metodII.pdf матека

71

43. ЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ В ВЕКТОРНОМ ПОЛЕ. РАБОТА СИЛОВОГО ПОЛЯ

В векторном поле, определенном вектором a , дана некоторая дуга L .

Суммируя склярные произведения, относящиеся ко всем элементарным дугам и переходя к пределу при n → ∞ , то есть при max L1 → 0

(i = 1,2,K, n), получим

Криволинейный интеграл (87) определяет работу вектора при передвижении точки приложения вектора по дуге L :

- линейный интеграл по координатам.

Пусть кривая L замкнута и линейный интеграл берется по всей кривой.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Циркуляцией С векторного поля a называется линейный интеграл, взятый по замкнутой кривой L .

72

Циркуляция вектора a вдоль кривой L вычисляется по одной из следующих формул:

C = ∫a dr ;

L

C = ∫a τ dL ;

L

C = ∫a x dx + a y dy + a z dz .

L

За положительный обход принимается обход, совершаемый против хода часовой стрелки.

Циркуляция С выражает работу векторного поля a вдоль замкнутой

Рис. 34

Вычислим каждый из интегралов правой части отдельно.

73

ной линии не совпадает с направлением обхода.

44.РОТОР ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ И ЕГО ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

Вслучае произвольного векторного поля можно считать, что на небольших участках векторное поле будет вести себя примерно так, как поле линейных скоростей вращающейся жидкости или как магнитное поле, порожденное электрическим током вблизи провода, по которому он течет, если, конечно, циркуляция поля не равна нулю. Поэтому можно предположить, что для произвольного векторного поля в каждой его точке существует еще один вектор, который определяет циркуляцию поля по границам малых площадок, содержащих эту точку. Отношение циркуляции векторного поля по замкнутой кривой к величине площади, ограниченной кривой, равно проекции этого нового вектора на нормаль к площади.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции векторного поля по контуру L плоской площадки σ , перпендикулярной этому направлению, к величине этой площади, когда размер площадки стремится к нулю, а сама площадка стягивается в точку, называется ротором или вихрем (вихревым вектором):

∫ a dr

Нормаль n к площадке направлена так, чтобы при вычислении циркуляции обход по контуру L совершался против часовой стрелки.

Без доказательства приводим формулу для вычисления ротора:

Ротор вектора a по своему строению есть векторное произведение двух

векторов, поэтому rot a можно записать в другой форме:

75

мгновенной угловой скоростью ω вокруг мгновенной оси, проходящей через

M 0 (рис. 35).

Вектор r , соединяющий точки M0 и M , имеет вид r = (x − x 0 )i + (y − y0 )(z − z 0 )k .

Положив V = i x + j y + k z , V0 = i x 0 + j y0 + k z0 ,

ω= i ωx + jωy + k ωz

иподставим в (4), получим

+ i (ωy (z − z 0 ) − ωz (y − y 0 ))− j(ωx (z − z 0 ) − ωz (x − x 0 )) +

+k (ωx (y − y0 ) − ωy (x − x 0 ))= i(x 0 + ωy (z − z 0 ) − ωz (y − y0 ))+

+j(y0 − ωx (z − z 0 ) + ωz (x − x 0 )) + k(z 0 + ωx (y − y0 )− ωy (x − x 0 )).

Тогда

rot V = i(ωx + ωx ) + j(ωy − ωy )+ k(ωz + ωz ) = = 2(i ωk + jωy + k ωz )= 2ω .

Итак, ротор поля скоростей твердого тела в любой его точке равен удвоенной

угловой скорости rot V = 2 ω .

45. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ПОЛЕ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Векторное поле a называется потенциальным, если существует такая функция U(M) в области V , что для всех точек области

a (M) = grad U(M).

Потенциальное поле называют также безвихревым полем.

Теорема об условии потенциальности.

Для того чтобы векторное поле a было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым, то есть rot a = 0 .

Доказательство: Необходимость. Пусть векторное поле a является потенциальным. Тогда существует такая скалярная функция u = u(x, y, z), что

a = grad u , тогда