MMATAN02
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
не определена при x = 0. Найдем предел |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
lim |
1 + x |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
√3 1 + x − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
(√ |
|
|
− 1)(√ |
|
|
+ 1)( |
3 |
|
|
|
+ √3 |
|
|
+ 1) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(1 + x)2 |
|
|||||||||||||||||||||
= lim |
1 + x |
1 + x |
1 + x |
= |
||||||||||||||||||||||||
(√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
→ |
1 + x |
− |
1)( |
|
(1 + x) + |
1 + x |
+ 1)( |
1 + x |
+ 1) |
|
||||||||||||||||||
x 0 |
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
√ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
√3 |
|
|
|
||||||||||||||
|
(1 + x − 1)( |
|
|
+ √ |
|
+ 1) |
|
3 |
. |
||
|
(1 + x) |
|
|||||||||
= lim |
1 + x |
= |
|||||||||
(1 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x→0 |
|
1)(√1 + x + 1) |
|
2 |
|
||||||
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3
Таким образом, если положить f (0) = 2 , то функция
|
|
√ |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 + x |
− |
||||
|
√3 |
|
1 |
||||
f (x) = |
1 + x |
||||||
|
|
3 |
|
− |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
будет непрерывной в точке x = 0.
при x = 0,
при x = 0
111
б) Для функции f (x) = ln(1 − 3x) найдем предел x
lim |
ln(1 − 3x) |
= lim |
ln(1 − 3x)(−3) |
= |
||
x→0 |
x |
x→0 |
|
−3x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
lim |
|
−3x |
= −3 ln e = −3. |
||
= −3 x 0 ln(1 − 3x) |
|
|
||||
|
→ |
|
|
|
|
|
Если положить f (0) = −3, то функция
f (x) = |
|
ln(1 − 3x) |
при |
x = 0. |
x |
|
|||
|
|
−3 |
при x = 0 |
|
|
|
|||
будет непрерывной в точке x = 0.
в) Используя известный предел lim eα − 1 = 1, найдем
α→0 α
lim |
23x − 1 |
= lim |
( e3x ln 2 − 1)3 ln 2 |
= 3 ln 2. |
|
x |
3x ln 2 |
||||
x→0 |
x→0 |
|
Отсюда получаем, что если f (0) = 3 ln 2, то функция
f (x) = |
|
23x − 1 |
при x = 0. |
x |
|||
|
|
3 ln 2 |
при x = 0 |
|
|
|
|
будет непрерывной в точке x = 0.
г) Для функции f (x) = |
arcsin x |
найдем предел |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 tg x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
lim |
arcsin x |
= lim |
arcsin x |
|
|
x |
|
|
1 |
= 1 |
|
1 |
|
1 |
= |
|||||
2 tg x |
|
· |
tg x · |
2 |
· |
· |
2 |
|||||||||||||
x→0 |
x→0 |
x |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если положить f (0) = |
|
|
, то функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
arcsin x |
при x = 0, |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
f (x) = |
|
2 tg x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
при |
x = 0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
112
1
2 .
будет непрерывной в точке x = 0.
Задачи для самостоятельной работы
Исследовать функции на непрерывность, одностороннюю непрерывность, определить точки разрыва и установить их характер. Построить график функции, если:
|
|
|
−x |
при x < 0, |
||
1. |
f (x) = |
sin x |
при 0 |
≤ |
x < π, |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
при x ≥ π. |
||
|
|
x |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = |
−x |
1 |
|
|
2 |
|||
2. |
|
|
|
+ 1 |
|
|
x |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
− x |
|
|
|
|
|
при x < −1,
при − 1 ≤ x ≤ 1, при x > 1.
|
f (x) = |
|
0 |
|
при x = 2, |
3. |
|
8 |
x + 2 |
1 |
при x < 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
при x > 2. |
|
π |
x − 2 |
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следующие функции доопределить в точке x = 0 так, чтобы они стали непрерывными в этой точке:
4. |
f (x) = |
arctg x |
. |
|
5. |
f (x) = |
5x2 − 3x |
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
2x |
|
|
2x |
|||
|
|
√ |
|
− 1 |
. |
|
|
sin2 x |
. |
6. |
f (x) = |
1 + x |
7. |
f (x) = |
|||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x |
|
|
1 − cos x |
|||
Ответы
1. Функция непрерывна на интервалах (−∞, π) и (π, +∞), имеет разрыв 1-го рода в точке x = π, непрерывна справа в точке x = π. График изображен на рис. 3.4 (слева). 2. Функция непрерывна на
113
интервалах (−∞, −1) и (−1, +∞), имеет разрыв 2-го рода (бесконечный разрыв) в точке x = −1 , непрерывна справа в точке x = −1. График изображен на рис. 3.4 (в центре). 3. Функция непрерывна на интервалах (−∞, 2) и (2, +∞), в точке x = 2 имеет устранимый разрыв. График изображен на рис. 3.4 (справа).
y |
|
|
y |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
-2 0 |
|
||
0 |
π x |
-1 0 |
2 |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.4
4. f (0) = 12 . 5. f (0) = −32 . 6. f (0) = 12 . 7. f (0) = 2.
114
Кошелев Виктор Николаевич Лисин Борис Всеволодович
ПРЕДЕЛЫ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
Учебное пособие
Формат 60х84 1/16.
Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура Таймс. Усл. печ. л. 6,6. Уч.-изд. л. 5,9.
Заказ N◦ . Тираж 300 экз.
Издательство Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского.
603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23
Отпечатано в типографии Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского
603000, г. Нижний Новгород, ул. Б. Покровская, 37