Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

MMATAN02

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

651.36 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

Глава 3

Практика по темам “Теория пределов. Непрерывность функции”

Занятие 1. Предел последовательности

Задание

Найти пределы последовательностей

1.	lim	n + 1					.															2.			lim		(n + 1)2					.
																											(n + 1)2
			n
n→+∞			n																					n +					2n2
																									→ ∞
3.	lim	n3 − 100n2 + 1												.								4.			lim				1000n3 + 3n2				.
3.	lim													.								4.			lim		0,001n4 − 100n2 + 1						.
n→+∞		100n2 + 15n																						n→+∞			0,001n4 − 100n2 + 1
		(2n + 1) − (n − 1)																									√
5.	lim																.					6.			lim		√			2	+ n .
5.	lim																.					6.			lim		3	n			+ n .
									4						4												3
n→+∞		(2n + 1)4 + (n + 1)4																						n +
n→+∞		(2n + 1)4 + (n + 1)4																						n +				n + 1
																									→ ∞
				√				3				2					√				4
																		3
7.	lim						n		− 2n				+ 1 +					3		n		+ 1				.
							n						+ 1 +							n
		4													5
n	→ ∞	4		n	6	+ 6n				5	+ 2 −				5	n		7	+ 3n				3	+ 1
n	+	√			6					5					√			7					3

		√		5						√ 2
8.	lim	4	n			+ 2		−		3	n		+ 1		.


		√		4						√		3
n	+
	→ ∞	5	n + 2 −								n		+ 1

		1 +		1			+	1	+ · · ·				+	1
																.
10.	lim				2			4						2n
				1				1						1
n	+
	→ ∞	1 +					+		+ · · ·				+
					3			9						3n

9.	lim	(n + 2)! + (n		+ 1)!		.
		(n + 2)! − (n		+ 1)!
	n→+∞
11.	n→+∞		1 + 2 + 3 +		+ n		−	n	.
			n + 2· · ·					2
	lim

12.

n→+∞

· · ·

1 · 3

3 · 5

(2n − 1)(2n + 1)

lim

√

sin √n.

13.

lim

14. lim (

+ 1

−

1).

+ 1

n→+∞ n2

n→+∞

√√ √ √

15.lim ( 3 n + 1 − 3 n). 16. lim ( 4 n + 1 − 4 n − 2).

n→+∞ n→+∞

Решения

При нахождении пределов чаще всего используются арифметические действия над сходящимися последовательностями (теорема 1.4). Исключение для этой теоремы представляют так называемые

∞

, ∞ − ∞, 0 · ∞.

неопределенности вида

∞

Для раскрытия неопределенности

∞

(примеры 1 – 8) числи-

∞

тель и знаменатель дроби делят на

наибольшую (не обязательно це-

лую) степень натуральной переменной n.

n→+∞

n + 1

= n→+∞ 1 + n = 1 + 0 = 1.

lim

1 +

+ 2n + 1

lim

(n + 1)

= lim

lim

2n2

n→+∞

n→+∞ 2n2

n→+∞

1 + 0 + 0

n3 − 100n2 + 1

1 −

100

3. n

lim

100n2 + 15n

100

∞

→ ∞

1000n3 + 3n2

1000

lim

= 0.

n→+∞

0,001n4 − 100n2 + 1

n→+∞ 0,001

100

− n2

2 +

−

(2n + 1)4 − (n − 1)4

−

lim

(2n + 1)4 + (n + 1)4

n +

→ ∞

2 +

−

24 − 1

24 + 1

+ n

lim

√n2

lim

= 0.

n + 1

→ ∞

1 +

√ 3

√

lim

− 2n

+ 1 +

+ 1

+ 6n

+ 2 −

+ 3n

+ 1

→ ∞

√

√ 4

− 2n

+ 1

√

lim

+ 6n

+ 2

+ 3n

+ 1

→ ∞

√

−

√

lim

+ 6

= 1 + 0 = 1.

− n3

2n2

+ 1

+ 1)2

→ ∞

−

n15

+ 6n

+ 2

+ 3n

+ 1)

n→+∞

lim

√

√n5 + 2

√n2

+ 1

+ 2

−

n + 1

√

8. lim

−

= lim

√

√ 3

√

n +

→ ∞

n + 2

−

+ 1

→ ∞

n + 2

n + 1

√

−

√

− 6

= lim

= 0 − 0 = 0.

+ 2

(n2

+ 1)2

−

− 1 + n3

→ ∞

n15

+ 2)

9. Используя определение "факториала" n! = 1 · 2 · 3 · · ·n, получаем

lim	(n + 2)! + (n + 1)!	=

n→+∞ (n + 2)! − (n + 1)!
=		lim

n→+∞

(n + 1)!(n + 2) + (n + 1)! = (n + 1)!(n + 2) − (n + 1)!

n + 3 = 1. n + 1

10.В числителе и знаменателе при переходе к пределу получим суммы бесконечно убывающих прогрессий. Поэтому

		1		1		1			1

	1 +		+		+ · · · +			1	−	1			4
lim	1 +	2	+	4	+ · · · +	2n	=	1	−	2		=	4	.
lim		1		1		1	=		1			=		.
n +		1		1		1			1		3
→ ∞ 1 +			+		+ · · · +						3
→ ∞ 1 +		3	+	9	+ · · · +	3n		1	−	1
								1	−	3

11. По формуле суммы первых n членов арифметической прогрессии

имеем 1 + 2 + 3 + · · · + n = n + 1 n. Тогда

n→+∞

1 + 2 + 3 +

+ n

= n→+∞

(n + 1)n

−

n + 2· · ·

− 2

2(n + 2)

lim

= −

lim

−

2 n

n + 2

→ ∞

12. Для любого k = 1, 2, . . . , n выполняется

1	=	1	1	−	1	.

(2k − 1)(2k + 1)		2	2k − 1		2k + 1

Но тогда

n→+∞ 1 · 3

3 · 5

+ · · · + (2n − 1)(2n + 1)

lim

− 5

· · ·

2n − 1 −

2n + 1 =

= n→+∞ 2 1 −

3 3

lim

−

= n→+∞

2n + 1

13. Величина

– бесконечно малая,

lim

= 0, после-

+ 1

n→+∞ n2

довательность sin

√

– ограничена, | sin √

| ≤ 1. Произведение

бесконечно малой последовательности на ограниченную есть бес-

конечно малая последовательность. Поэтому

lim

sin √

= 0.

n→+∞ n2 + 1

14.В этой задаче, так же как и в следующих двух, имеем дело с неопределенностью (∞−∞). При решении этих задач с помощью формул сокращенного умножения избавляемся от иррациональности в числителе.

								2
n→+∞			−		−		n→+∞	2	√n2 − 1	= 0.
n→+∞			−		−		n→+∞	√n2 + 1 +	√n2 − 1
lim	(	n2 + 1		n2		1) = lim

√√

15.lim ( 3 n + 1 − 3 n) =

n→+∞

√

lim

(

n + 1 −

n)(

(n + 1)

n + 1

n +

)

√

→ ∞

√n +

1) + √n + 1

√

lim

= 0.

√

→ ∞

+ 1)

n + 1

+√nn+ 1 √n 2

√

16.

lim (

√n + 1

√n

2) =

lim

−

√

+ 1 +

n − 2

→ ∞

lim

= 0.

(

√

→ ∞

n + 1 +

n − 2)(

n + 1 +

n −

Задачи для самостоятельной работы

(n + 1) − (n − 1) .

√

lim

+ 2n

− 1 .

n→+∞

(n + 1)2 + (n

1)2

n +

−

n + 2

√

→ ∞

(n + 2)! + (n + 1)!

lim

( n

+ 1 + n)

lim

√

(n + 3)!

→ ∞

+ 1

→ ∞

lim

√

+ 1 −

√

lim

√n2 sin n!

( n

n).

→ ∞

n→+∞

n + 1

lim

1 + a + a2 + · · · + an

( a

< 1, b

< 1).

1 + b + b2 + · · · + bn

n→+∞

| |

lim

n − 1

· · ·

n→+∞

lim

(n − 1)2

· · ·

n→+∞

10.

n→+∞

· · ·

1 · 2

2 · 3

n(n + 1)

lim

Ответы

1 − b 1 1

1. 3. 2. 1. 3. 4. 4. 0. 5. 0. 6. 0. 7. 1 − a . 8. 2 . 9. 3 . 10. 1.

Занятие 2. Предел функции

Задание

Найти пределы функций:

1. a) lim	x2 − 1	, б) lim	x2 − 1	, в) lim	x2 − 1	.
	2x2 − x − 1		2x2 − x − 1
x→0		x→1		x→∞ 2x2 − x − 1

lim

(1 + x)5 − (1 + 5x)

lim

(2x − 3)20(3x + 2)30

x→0

x2 + x5

x→∞

(2x + 1)50

lim

x2 − 5x + 6

lim

x3 − 3x + 2

x→3 x2 − 8x + 15

x→1 x5 − 4x + 3

lim

xm − 1

(m и n – натуральные числа).

x→1

xn − 1

x +

→

x +

x + √

lim

√9 + 2x − 5

→ ∞

√

x 8

lim

√

−

x + 1

lim

√

−

√

x + 2

x + 20

x→7

√x + 9 − 2

10.

x→∞

+ x

+ 1 −

− x + 1 .

lim

√ 3

√

11.

x→+∞

+ 3x −

− 2x .

lim

√ 2

√

Решения

lim

x2 − 1

0 − 1

= 1,

2x2 − x − 1

2 · 02 − 0 − 1

x→0

б)

lim

x2 − 1

= lim

(x − 1)(x + 1)

= lim

x + 1

2x2 − x − 1

2x + 1

x→1

x→1 (x − 1)(2x + 1)

x→1

x2 − 1

1 −

в)

lim

= lim

x→∞ 2

x→∞ 2x − x − 1

−

Применяя разложение бинома Ньютона при n = 5,

(x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5,

получаем

(1 + x)5 − (1 + 5x)

lim

x→0

x2 + x5

= lim

(1 + 5x + 10x2 + 10x3 + 5x4 + x5) − (1 + 5x)

x→0

x2 + x5

= lim

10 + 10x + 5x2 + x3

= 10.

x→0

1 + x3

(2x − 3)20

(3x + 2)30

x30

lim

(2x − 3)

(3x + 2)

lim

x20

(2x + 1)50

x→∞

(2x + 1)50

x50

2 −

3 +

220 330

30 .

lim

250·

= x→∞

2 +

lim

x2 − 5x + 6

= lim

(x − 3)(x − 2)

= lim

x − 2

−

x→3 x2 − 8x + 15

x→3

(x − 3)(x − 5)

x→3 x − 5

lim

x3 − 3x + 2

= lim

(x − 1)(x2 + x − 2)

(x − 1)(x3 + x2 + x − 3)

x→1 x4 − 4x + 3

x→1

= lim

x2 + x − 2

= lim

(x − 1)(x + 2)

+ x2 + x − 3

(x − 1)(x2 + 2x + 3)

x→1 x3

x→1

= lim

x + 2

+ 2x + 3

x→1 x2

Применим следующую формулу сокращенного умножения

xn − yn = (x − y)(xn−1 + xn−2y + xn−3y2 + · · · + xyn−2 + yn−1).

Имеем

lim

xm − 1

= lim

(x − 1)(xm−1 + xm−2 + · · · + x + 1)

xn − 1

x→1

(x − 1)(xn−1 + xn−2 + · · · + x + 1)

= lim

xm−1 + xm−2 + · · · + x + 1

xn−1 + xn−2 + · · · + x + 1

x→1

lim

x + x + √x

lim

1 +

x x

√

= x

→ ∞

√x + 1

→ ∞

1 +

√

1 +

lim

= 1.

→ ∞

1 +

√

lim √9 + 2x − 5

= lim (9 + 2x − 25)(

√

− 2

√

→

(x − 8)( 9 + 2x + 5)

√

+ 2

4 + 4 + 4 12

√x + 4

lim

= 2 5 + 5

= 5 .

= 2 x→8

(√9 + 2x + 5)

Вычтем и прибавим в числителе число 3, после чего разобьем

предел на два

lim

√

−

√

= lim

√

− 3

lim

√

− 3 .

+ 2

+ 20

+ 2

x + 20

√

− x 7

√

x + 9 − 2

x 7

+ 9 − 2

x + 9 − 2

→

Вычислим каждый из пределов в отдельности

√

lim

4 x

+ 2

−

3 = lim (x + 2

− 9)(

+ 9

+ 2)(

+ 9

+ 4) =

√

+ 9 −

→

(x + 9 − 16)(

x + 2 + 3)

→

lim

( √x + 9 + 2)(√x + 9 + 4) = (2 + 2)(4 + 4) = 16 ;

= x

√

3 + 3

x + 2 + 3

√

→

√

lim

− 3

= lim

(x + 20 − 27)(

+ 2)(

+ 4) =

x + 20

x + 9

+ 9

→

x + 9 − 2

→

(x + 9 − 16)(

(x + 20) + 3

+ 20 + 9)

√

= lim

( √x + 9 + 2)(√x + 9 + 4) = (2 + 2)(4 + 4) = 32 .

x→7

3 (x + 20)2 + 3

√x + 20 + 9

9 + 9 + 9

Окончательно получаем

lim

√

−

√

= 16

32 = 112 .

+ 2

x + 20

√

−

x 7

+ 9 − 2

→

10. x→∞		3		x		+ x					−	3	x − x			+ 1 =
lim		3			3				2	+ 1		3	3	2
lim		√			3				2	+ 1	√		3	2
= x→∞								(x		+ x + 1) − (x − x + 1)													3		(x + x + 1) +
		lim							3		2			3			2						3
		lim																							3	2		2
	+																										−	1
	+		3		(x3 + x2 + 1)(x3 − x2 + 1) +														3			(x3	− x2 + 1)2				−	=

= xlim 2							3			+ x6				+		3
= xlim 2							3			+ x6				+		3		1 + x + x3								1 − x + x3				+
	→∞																			1			1				1		1
									(x3		x2 + 1)2									1			1				1		1
										= 3											−1			2
													(x3		x2 + 1)2						−1			2
														−								=
														x6								=		3

11.Вычитая и прибавляя x, разобьем исходный предел на два предела

x→+∞

x + 3x − x − 2x =

lim

= x→+∞

−

x→+∞

−

lim

x3 + 3x2

lim

2x .

Вычислим эти пределы

lim

x3 + 3x2

− x3

x3 + 3x2

= lim

= 1,

−

x→+∞

(x3 + 3x2)2 + x √x3 + 3x2 + x2

x2 + 2x

x→+∞

−

x→+∞ √x2−− 2x + x = 1.

−

lim

Окончательно

−

x→+∞

lim

x3 + 3x2

= 1 + 1 = 2.

Задачи для самостоятельной работы

1. lim

(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5)

x→+∞

(5x − 1)5

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.11.20191.59 Mб5MINISTERSTVO_OBRAZOVANIYa_I_NAUKI_ROSSIJSKOJ_FE...doc
#
27.03.201564.08 Кб11mirovaya_ekonomika.docx
#
27.03.201570.9 Кб14Mirovaya_ekonomika_Mikheeva_bilety.docx
#
16.09.2019211.97 Кб3Mirovozzrenie_i_ego_tipy.doc
#
27.03.20151.12 Mб24MMATAN01.pdf
#
27.03.2015651.36 Кб28MMATAN02.pdf
#
27.03.20151.02 Mб93MMATAN04.pdf
#
27.03.20151.1 Mб27MMATHAN05.pdf
#
01.09.2019285.18 Кб6Module 3_Company.doc
#
24.08.201941.3 Кб3moi_laby.docx
#
22.09.2019482.82 Кб1moi_otvety_na_fto_sukhodoev.doc