Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

metodII.pdf матека

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

1.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 166 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

max d i

рассматривается теория поверхностного интеграла первого рода. Поверхностный интеграл второго рода будет изучен в разделе «Теория поля».

				Поверхностный интеграл первого рода пред-
	z			ставляет собой обобщение двойного интеграла, ка-
			σi	ким криволинейный интеграл первого рода является
				по отношению к определенному интегралу.
		Pi
			σ


	L			Это обобщение строится так. Пусть в точках
				Это обобщение строится так. Пусть в точках
				y гладкой (или кусочно-гладкой) поверхности δ , огра-
	0			y гладкой (или кусочно-гладкой) поверхности δ , огра-
		Рис. 21		ниченной кусочно-гладким контуром L , определена
x		Рис. 21		функция f (P) = f (x, y, z). Разобьем поверхность σ
				функция f (P) = f (x, y, z). Разобьем поверхность σ

произвольно проведенными кривыми на части σ1 , σ 2 ,K, σ n , площадь каждой из которых обозначим σi (i = 1, n ) (рис. 21). Выбрав в каждой из площадок произвольную точку Pi , вычислим в этой точке значение функции f (Pi ) и ум-

ножим его на площадь		σi	элементарной части Si . Составим сумму произве-
дений f (Pi ) σi
I n = ∑n	f (Pi )	σ i	,	(38)
i =1

которую будем называть интегральной суммой для функции f (x, y, z) по поверхности σ . Наибольший из диаметров di площадок σi обозначим max d i . Перейдем в равенстве (38) к пределу при условии стремления к нулю max d i , что влечет увеличение числа n ячеек si и стягивание каждой из них в точку.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если при стремлении к нулю существует конечный предел интегральных сумм (38), который не зависит от способа разбиения поверхности σ на части σi и от выбора точек Pi σi , то его называют поверхностным интегралом первого рода от функции f (P) = f (x, y, z) по поверхности σ или интегралом по площади поверхности σ и обозначают

∫∫f (P)dσ или	∫∫f (x, y, z)dσ .
(σ)	(σ)
Итак, по определению
∫∫ f (x, y, z)dσ =	lim	∑n	f (Pi ) σ i	(39)
( )	max di →0	i =1
σ	(n→∞ )

( dσ − дифференциал площади поверхности).

(σ)

Покажем, что при таких условиях вычисление поверхностного интеграла можно свести к вычислению двойного интеграла.

∫∫f (x, y, z)dσ .

Имеет место следующая теорема существования поверхностного интеграла первого рода: если функция f (x, y, z) непрерывна вдоль кусочно-гладкой поверхности σ , то интеграл по площади поверхности существует.

Поверхностный интеграл первого рода обладает теми же свойствами, что и двойной интеграл.

Пусть задана поверхность σ уравнением z = z(x, y) (Так как поверхность гладкая, то следовательно, z(x, y)− непрерывная функция вместе со своими частными производными), на которой определена непрерывная функция u = f (x, y, z). Требуется вычислить поверхностный интеграл

Предварительно

займемся

γi

выводом формулы для вычисления

z = z(x, y)

площади

σi элементарной части

σi

поверхности σ . Обратимся к

рис. 21 и 22, где выделен участок

σi разбиения области σ на эле-

ментарные части с выбранной на

σ i

нем точкой Pi ,

которая имеет ко-

ординаты

, y

, z

= z(x

, y

Sxy

Через точку Pi σi

проведем каса-

Рис. 22

тельную плоскость к поверхности

S. Уравнение плоскости, как из-

вестно,

имеет

вид

z − z

= z′

, y

)(x − x

)+ z′

, y

γi

На этой плоскости вы-

делим элемент qi

с площадью

qi (рис. 23), который проек-

тируется на плоскость x0y в

ту же элементарную область

Si , что и элемент σi (рис. 22).

x Рис. 23

Заменим криволинейный элемент σi плоским элементомqi , тогда

σ i ≈ q i .

(40)

Обозначим через γ i двугранный угол между касательной плоскостью и плоскостью x0y .

Воспользуемся одним соотношением из аналитической геометрии: площадь σ1 проекции плоской фигуры равна площади σ самой этой фигуры, умноженной на абсолютную величину косинуса двугранного угла ϕ между

плоскостями, то есть σ1 = σ

cos ϕ

В наших обозначениях имеем

σi = qi

cos γ i

, откуда в силу (40) полу-

чаем

q i ≈

σ i

(41)

cos γ i

Линейный угол двугранного угла γ i

есть в то же время угол между осью 0z и

перпендикуляром n к плоскости. И поэтому

cos γ i

cos n, 0z

(42)

Это позволяет нам найти косинус угла между векторами n и k ( k − орт оси

0z ) по известной формуле

cos n, k

Нормальный вектор n плоскости, как видно из ее уравнения, имеет ко-

ординаты z′x (x i , yi ), z′y (x i , yi ), −1, а вектор

= {0, 0,1}. Тогда

− 1

cos n, 0z

(43)

′ 2

(

)

′ 2

(

)

1 + z x

x i , y i

+ z y

x i , y i

Таким образом, с учетом (42) и (43) получаем

σ i

≈

′ 2

(

, y i

)

′ 2

(

)

q i .

(44)

1 + z x

x i

+ z y

x i , y i

А теперь для решения поставленной задачи о вычислении поверхностно-

го интеграла вернемся к интегральной сумме

(38), соответствующей данному

f (x, y, z)

разбиению поверхности σ на части σ i (i = 1, n) и выбору точек Pi . Принимая

во внимание полученное выражение для

σ i

(44), запишем

∑n

= ∑n

f (P )

f (x

, y

, z(x

, y

))

1 + z′2

, y

) + z′2

, y

)

(45)

i =1

В этом равенстве перейдем к пределу при n → ∞ , считая, что каждая из элементарных областей стягивается в точку. Сумма, стоящая в правой части равенства (45), является интегральной суммой для непрерывной функции

f (x

, y

, z(x

, y

))

1 + z′2

, y

) + z′2

, y

)

по области S

− проекции

поверхности σ на плоскость x0y . Поэтому ее предел есть двойной интеграл от указанной функции двух переменных по области Sxy . Предел суммы, стоящей в левой части равенства (45), есть поверхностный интеграл от функции

по поверхности σ . Следовательно,

(	)	(	(	))	′ 2	(	)	′ 2	(	)	dq ,
∫∫ f x, y, z dσ = ∫∫ f x, y, z x, y					1 + z x	x, y		+ z y	x, y		dq ,
(σ )		S xy
иначе

∫∫ f	(	)	(	(	))	′ 2	(	)	′ 2	(	)	dxdy .	(46)
∫∫ f	x, y, z dσ = ∫∫ f x, y, z x, y					1 + z x	x, y		+ z y	x, y		dxdy .	(46)
(σ )			S xy

Заметим, что существование двойного интеграла доказывает в силу (46) существование поверхностного интеграла при оговоренных условиях, которым удовлетворяют подынтегральная функция и область интегрирования.

Вместо плоскости x0y поверхность S можно проектировать на плоскости x0z и y0z . Переменив роли координат x, y и z , из равенства (46) можно получить следующие формулы:

∫∫ f	(	)	( (	)	)	′ 2	(	)	′ 2	(	)	dydz ,	(47)
∫∫ f	x, y, z dσ = ∫∫ f		x y, z , y, z			1 + x y	y, z		+ x z	y, z		dydz ,	(47)
(σ )		S yz
∫∫ f	(	)	(	( )	)	′ 2	(	)	′ 2	(	)	dxdz ,	(48)
∫∫ f	x, y, z dσ = ∫∫ f x, y x, z , z					1 + y x	x, z		+ y z	x, z		dxdz ,	(48)
(σ )		Sxz
где x = x(y, z) и y = y(x, z)− уравнения поверхности σ ,											разрешенные отно-

сительно x и y соответственно, а Syz ,Sxz − проекции поверхности σ на ко-

ординатные плоскости y0z и x0z .

m − материальной поверхности равна

35. ПРИЛОЖЕНИЯ ПОВЕРХНОСТНОГО ИНТЕГРАЛА ПЕРВОГО РОДА

Если в равенстве (46) функция f (x, y, z) ≡ 1, то получается формула для вычисления площади поверхности σ (обозначим эту площадь той же буквой σ ,

что и поверхность): σ =	∫∫		∫∫		x	y	(x, y) dxdy .
что и поверхность): σ =		dσ =		1	+ z′2	(x, y) + z′2	(x, y) dxdy .
	(σ)		Sxy

В этой формуле z = z(x, y) − уравнение поверхности σ , а Sxy − ее проекция на плоскость x0y .

С помощью поверхностного интеграла первого рода можно определять массы, моменты (инерции и статистические), координаты центров тяжести и т.п. величины для материальных поверхностей, вдоль которых распределены массы с поверхностной плотностью γ = γ(x, y, z). Вывод соответствующих формул по существу не отличается от вывода формул, относящихся к распределению масс в плоской области или вдоль кривой (см. применение двойного интеграла и криволинейного интеграла первого рода к задачам механики). Поэтому мы приведем окончательные результаты, представив вывод формул читателю.

Пусть по поверхности σ распределена масса с поверхностной плотностью γ(x, y, z), представляющей собой непрерывную функцию. Такую поверхность называют материальной поверхностью. Тогда имеют место следующие формулы.

1. Масса

m = ∫∫ γ(x, y, z)dσ .

(σ)

2. Координаты центра масс материальной поверхности определяются формулами

		∫∫ x γ (x, y, z)dσ			∫∫ y γ (x, y, z)dσ			∫∫z γ (x, y, z)dσ
x c	=	(σ)	, y c	=	(σ )	, z c	=	(σ )	.
x c	=	m	, y c	=	m	, z c	=	m	.
		m			m			m

36. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ. ПОВЕРХНОСТИ УРОВНЯ. ЛИНИИ УРОВНЯ

Термин «поле» часто употребляется в физике для обозначения пространства, в котором рассматривается некоторое физическое явление.

ПРИМЕРЫ: а) температура воздуха в разных точках пространства образует поле температур; б) атмосферное давление образует поле давлений; в) электрический заряд создает вокруг себя электростатическое поле.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Поле, в каждой точке которого задан скаляр (температура, давление и т.д.), называется скалярным полем.

Рассмотрим теперь математическое определение поля.

Пусть в области G пространства задана функция точки u = U(P) ( P − любая точка области P G ), где u предполагается однозначной и принимающей конечные действительные значения; тогда говорят, что в G определено скалярное поле U . Его можно рассматривать как функцию трех переменных

x, y, z (координаты точки	P ):	U = U(x, y, z), в пространстве R 2 − как
функцию двух переменных x, y,	U	= U(x, y).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Скалярное поле называется стационарным, если характеризующая поле величина зависит только от координат точки пространства и не зависит от времени.

Ограничимся рассмотрением лишь стационарных полей, которые обозна-

чаются U = U(x, y, z).

Если же рассматриваемая величина зависит и от времени, то поле называется нестационарным. Для обозначения нестационарного поля в пространстве R 3 используют функцию четырех переменных U = U(x, y, z, t ).

Пусть скалярное поле задано функцией U = U(x, y, z), которая предполагается однозначной, непрерывной вместе со своими частными производными первого порядка.

Определим те точки, в которых явление протекает одинаковым образом, то есть точки, где функция U = U(x, y, z) принимает одно и то же значение С: U(x, y, z) = С (С = сonst ). Давая C различные значения, получим ряд поверхностей, на каждой из которых физическое явление протекает одинаково.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Геометрическое место точек поля, в которых функция U принимает постоянное значение C , называется поверхностью уровня поля.

Уравнение поверхности уровня поля имеет вид U(x, y, z) = С.

Через каждую точку поля M(x 0 , y0 , z 0 ) проходит единственная поверхность уровня, определенная уравнением

U(x 0 , y0 , z 0 ) = С.

Для двумерного поля понятие поверхности уровня заменяется понятием линии уровня. Примеры линий: изобары (линии равных давлений), изотермы (линии равных температур) и т.д.

ПРИМЕР. Дано скалярное поле, образованное функцией

U = R 2 − x 2 − y 2 − z 2 . Определить поверхности уровня.

Решение. Согласно определению имеем R 2 − x 2 − y 2 − z 2 = C x 2 + y 2 + z 2 = R 2 − C2 семейство концентрических сфер.

В частности, при C = 0 получим x 2 + y 2 + z 2 = R 2 − сфера,

ограничивающая поле, при C = R получим x 2 + y 2 + z 2 = 0 − сфера стягивается в точку.

37. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ

При перемещении точки скалярного поля M(x, y, z) в точку M1 (x1 , y1 , z1 ) вдоль кривой на поверхности уровня значение функции не изменяется. При движении вдоль кривой L , соединяющей точки на различных поверхностях уровня, значение функции меняется с той или иной быстротой.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Отношение приращения функции U к длине дугиMM1 называется средней скоростью изменения функции U(x, y, z) вдоль

дуги MM1 .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.

Предел, к

которому стремится

отношение

U(M1 )− U(M)

когда точка M1 , двигаясь вдоль дуги L , стремит-

MM1

ся к точке M , называется производной по направлению (MM1 ):

U(M 1 ) − U(M)

∂U

lim

= lim

(49)

M1 →M

M1 →M MM

∂L

M1 L

M `1 L

Найдем аналитическое

выражение

для производной по направлению.

Пусть функция U = U(x, y, z)				дифференцируема. Запишем полное прираще-
ние функции U =	∂U	x +	∂U	y +	∂U	z + δ , где δ − бесконечно малая вели-
	∂x		∂y		∂z


чина высшего порядка малости, чем S =							x 2 + y 2 + z 2 . В силу (49) имеем

∂U

x +

∂U

y +

∂U

z + δ

∂U

∂x

∂z

∂U

lim

∂y

lim

∂L

M1 →M

∂x M1 →M

M1 →L

∂U

lim

∂U

lim

(50)

∂y M1 →M

∂z M1 →M MM

M1 →M MM

Рассмотрим lim

→M MM

	L
	M1	= lim	y	MM1	=
	β	= lim			=
M	β1		MM1	MM1
			MM1	MM1
0		y

Рис. 24

MM1

− длина хорды, стяги −

вающей дугу MM1

lim

MM1

, так как кривая гладкая, т.е. имеющая непрерывную

M1 →M

касательную, то

lim

MM1

= 1,

= cos β1 , β1

− угол между хордой и

M1 →M MM

осью

0Y , при M1 → M

β1 → β , где β − угол между касательной и осью

0Y (рис. 24), тогда

lim

= cos β .

(51)

M1 →M

Рассуждая аналогично, получим

lim

= cos α ;

(52)

M1 →M MM

lim

= cos γ .

(53)

M1 →M MM

Найдем

lim

= lim

MM 1

lim

= 0 .

(54)

M1 →M MM

M1 →M

Подставляя в (50) формулы (51) – (54), получим формулу для вычисления производной по дуге

∂U	=	∂U	cos α +	∂U	cos β +	∂U	cos γ ,	(55)

∂L		∂x		∂y		∂z

где α,β, λ − углы между касательным вектором к L и осями координат. Производная по дуге L в точке M не зависит от

вида дуги, а зависит от направления касательного векто-

ра S к дуге L в точке M . Это значит, что производные

по дугам L1 и L2 , проходящим через точку M и имею-

Рис. 25

щим в этой точке один и тот же касательный вектор, рав-

ны между собой (рис. 25).

∂U

(56)

∂L1

∂L 2

В силу (56) можно говорить о производной не по дуге, а по направлению

S , то есть

∂U

cos α +

∂U

cos β +

∂U

cos γ .

(57)

∂S

∂L

∂x

∂y

∂z

38. ГРАДИЕНТ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ

Правую часть производной по направлению можно рассматривать как скалярное произведение двух векторов следующего вида:

первый вектор

∂U

− называется градиентом скалярного

i +

j +

∂x

∂y

∂z

поля и обозначается

∂U

grad U =

i +

j +

(58)

∂x

∂y

∂z

второй вектор cos α i + cos β j + cos γ k − единичный вектор того же на-

правления, что и вектор S:

= cos α i + cos β j + cos γ k .

(59)

По определению скалярного произведения имеем

∂U

= grad U

grad U

cos grad U S

∂S

∂U

	=	grad U	cos grad U S	(60)
	=	grad U	cos grad U S	(60)
∂S

или

∂U

= пр

grad U .

(61)

∂S

Итак, производная по направлению равна про-

grad U

екции градиента на это направление (рис.26).

Если направление grad U совпадает с направлением

вектора S,

то cos(gradU,

)= 1

производная

по

прS grad U

направлению принимает наибольшее значение,

равное

Рис. 26

grad U

, то есть

∂U

(62)

grad U

∂S

Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору

grad U , равна нулю, так как cos(gradU,

)= 0 .

Рассмотрим основные свойства градиента.

1. Градиент в данной точке поля направлен по нормали к поверхности

уровня в этой точке.

Доказательство. На поверхности уровня поля U(x, y, z) = C возьмем

какую-нибудь точку M(x, y, z) и произвольно проведем через нее линию L ,

расположенную на поверхности (рис. 27).

Так как функция постоянная на L и S −

grad U

касательный вектор

в точке

M ,

то

∂U

= 0 .

∂L

∂U

= 0 ;

(63)

Рис. 27

∂S

∂L

∂U

= grad U cos (grad U, S). С

учетом

∂L

получим, что

cos (grad U,

)= 0 , но

grad U

≠ 0 , следовательно,

(63),

grad U

cos (grad U,

)= 0 , это значит, вектор grad U перпендикулярен вектору

S. Гра-

диент в данной точке поля направлен по нормали к поверхности уровня.

2. Градиент алгебраической суммы скалярных функций равен сумме гра-

диентов: grad( U + V) = grad U + grad V .

Справедливость данного свойства вытекает непосредственно из его определения.

3. Градиент произведения скалярных функций

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 166 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.2015282.07 Кб23Metodichka_po_SRS_OI.pdf
#
17.03.2015305.15 Кб6metodichka_po_stranovedeniyu.doc
#
17.03.20152.55 Mб8Metodichka_Razvyortki_A4_dlya_BMA.doc
#
21.04.2015268.29 Кб20Metodichka_Sharifullinoy_N_B_2007_g.doc
#
17.12.20181.73 Mб30metodich_ukaz_neft_izm.doc
#
17.03.20151.38 Mб13metodII.pdf матека.pdf
#
17.03.2015251.9 Кб9MetodKult.doc
#
12.11.2019991.23 Кб3metod_KGR_1_PTV.doc
#
17.03.2015550.91 Кб38metod_raschet.doc
#
17.03.2015570.88 Кб6Metod_ukaz_po_Gostam_30_11_2011.doc
#
06.03.2016103.27 Кб9metrologia (2).docx