metodII.pdf матека

x

Рис. 28

grad (r a ) сохраняет во всех точках поля одинаковое направление, совпадающее с направлением вектора a , так что поверхностями уровня скалярного произведения r a являются плоскости, перпендикулярные вектору a (рис. 28).

39. ДВУСТОРОННИЕ ПОВЕРХНОСТИ. ОРИЕНТАЦИЯ ПОВЕРХНОСТИ. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА

Пусть задана гладкая поверхность σ . Тогда каждой точке M поверхности можно определить нормальный вектор n(M). Выберем, например, вектор n . Учитывая, что поверхность σ гладкая, непрерывное изменение точки M ведет к непрерывному изменению вектора n(M). Рассмотрим замкнутый кон-

x

совокупность всех точек поверхности с выбранными в них по непрерывности

нормали называется стороной поверхности (рис. 29).

62

Примерами двусторонних поверхностей могут служить эллипсоид, пара-

непрерывные в области G плоскости x0y и др. Очевидно, выбор одного из

двух направлений n(M) или − n(M) задает сторону, и обратно, задание стороны фиксирует положение нормали. В связи с этим всякую непрерывную нормаль гладкой поверхности называют ориентацией поверхности σ , а поверхность, у которой фиксирована одна из ориентаций, называется ориентированной.

Пусть σ − незамкнутая двусторонняя поверхность, ограниченная конту-

ром L , не имеющим точек самопересечения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Положительным направлением обхода контура

называется направление, при движении по которому по выбранной стороне сама поверхность остается слева. Выбранная сторона в этом случае называется

стороной с положительной ориентацией и обозначается через σ + . Противо-

положная сторона – сторона с отрицательной ориентацией σ − .

Замечание 1. Если не выполняется хотя бы одно из требований определения 1, то поверхность называется односторонней. Примером такой поверхности может служить лист Мебиуса. В данных указаниях рассматриваются только двусторонние поверхности.

Замечание 2. Определение двусторонней поверхности можно расширить на случай кусочно-гладкой поверхности σ , состоящей из гладких кусков σ1 , σ 2 ,K, σ m , т.е. поверхность σ − двусторонняя, если на контурах каждого из кусков σ1 , σ 2 ,K, σ m можно так задать направление обхода, что общие части этих контуров будут описываться во взаимно противоположных направлениях.

Ориентация контуров определит стороны σ1 , σ 2 ,K, σ m , тогда сторона поверхности σ определится как совокупность ее частей.

Рассмотрим гладкую двустороннюю поверхность σ , на которой выбрана еди-

жду нормалью и осью 0Z . Поскольку n(M) является непрерывной функцией точки M поверхности S, cos(n, k ) является также непрерывной функцией. Пусть на точках поверхности σ задана непрерывная функция Φ(M) = Φ(x, y, z),

где M S. Тогда Φ(x, y, z) cos(n, k) также непрерывная функция. Аналогич-

но непрерывной функцией точки является Φ(x, y, z) cos(− n, k). Рассмотрим по-

63

верхностные интегралы первого рода от этих функций по поверхности σ . Эти интегралы существуют, поскольку подынтегральные функции непрерывны.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Поверхностными интегралами второго рода (при заданном представлении поверхности)

Рассмотрим свойства поверхностных интегралов второго рода. Так как

(n, k )+ (− n, k)= π , то cos(− n, k )= − cos(n, k). Отсюда

то есть при изменении ориентации поверхностный интеграл второго рода меняет знак.

Остальные свойства согласно определению аналогичны свойствам поверхностных интегралов первого рода.

Замечание 3. Когда из контекста ясна ориентация поверхности, вместо записи (65) используют запись

непрерывны в области G , являющейся проекцией σ на плоскость x0y . Тогда

(70) представляет собой параметрическое дифференциальные уравнение век-

41. ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ ЧЕРЕЗ ПОВЕРХНОСТЬ

Пусть векторное поле определено векторной функцией a (x, y, z). Для наглядности некоторого потока несжимаемой жидкости, движущейся стационарно, рассмотрим произвольную поверхность σ , находящуюся в потоке, и подсчитаем, какое количество жидкости протекает через эту поверхность за единицу времени. Для решения поставленной задачи разобьем поверхность σ

69

На боковой поверхности внешняя нормаль параллельна плоскости x0y и про-

Окончательно Q = ∫∫a n dσ = 2πR 2 H + πR 2 H = 3πR 2 H .

(σ )

42. ДИВЕРГЕНЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ И ЕЕ СВОЙСТВА

Рассмотрим векторное поле a и некоторую замкнутую поверхность σ . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Отношение потока векторного поля к объему V , ог-

раниченному поверхностью σ , называется средней обильностью потока

∫∫ a dσ

V

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Предел величины (83), когда V → 0 и σ стягивается

в точку M , если он существует, называется дивергенцией вектора a и обозначается div a :

∫∫ a dσ

Дивергенция векторного поля есть скалярная величина.

Если div a > 0 , то точка M − источник, откуда жидкость вытекает, а при div a < 0 точка M представляет собой сток, поглощающий жидкость; иначе говоря, в точках поля с положительной дивергенцией векторные линии начинаются, а в точках поля с отрицательной дивергенцией – кончаются.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Векторные поля, у которых div a = 0, называются

соленоидальными.

Соленоидальные поля не могут иметь ни источников, ни стоков. Векторные линии такого поля либо замкнуты, либо начинаются и кончаются у границ поля (или уходят в бесконечность).

Можно доказать, что