины 1		x	и
	a(1−	√		), где a = 0, k — целое положительное число, будут одного
	a(1−		x	), где a = 0, k — целое положительное число, будут одного

порядка малости. При каком значении a они будут эквивалентны?

Определить порядок малости бесконечно малой f (x) при x → 0.

	√			√
3.	f (x) = 1 + 2x − 1 −				x	.
4.	f (x) = e√		− 1.
4.	f (x) = e√	x	− 1.
5.	f (x) = esin x − 1.

6.f (x) = ln(1 + √x sin x).

7.f (x) = ex2 − cos x.

8.f (x) = sin(√1 + x − 1).

9. Определить порядок малости бесконечно малой величины

f (x) = 2x − 3x3 + x5 при x → 0

и выделить ее главную часть.

10.Определить порядок малости бесконечно малой величины

f (x) = 3 1 − √x при x → 1

и выделить ее главную часть.

11.Определить порядок малости бесконечно малой величины

f (x) =	√		√
		x + 1 −			при x → +∞
				x

и выделить ее главную часть.

(при x → ∞ предел

ka = 1, если a = k.

12. Определить порядок роста бесконечно большой величины f (x) = 3 x2 − x + √x при x → +∞

и выделить ее главную часть.

13.Определить порядок роста бесконечно большой величины

f (x) =	1	при x → 1
	sin πx

и выделить ее главную часть.

Решения

1. Вычислим предел отношения этих величин

	1		x	3	√	2
					3
lim		−		= lim (1 + √x +	3	x ) = 3.
		−	3

				x→1
x→1 1 − √x				x→1

Величины одного порядка малости, но не эквивалентны.

2. Рассмотрим предел отношения этих величин

1 − x lim √ . x→1 a(1 − k x)

√

После замены k x = t имеем


lim	1 − x		=	1	lim	1 − tk	=
lim			=		lim		=
x→1 a(1 −		√x)		a t→1		1 − t
		k

= lim(1 + t + t2 + · · · + tk−1) =

t→1

√

Таким образом, рассматриваемые величины 1 − x и a(1 − k x)

– величины одного порядка малости и будут эквивалентны при a = k.

Чтобы определить порядок малости k бесконечно малой f (x) при

x → a, рассматриваем предел lim f (x)

x→a (x − a)k

lim f (x)xk ) и находим то значение k, при котором этот предел

x→∞

равен конечному числу, отличному от нуля.

√

f (x)

1 + 2x − 1 −

lim

= lim

x→0

√

= lim

1 + 2x − (1 +

= lim

− 2)

√

x 0

√

→ x

( 1 + 2x + 1 +

→

x ( 1 + 2x + 1 +

= −1 при k =

Порядок малости равен

Используя предел lim

ax − 1

= ln a, получаем

x→0

f (x)

e√

− 1

= ln

k =

lim

= lim

= 1

при

√

→

Порядок малости равен k =

Аналогично при k = 1 имеем

lim

f (x)

= lim

esin x − 1

= lim

esin x − 1

sin x

= 1.

x 0

sin x

→

Порядок малости равен 1.

Пользуемся пределом lim

ln(1 + t)

= 1. При k = 1 получаем

t→0

√

lim

f (x)

lim

ln(1 +

x sin x

)

= lim

ln(1 +

x sin x

)

sin x

= 1.

x→0

= x→0

x→0

√x sin x

Порядок малости равен 1.

При k = 2 имеем

lim

f (x)

= lim

ex2 − cos x

= lim

ex2 − 1

+ lim

1 − cos x

x→0

x 0

= 1 + x 0 2

= 1 + lim

2 sin2

lim

sin

→

Порядок малости равен 2.

При k = 1

f (x)

= lim

sin(√

− 1)

lim

1 + x

sin(√

x→0

= lim

− 1)

√

− 1

1 + x

= lim

x→0

√1 + x − 1

x→0 √1 + x + 1

Порядок малости равен 1.

Легко видеть, что бесконечно малая f (x) = 2x − 3x3 + x5

при

x → 0 представима в виде

2x − 3x3 + x5 = 2x + o(x).

Следовательно, 2x — это главная часть бесконечно малой, а ее

порядок малости равен 1.

√1 x

f (x)

3 1 √x

10.

x→1 (x 1)k

x→1

(x −1)k

= x→1 (x 1)k 3−1 +

√x

−

2 при

lim

= lim

lim

k =

−

величины

√x

1 .

Порядок малости бесконечно малой

−

при x → 1 равен

, ее главная часть равна −

(x − 1)

, и эта

величина представима в виде

= −2

√x − 1 + o(

√x − 1).

1 − √x

lim

(√

√

)xk

lim

x + 1

11.

x +

f (x)x

= x +

−

√x + 1 + √

→ ∞

при

k =

. Таким образом, порядок малости бесконечно малой

√

величины

x + 1 −

→ +∞

) равен

x при x

(по отношению к

, ее главная часть равна

, и эта величина представима

в виде

√x + 1 − √x =

2√

+ o

√

Чтобы определить порядок роста k бесконечно большой f (x) при x → a, рассматриваем предел

x→a	−		при x → ∞ предел x→∞	xk
lim f (x)(x		a)k	lim	f (x)
lim f (x)(x		a)k	lim

и находим то значение k, при котором этот предел равен конечному числу, отличному от нуля.

12. Рассмотрим предел

lim

f (x)

√

x→+∞ xk

√

x→+∞

−xk

+ √x

= x→+∞

1 − x

lim

+ 6

= 1

при

. Порядок

роста

бесконечно

большой

величины

√ 2

− x + √x при x → +∞ равен

, а ее главная часть равна

x 3 .

13. При k = 1 имеем

lim f (x)(x

−

1)k = lim

x − 1

= lim

sin πt

x 1

x 1 sin πx

−

−π

→

Таким образом, порядок роста бесконечно большой величины

при x → 1 равен 1, а главная часть этой величины рав-

sin πx

на −

π(x − 1)

Задачи для самостоятельной работы

1. При

функции

y =

1 − x

y = 1

√x

бесконечно малы.

→

1 + x

−

Которая из них высшего порядка?

2. Доказать, что при x → 2 функции sec x − tg x и π −2x будут бесконечно малыми одного порядка. Будут ли они эквивалентными?

Определить порядок малости бесконечно малой f (x) при x → 0.

f (x) =

1 +

√

− 1.

f (x) = e

− cos x.

πx

f (x) =

√

1 + x

tg 2 .

f (x) = cos x − √cos x.

Пусть x → +∞. Доказать, что

√

x +

x + √

Определить порядок малости бесконечно малой величины

f (x) = tg x − sin x при x → 0

и выделить ее главную часть.

9.Определить порядок малости бесконечно малой величины

f (x) = ln x при x → 1

и выделить ее главную часть.

10.Определить порядок малости бесконечно малой величины

x + 1	при x → +∞
f (x) = x4 + 1

и выделить ее главную часть.

11.Определить порядок роста бесконечно большой величины

f (x) = 1 + 1 + √x при x → +∞

и выделить ее главную часть.

12.Определить порядок роста бесконечно большой величины

f (x) =		x	при x	→	1

	3

	√1 − x3

и выделить ее главную часть.

Ответы

1. Одного порядка. 2. Нет. 3.							1	.	4.	1. 5. 1. 6. 2. 8.		1	x3.	9. x − 1.

							3					2
	1	3	1		1		1			1
		3	1							3
										3
10.	x		. 11. x 8	. 12.	− √3	x − 1					.
					3

Занятие 7. Непрерывность функции. Точки разрыва

Задание

1. Исходя из определения непрерывности функции ( lim f (x) =

x→x0

= f (x0)), доказать непрерывность дробно-рациональной функции

( ) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + anxn f x

b0 + b1x + b2x2 + · · · + bmxm

в каждой точке x0, в которой знаменатель не обращается в нуль.

2.Доказать непрерывность функции

f (x) = sin(2x − 3)

при любом значении x0 R, пользуясь определением непрерыв-

ности функции ( lim f (x) = f (x0)).

x→x0

3. Доказать на языке “ε − δ” непрерывность функции f (x) = √x + 4

в точке x = 5.

4.Можно ли сформулировать определение непрерывности функции f (x) в точке x0 следующим образом:

а) функция f (x) называется непрерывной в точке x0, если

( ε R)( δ > 0)( x E, |x − x0| < δ) : |f (x) − f (x0)| < ε,

б) функция f (x) называется непрерывной в точке x0, если

( ε > 0)( δ R)( x E, |x − x0| < δ) : |f (x) − f (x0)| < ε,

где E R — область определения функции f (x).

5. Исследовать на непрерывность функцию

y = 1 + x2 ,

доказав, что lim y = 0.

x→0

6. Исследовать на непрерывность функцию

f (x) = (x2 − 3) · 2x + arctg x · cos x , (x3 + 1) sin3 x

используя теоремы о непрерывных функциях.

7. Даны функции
				1	(2x2		+ 3)

	а	) f (x) =		5
	а				6	−	5x
						−

					x − 3


б			3x		при x > 3,
	) f (x) =		−2x2		при x ≤			3,

при − ∞ < x ≤ 1,

при 1 < x < 3,

при 3 ≤ x < +∞,

|2x − 3|

в) f (x) = 2x − 3 .

Найти точки разрыва, если они существуют. Определить колебания функции в точках разрыва первого рода.

8. Исследовать функцию
	x2	1
f (x) =		−	при x = 1,
f (x) =	x	1	при x = 1,
	5−		при x = 1

на непрерывность и установить характер точек разрыва.

9. Исследовать функцию	1
	1	при x = 0,
f (x) =	e x	при x = 0,
	0	при x = 0

на непрерывность и установить характер точек разрыва.

10. Исследовать функцию
f (x) =	1 + 2x		при x ≤ 0,
	sin 1		при x > 0

		x

на непрерывность и установить характер точек разрыва.

Решения

1.Возьмем любое значение x0 на числовой оси, при котором знаменатель не обращается в нуль, и вычислим предел дробнорациональной функции в этой точке

lim

f (x) =

x→x0

(a0 + a1x + a2x

+ · · · + anx

)

lim (b0

+ b1x + b2x2 +

· · ·

+ bmxm)

x→x0

x x0

→

lim x + a

lim x2 +

· · ·

+ a

lim xn

+ a1 x→x0

2 x→x0

n x→x0

+ b

lim x + b

lim

2 +

· · ·

+ b

lim xm

1 x→x0

2 x→x0 x

m x→x0

a0 + a1x0 + a2x02 + · · · + anx0n

= f (x0),

b0 + b1x0 + b2x02 + · · · + bmx0m

т.е. lim f (x) = f (x0). Откуда следует непрерывность дробно-

x→x0

линейной функции в каждой точке x0 из области определения этой функции.

2. Возьмем любое значение x0 на числовой оси и составим разность

sin(2x − 3) − sin(2x0 − 3) = 2 cos(x + x0 − 3) sin(x − x0) = α(x).

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1210 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.11.20191.59 Mб5MINISTERSTVO_OBRAZOVANIYa_I_NAUKI_ROSSIJSKOJ_FE...doc
#
27.03.201564.08 Кб11mirovaya_ekonomika.docx
#
27.03.201570.9 Кб14Mirovaya_ekonomika_Mikheeva_bilety.docx
#
16.09.2019211.97 Кб3Mirovozzrenie_i_ego_tipy.doc
#
27.03.20151.12 Mб24MMATAN01.pdf
#
27.03.2015651.36 Кб28MMATAN02.pdf
#
27.03.20151.02 Mб93MMATAN04.pdf
#
27.03.20151.1 Mб27MMATHAN05.pdf
#
01.09.2019285.18 Кб6Module 3_Company.doc
#
24.08.201941.3 Кб3moi_laby.docx
#
22.09.2019482.82 Кб1moi_otvety_na_fto_sukhodoev.doc