Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

metodII.pdf матека

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

1.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 162 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

ПРИМЕР 1. Найти ∫(x + 1)cos 2xdx. Решение

∫(x + 1)cos 2xdx =	x + 1 = u, du = dx
	dv = cos 2xdx, v =	1	sin 2x
		2

− ∫	1	sin 2xdx =	1	(x + 1)sin 2x +			1	cos 2x + C.
− ∫		sin 2xdx =		(x + 1)sin 2x +				cos 2x + C.
2		2				4
ПРИМЕР 2. Найти ∫ ln x dx .
						1
						1
Решение ∫ ln x dx =					ln x = u,	du =				dx	=
Решение ∫ ln x dx =					ln x = u,	du =			x	dx	=
					dv = dx,	v = x

=1 (x + 1)sin 2x −

=x ln x − ∫ x 1x dx = x ln − ∫ dx = x ln x − x + C .

14.ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ

Функция f (x) называется дробно-рациональной, если она представима в

виде отношения двух многочленов

f (x) = Pm (x) , Qn (x)

где Pm (x) − многочлен степени m , Qn (x) − многочлен степени n . Среди дробно-рациональных дробей различают так называемые правиль-

ные и неправильные дроби.

Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, в противном случае рациональная дробь называ-

ется неправильной.

Если рациональная дробь неправильная, то разделив ее числитель Pm (x) на знаменатель Qn (x) по правилу деления двух многочленов, можно предста-

вить	f (x) в виде суммы некоторого многочлена Lp (x), называемого целой
частью, и некоторой правильной дроби, то есть в виде
		f (x) = Lp (x)+		rs (x)		,
		f (x) = Lp (x)+		Qn (x )		,
				Qn (x )
где L		(x )− целая часть,	rs (x)		− правильная дробь.
где L	p	(x )− целая часть,	Qn (x )		− правильная дробь.
			Qn (x )

Таким образом,

∫f (x)dx = ∫ Lp (x)dx + ∫

rs (x)

dx .

(x)

Так как ∫ Lp (x)dx легко находится (интеграл от многочлена), то задача

вычисления интеграла ∫f (x)dx

сводится к интегрированию правильной ра-

циональной дроби.

Рациональные дроби вида

Ax + B

(k ≥ 2),

x − a

(x − a)k

x 2 + px + q

(

+ px + q

гдеA, B, a, p, q − действительные числа, k − натуральное число, а трехчлен x 2 + px + q не имеет действительных корней, называются простейшими дробями.

Рассмотрим интегралы от этих простейших дробей:

1) ∫

∫

d(x − a )

= ln

x − a

+ C ,

x − a

2) ∫

= ∫

d(x − a )

+ C ,

(x − a )k

(x − a )k−1 (1 − k)

x +

3) ∫

∫

arctg

+ C ,

x 2 + px + q

x +

q −

где a 2 = q −

p 2

4) ∫

(2x + p)dx

= ∫

d(x 2

+ px + q)

= ln

x 2 + px + q

+ C ,

x 2 + px + q

+ px + q

2x +

(2x + p)dx

Ax + B

5) ∫

dx =

∫

dx =

∫

x 2 + px

+ q

x 2 + px + q

− p

A 2B

∫

dx =

+ px

+ q

− p ∫

x 2 + px + q

x 2

+ px + q

Правильную рациональную дробь можно представить и притом единственным образом в виде следующей суммы простейших дробей:

r s (x)

+ K +

Q n (x)

(x − a1 )

(x − a1 )2

(x − a1 )k

x − a 2

+ K +

A m

+ K

C1x + D1

C2 x + D 2

+ K +

(x − a

x 2 + px + q

(

+ px

+ q

Cν x + Pν

(x 2 + px + q)ν

где

Ai , Bi , Ci , Di −

постоянные

числа

с соответствующими

индексами,

, a

,K − корни многочлена

(x), x 2 + px + q − квадратный трехчлен,

соответствующий комплексным корням многочлена Qn (x).

Поясним это утверждение на примере.

2x 3 + x 2 + x + 2

A 1

A 2

Cx + D

(2)

(

)2 ( 2

)

−

(

x − 1

+ x + 1

− 1

+ x + 1

где A1 , A 2 , C, D − постоянные числа.

Чтобы найти их, приводим дроби (2) к общему знаменателю и приравни-

ваем числители левой и правой частей:

2x 3 + x 2 + x + 2 = A

−

1)(x 2 + x + 1)+ A

(x 2 + x

+ 1)+

(3)

+ (Cx + D)(x − 1)2 .

Раскрывая скобки в правой части (3), группируем члены с одинаковыми

степенями x и приравниваем коэффициенты

при одинаковых степенях x обе-

их частей (3):

2 = A1 + C

1 = A 2 + D − 2C

1 = A 2 + C − 2D

(4)

2 = −A1 + A 2 + D

Получили

четыре

линейных

уравнения

с четырьмя

неизвестными

A1 , A 2 , C, D . Решая систему (4),

получим A1 = 1, A 2

= 2, C = D = 1, и по-

этому

2x 3 + x 2 + x + 1

) =

x + 1

(5)

)2 (

(

+ x + 1

x − 1

(

+ x

x −

1 x

x − 1

+ 1

Неопределенный интеграл от левой части равенства (2) равен сумме неопределенных интегралов от всех членов правой плюс некоторая постоянная

С.

∫

2x 3 + x 2

+ x + 1

= ∫

+ 2∫

+ ∫

x + 1

dx =

(

)2 ( 2

)

(

x − 1

+ x + 1

− 1 x

+ x +

x −

(x − 1)+ ln

arctg

+ C

= ln

x − 1

− 2

x 2 + x + 1

15. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Интеграл вида ∫ R(sin x, cos x)dx

подстановкой

t = tg

приводится к

интегралу от рациональной функции t , где

R(sin x, cos x )− рациональная

функция от sin x, cos x ,

эта подстановка называется универсальной. В самом

деле

2tg

1 − tg

2 x

sin x =

;

cos x =

1 − t

2 x

1 + t 2

2 x

1 + t 2

1 + tg

x = 2arctg t,

dx =

2 dt

, поэтому

1 + t 2

∫

(

)

= ∫

1 − t

2 dt

R cos x, sin x dx

1 + t

Если функция R(u, v) обладает свойствами четности или нечетности по переменным u, v , можно применить и другие подстановки.

1.Если R(− cos x, sin x) = −R(cos x, sin x), то sin x = t рационализи-

рует этот интеграл.

2.Если R(cos x,− sin x) = −R(cos x, sin x), то cos x = t рационализи-

рует этот интеграл.

3. Если R(− cos x,− sin x ) = R(cos x, sin x), то tgx = t, x = arctgt, dx =

1 + t 2

и ∫R(cos x, sin x)dx = ∫R

1 + t 2

+ t

2 .

1 + t 2

n1 , n 2 ,K, n k

ПРИМЕР. Вычислить интеграл ∫ tg 4 x dx .

Решение. Положим tgx = t, dx =

, тогда

1 + t 2

∫ tg 4 x dx = ∫

t 4

dt = ∫

t 4 + t 2 − t 2 − 1 + 1

dt =

+ t 2

1 + t 2

t 2 (t 2

+ 1)− (t 2 + 1)− 1

= ∫

dt =∫ t 2

− 1 −

= ∫ t 2 dt − ∫dt −

1 + t 2

t 2 + 1

− ∫

t 3 − t − arctg t + C =

tg 3 x

− tgx − arctg(tgx) + C .

+ t 2

16. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

Пусть подынтегральная функция f (x) − иррациональная, то есть

f (x) = R x, x

, x

,K, x

k .

1. Интеграл вида

∫R x, x

, x n 2

,K, x n k

dx приводится подстановкой

x = t s , где s − наименьшее общее кратное чисел к интегралу от дробно-рациональной функции, следовательно, выражается через элементарные функции.

ax + b

2. Интеграл вида ∫ R

где

a, b, c, d −

постоянные числа,

cx + d

dx ,

приводится подстановкой

t = m

ax + b

к интегралу

от дробно-рациональной

cx + d

функции.

1 +

ПРИМЕР. Вычислить ∫

dx .

x −

Решение. Полагая x = t 2 , получим dx = 2t dt ,

(1 + t )2t dt

1 + x

t + 1

∫

dx = ∫

t 2 − t

= 2∫

dt =

2∫ 1

dt =

2∫dt + 4∫

x − x

t − 1

= 2t + 4 ln t − 1 + C = 2x + 4 lnx − 1 + C .

17. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА

На отрезке [a, b] задана функция f (x). Разобьем отрезок [a, b] на части

точками: a = x0 <x1< x 2	< K < x n = b (рис. 1). На каждом отрезке [x i , x i+1 ] раз-
биения выберем произвольную точку ξi [x i , x i+1 ] и составим сумму
Sn = n∑−1f (ξi ) x i ,	x i = x i+1 − x i ,
i=0
которая называется интегральной суммой для функции f (x).
y	f (x )

ξ0 ξ1	ξ2		ξn
a = x0 x1 x2			xn−1 xn = b	x
	xi	xi+1
	Рис.1
Обозначим через λ = max	x i	наибольшую длину частичных отрезков
0≤i≤n −1

[x i , x i+1 ] разбиения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Предел, к которому стремится интегральная сумма Sn , когда λ → 0, n → ∞ , называется определенным интегралом от функцииf (x) на отрезке [a, b] и обозначается следующим образом:

	= lim ∑n			b
lim Sn	= lim ∑n		f (ξ i )	x i = ∫ f (x)dx,	a < b .
λ n →0	λn →0	i=1		a
	n →∞	i=1		a
	n →∞
Число	a называется			нижним пределом определенного интеграла, а
число b −	верхним		его	пределом, f (x)	− подынтегральной функцией,
f (x)dx − подынтегральным выражением,					x − переменной интегрирования,
отрезок [a, b]	− областью (отрезком) интегрирования.
Приведем простейшие свойства определенного интеграла:
b		a

1. ∫f (x )dx = −∫f (x )dx .

F(x):

				17
	b		b	b
2.	∫(c1 f1 (x) + c2 f 2 (x))dx = c1 ∫f1 (x)dx + c2 ∫f 2 (x )dx , где c1 , c2 − постоян-
	a		a	a
ные.
	b	c	b
3.	∫f (x )dx = ∫f (x)dx + ∫f (x )dx , где c − некоторая точка, лежащая внутри
	a	a	c

или вне отрезка [a; b].

4. ∫f (x)dx = 0 .

5. Если m и M − соответственно наименьшее и наибольшее значения

					b
функции y = f (x) на отрезке [a, b] (a < b), то				m (b − a ) ≤ ∫ f (x)dx ≤ M (b − a ).
					a
6. Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля
	b	b
	b	b
подынтегральной функции:	∫ f (x )dx	≤ ∫	f (x )		dx, a < b .
подынтегральной функции:	∫ f (x )dx	≤ ∫	f (x )		dx, a < b .
	a	a
7. (Теорема о среднем). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b],
то на этом отрезке найдется такая точка c ,				что справедливо следующее равен-
b
ство: ∫f (x)dx = (b − a )f (c).

18. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА

Если в определенном интеграле ∫f (x)dx нижний предел a фиксирован, а верх-

ний предел b меняется, тогда изменяется значение интеграла, то есть интеграл есть функция верхнего предела. Обозначим верхний предел через x , при постоянном a этот интеграл будет представлять собой функцию верхнего предела x . Эту функцию обозначим через

x
F(x) = ∫ f (t )dt .	(6)

F(x)

Найдем производную от F(x) по x , то есть найдем производную определенного интеграла (6) по верхнему пределу.

Теорема 1. Если f (x) − непрерывная функция и F(x) = ∫f (t )dt , то имеет

место равенство F′(x) = f (x).

Доказательство. Дадим аргументу x приращение

x , тогда

x +

x + x

F(x + x ) = ∫ f (t )dt = ∫ f (t )dt + ∫ f (t )dt .

Приращение функции F(x) равно

x + x

F = F(x + x) − F(x)

= ∫f (t )dt .

К последнему интегралу применим теорему о среднем

F = (x + x − x)f (c) = x f (c),

где c заключено между x и x +

x .

Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:

x f (c)

= f (c).

Согласно определению производной имеем

F′(x) = lim

= lim f (c),

x→0

но если c → x при

x → 0 , то

lim f (c) = lim f (c),

а вследствие непрерыв-

x→0

c→x

ности функции f (x)

lim f (c) = f (x). Итак, F′(x) = f (x).

c→x

Из доказанной теоремы следует, что F(x) = x∫f (t )dt является одной из

первообразной для f (x). Ньютон и Лейбниц доказали теорему, связывающую понятия интеграла и производной.

Теорема 2. Если есть какая-либо первообразная от непрерывной функции f (x), то справедлива формула

∫f (x)dx = F(b) − F(a ).

Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

Доказательство. Пусть F(x) есть некоторая первообразная от функции

f (x), по теореме	1	функция	x∫f (t )dt	есть также первообразная от f (x). Со-
			a
гласно свойству первообразных, имеем				x∫f (t )dt = F(x) + C .
				a
Это равенство справедливо при любых значениях x . Для определения
постоянного c положим в этом тождестве x = a , тогда
a∫f (t )dt = F(a ) + C , или 0 = F(a ) + C , откуда c = −F(a ).
a
Следовательно,		x∫f (t )dt = F(x) − F(a ).
		a
Полагая, что	x = b в последней формуле, получим формулу Ньютона-

Лейбница: ∫f (t )dt = F(b) − F(a ); если ввести обозначение F(b)− F(a ) = F(x ) ab , то

эту формулу можно переписать так: ∫f (t )dt = F(t) ab = F(b) − F(a ).

+ ln x

ПРИМЕР. Вычислите определенный интеграл ∫

dx .

Решение. Для отыскания первообразной введем под знак дифференциала

новую переменную интегрирования. Тогда

1 + ln x

((1 + ln x )2 )

∫

dx =

∫(1 + ln x )d(1 + ln x ) =

((1 + ln e)2 − (1 + ln1)2 )=

19. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ

При вычислении определенного интеграла b∫f (x)dx часто полезно заме-

нить переменную интегрирования

x новой переменной t согласно формуле

t= ϕ(t ), если функция ϕ(t ) удовлетворяет условиям:

1)ϕ(t ), ϕ′(t) непрерывны при t [α, β],

2)множеством значений x = ϕ (t) при t [α; β] является отрезок,

3)ϕ(α) = a, ϕ(β) = b ,

4) функция f (ϕ(t )) определена и непрерывна на отрезке [α,β], то [α; β],

b	β
∫f (x)dx = ∫f (ϕ(t ))ϕ′(t )dt .
a	α

При вычислении определенного интеграла методом замены переменной в отличие от неопределенного интеграла возврата к старой переменной не требуется.


9	x	dx
ПРИМЕР. Вычислить интеграл ∫			.


4	x − 1
Решение. Сделаем замену переменной: x = t 2 , dx = 2t dt . Определим но-

вые пределы: x = 4 при t = 4 = 2, x = 9	при t = 9 = 3 . Функция x = t 2 на от-

резке [2;3] удовлетворяет условиям замены переменной в определенном инте-

− 1

+ 1

x dx

грале. Следовательно, ∫

= ∫

2t dt = 2∫

dt =

x − 1

t − 1

	3		3	dt		(	)2			3
	3		3			(	)2			3
	∫	(	)				t + 1	(	)		= 7 + 2 ln 2 .
		(	)					(	)
= 2			t + 1 dt + ∫	t − 1	= 2		2	+ ln	t − 1
	2		2	t − 1			2			2
										2

20. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ

Если u и v − непрерывные функции от x вместе со своими производными на отрезке [a, b], то

(u v)′ = u′v + u v′ .

Интегрируя обе части этого равенства в пределах от a до b , получим

b		b	b
∫ (u v)′ dx = ∫ u′v dx + ∫ u v′ dx .								(7)
a		a	a
Так как ∫(u v)′ dx = uv + c ,			то b∫(u v)′ dx = (u v)				b	, поэтому равенст-
Так как ∫(u v)′ dx = uv + c ,			то b∫(u v)′ dx = (u v)				b	, поэтому равенст-
			a				a
							a

во (7) может быть записано в виде (u v)				b	b	b
во (7) может быть записано в виде (u v)				b	= ∫ v du + ∫ u dv , или окончательно
				a	a	a
				a

b		b
∫ u dv = (u v)	b	− ∫ v du .
∫ u dv = (u v)	b	− ∫ v du .
	a
	a
a		a

<<< < Предыдущая 12 / 162 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.2015282.07 Кб23Metodichka_po_SRS_OI.pdf
#
17.03.2015305.15 Кб6metodichka_po_stranovedeniyu.doc
#
17.03.20152.55 Mб8Metodichka_Razvyortki_A4_dlya_BMA.doc
#
21.04.2015268.29 Кб20Metodichka_Sharifullinoy_N_B_2007_g.doc
#
17.12.20181.73 Mб30metodich_ukaz_neft_izm.doc
#
17.03.20151.38 Mб13metodII.pdf матека.pdf
#
17.03.2015251.9 Кб9MetodKult.doc
#
12.11.2019991.23 Кб3metod_KGR_1_PTV.doc
#
17.03.2015550.91 Кб38metod_raschet.doc
#
17.03.2015570.88 Кб6Metod_ukaz_po_Gostam_30_11_2011.doc
#
06.03.2016103.27 Кб9metrologia (2).docx