Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

metodII.pdf матека

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

1.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 165 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

По формуле (23) имеем m = ∫∫∫(x 2 + y 2 + z 2 )dxdydz . Этот интеграл

удобно вычислить, перейдя к сферическим координатам. Согласно формуле (21), получаем

											π		π
														a
									2			2		a
			m = ∫∫∫ρ2 ρ2 sin θ dϕdθdρ = ∫dϕ ∫sin θ dθ ∫ρ4 dρ =
			T						0			0		0
		π	(− cos θ)		π		ρ5	a	π a 5	.
		π			π			a

= ϕ	2				2			=


	0			0		5		0	10
	0			0

30. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА (ИЛИ ПО ДЛИНЕ ДУГИ)

Кривая называется гладкой, если в каждой ее точке существует касательная, непрерывно изменяющаяся вдоль кривой. Кусочно-гладкой кривой называется непрерывная кривая, состоящая из конечного числа гладких кривых,

вдоль которой определена функция	f (P) = f (x, y). Разобьем кривую системой
y	точек	A = A 0 , A1 ,K, A n = B
y	на	элементарные					дуги
Ai	на	элементарные					дуги
Ai
Ai−1		(i =		),	длины которых
Pi	Ai−1Ai	(i =	1, n	),	длины которых
Pi
A1	B
A1	обозначим		через			l i .	Пусть
	обозначим		через			l i .	Пусть
A	max	l i − наибольшая из длин
	max	l i − наибольшая из длин
	всех элементарных дуг. На эле-
0	x
Рис. 17	ментарной		дуге		Ai−1Ai выбе-
	ментарной		дуге		Ai−1Ai выбе-
	рем	произвольную					точку
Pi (ξi , ηi ) и умножим значение f (Pi ) функции в этой точке на длину						l i	− меру

элементарной дуги Ai−1Ai		. Составим сумму таких произведений по всем эле-
ментарным дугам
Sn = ∑n	f (Pi ) l i ,	(24)

i=1

ееназывают интегральной суммой для функции f (x, y) по дуге AB. Каждому

способу разбиения дуги на элементарные части и выбору в них точек Pi отвечает определенная интегральная сумма Sn .

Ai−1Ai

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если при стремлении max l i к нулю, то есть при неограниченном увеличении числа n элементарных дуг, интегральные суммы (24) стремятся к конечному пределу, который не зависит ни от способа разбиения дуги AB на элементарные части, ни от выбора точки Pi в них, то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода от функции f (P) по

дуге AB и обозначается символом			∫f (P)dl	или	∫f (x, y)dl .
			(AB)		AB
Таким образом, по определению
∫f (P)dl = lim		∑n	f (Pi ) l i .		(25)
AB	max li →0	i=1
AB	(n→∞)	i=1
	(n→∞)
Следует иметь в виду, что в выражении				∫f (x, y)dl переменные x и y
				AB

не являются независимыми, а связаны условием: точка (x, y) лежит на кривой

AB.

Приведем без доказательства теорему существования криволинейного интеграла первого рода.

Теорема. Если функция f (x, y) непрерывна вдоль кусочно-гладкой кривой AB, то криволинейный интеграл (25) существует.

Физически интеграл (25) численно выражает массу материальной кривой AB, которая распределена вдоль нее с линейной плотностью ρ = f (P) = f (x, y).

В самом деле, массу mi дуги длиной l i можно принять равной приближенно массе дуги с постоянной плотностью f (Pi ), такой, как в точке Pi ,

то есть mi ≈ f (Pi )	l i . Суммируя по всем областям деления, найдем прибли-
женное значение массы m :
m ≈ ∑n	f (Pi ) l i .
i=1
За точное значение массы неоднородной дуги AB принимается предел, к

которому стремится составленная интегральная сумма для функции f (P) по дуге AB , когда каждая элементарная дуга стягивается в точку и, следовательно, max l i → 0 . Таким образом, в результате предельного перехода получаем

m = lim	∑n	f (Pi )	l i = ∫f (P)dl .	(26)
max l i →0			AB
(n→∞ )	i=1		AB
(n→∞ )

Свойства криволинейных интегралов вполне аналогичны свойствам определенных интегралов. Выполняются свойства линейности, монотонности, аддитивности, оценка по модулю, теорема о среднем.

31. ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА ПЕРВОГО РОДА

Вычисление криволинейного интеграла по длине дуги сводится к вычислению определенного интеграла, если воспользоваться выведенными в дифференциальном исчислении формулами для дифференциала длины дуги dl. Не останавливаясь на выводе, который предполагает использование определения криволинейного интеграла, приведем формулы сведения его к определенному интегралу.

Для вычисления криволинейного интеграла первого рода пользуются одной из следующих формул:

а) если гладкая кривая AB задана параметрическими уравнениями

x = x(t ), y = y(t ), α ≤ t ≤ β, то dl = x′2

+ y′2 dt и

∫

(x, y )dl =

f [x(t ), y

∫

(t)] x′

2 + y′

2 dt ;

(27)

б)

если

гладкая

кривая

задана

явным

уравнением

y = ϕ(x ),

a ≤ x ≤ b , то dl = 1 + [ϕ′(x)]2 dx и

∫f (x, y )dl = ∫f [x, ϕ(x)] 1 + ϕ′2 dx ;

(28)

в)

если

гладкая

кривая AB задана

полярным

уравнением

ρ = ρ(ϕ),

ϕ ≤ ϕ ≤ ϕ

, то dl = ρ2 + ρ′2 dϕ

∫f

(

)

ϕ2

(

)

′2

x, y

∫f ρ cos

ϕ;ρ sin

+ ρ

dϕ`.

(29)

ϕ1

ПРИМЕР. Найти массу дуги AB цепной линии y = a ch

между точка-

ми с абсциссами

x A = 0, x B = a , если

каждой

точке линейная

плотность

γ(x, y) =

Решение. Согласно формуле (26) имеем m = ∫ a dl . Исходя из данного

AB y

уравнения кривой, преобразуем криволинейный интеграл в определенный с переменной x в соответствии с формулой (28):

y′ = sh

, dl = 1 + sh 2

dx = ch

dx ,

x B

m = ∫

dl =

∫

dx = ∫dx = a .

AB y

x A a ch

Аналогично определяется и так же физически интерпретируется криволинейный интеграл первого рода от функции f (P) = f (x, y, z), заданной вдоль пространственной кусочно-гладкой линии AB. Если гладкая кривая AB

задана параметрическими уравнениями

x = x(t ), y = y(t ), z = z(t ),

α ≤ t ≤ β , то dl = x′2

+ y′2

+ z′2

dt и

∫

f (P)dl =

∫

f (x, y, z)dl

f [x(t ), y(t ), z(t )]

∫

x′2

+ y′2

+ z′2 dt .

32. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ВТОРОГО РОДА (ИЛИ ПО КООРДИНАТАМ)

Для того чтобы подойти к понятию нового типа интеграла, начнем с физической задачи. Рассмотрим плоское силовое поле, то есть некоторую плоскую

область D в плоскости x0y , в каждой точке P которой задана сила F(P). Тот

факт, что сила F зависит от точки ее приложения, записывают в виде: F = F(x, y). Проекции вектора F обозначим через X и Y ; они также являются функциями переменных x и y . Тогда F = X(x, y)i + Y(x, y) j.

Определим работу этого силового поля при перемещении материальной точки вдоль некоторой кривой MN , расположенной в области D (рис. 18).

Из физики известно, что если сила F постоянна (и по величине и направлению), а путь MN прямолинеен, то соответствующая работа равна произведению величины этой силы на косинус угла между силой и направлением MN , то есть работа A равна скалярному произведению F MN .

Найдем теперь выражение для работы в общем случае, то есть когда сила F переменна, а путь MN криволинеен.

Разобьем кривую MN на

n малых дуг точками M = M 0 ,

(P2 )

M1 ,K, Mi , K, M n = N . Впишем

yi −1

Mi −1

F(Pi )

кривую

лома-

M 2

нуюM 0 M1 K M n ,

заменив те-

(P1 )

перь

каждый

криволинейный

N = M n

M = M0

участок Mi−1 Mi

прямолиней-

x i

ным

вектором

перемещения

xi −1

Рис. 18

Mi−1Mi . А силу F , которая,

вообще говоря,

меняется

и по

величине и по направлению от точки к точке, условимся считать постоянной вдоль каждого звена ломаной и равной силе, приложенной в точке Pi (ξi , ηi ) ду-

ги Mi−1 Mi : F(Pi ) = X(ξi , ηi )i + Y(ξi , ηi ) j .

Тогда работу силы вдоль дуги Mi−1 Mi можно принять приближенно равной работе силы F(Pi ) вдоль вектора Mi−1 Mi , которая, как было сказано,

равна скалярному произведению F(Pi ) M i−1 Mi .

Проекции	вектора Mi−1 Mi на оси координат соответственно равны
x i = x i − x i−1 ,	yi = yi − yi−1, следовательно, имеет место представление:

Mi−1 Mi = x i i + yi j.

Выражая скалярное произведение F(Pi ) M i−1 Mi в координатной форме, получаем

F(Pi ) M i−1 M i = X(ξi , ηi ) x i + Y(ξi , ηi ) yi .

Суммируя эти выражения по всем звеньям ломаной, найдем приближен-

ное значение работы A вдоль кривой MN :
A ≈ ∑n		(Pi )			= ∑n [X(ξ i , ηi ) x i	+ Y(ξ i , ηi ) y i ].
A ≈ ∑n	F	(Pi )		M i −1 M i	= ∑n [X(ξ i , ηi ) x i	+ Y(ξ i , ηi ) y i ].	(30)
i =1					i =1
За точное значение работы A принимают предел полученной суммы при

стремлении к нулю λ − максимума длин дуг Mi−1 Mi .
A = lim			∑n [X(ξi , ηi ) x i + Y(ξi , ηi )			yi ].
λ→0			i=1
(n→∞ )			i=1

Таким образом, вычисление работы привело нас к нахождению предела суммы нового вида. К составлению суммы вида (30) с последующим переходом к пределу приводит не только задача о работе, поэтому совсем необязательно всегда считать, что функции X(x, y) и Y(x, y)− проекции сил.

Рассмотрим этот вопрос в общем виде. Пусть на плоскости задана гладкая линия MN . Установим на ней определенное направление движения, которое происходит от M к N . Кривую с установленным на ней направлением движения назовем ориентированной кривой. Пусть на кривой MN заданы две

функции X(x, y) и Y(x, y), иначе				говоря,	задана вектор-функция
		(x, y) = X(x, y)i + Y(x, y)
	F	(x, y) = X(x, y)i + Y(x, y)	j . Разобьем эту	кривую	на n участков точками

M = M 0 , M1 ,L, M n = N и в каждом из них выберем по произвольной точке Pi (ξi , ηi ) (в частности, эти точки могут совпадать с концами участков). Значение функции в точках Pi будем умножать теперь не на длины частичных дуг l i , а на их проекции на координатные оси: x i = x i − x i−1 , yi = yi − yi−1 (рис. 18). (Если движение по проекции происходит в сторону увеличения x , то про-

екцию x i части	l i считать положительной, в противном случае – отрица-
тельной).
Составим сумму вида
∑n [X(Pi )	x i + Y(Pi ) y i ].	(31)
i =1
Эту сумму называют интегральной суммой для вектор - функции				(x, y)
Эту сумму называют интегральной суммой для вектор - функции			F	(x, y)
по линии MN .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если при стремлении к нулю λ = max		l i существу-

ет конечный предел интегральной суммы (31), не зависящий ни от способа разбиения дуги MN на элементарные части, ни от выбора в каждой из них точки Pi , то этот предел называют криволинейным интегралом второго рода от век-

тор – функции F(x, y) по линии MN и обозначают символом

∫ X(P)dx + Y(P)dy или ∫ X(x, y)dx + Y(x, y)dy .

MN MN

∫ X(x, y )dx + Y(x, y )dy = lim ∑n [X(ξi , ηi ) x i + Y(ξi , ηi ) y i ]. (32)
	λ→0
MN	(n→∞ ) i =1

(По традиции для выражения, стоящего слева, скобки не пишутся, и предполагается, что интеграл ∫ относится ко всей сумме.)

Линия MN называется линией или контуром интегрирования, точка M − начальной, точка N − конечной точкой интегрирования. Если кривая L = MN замкнутая, то для обозначения интеграла используют символ

∫ X(x, y)dx + Y(x, y)dy .

В частности, если Y(x, y) ≡ 0 ,	то интеграл принимает вид ∫ X(x, y)dx
	MN
и называется криволинейным интегралом по координате x .
Если X(x, y) ≡ 0 , то интеграл	∫ Y(x, y)dy называют криволинейным
	MN

интегралом по координате y .

Поскольку определяемый интеграл (32) можно записать в виде суммы двух криволинейных интегралов по координатам x и y

∫X(x, y)dx + Y(x, y)dy = ∫X(x, y)dx + ∫Y(x, y)dy ,

MN MN MN

то его называют еще составным криволинейным интегралом по координа-

там.

Учитывая, что подынтегральное выражение Xdx + Ydy есть скаляр- ное произведение вектора F = Xi + Y j и дифференциала dr = dx i + dy j ра- диуса-вектора r переменной точки P кривой MN , криволинейный инте- грал от вектор-функции F по кривой MN можно записать в векторной форме: ∫ F dr . Этот интеграл называют также линейным интегралом век-

тора F . А если кривая L − замкнутая, то криволинейный интеграл ∫ F dr

называют циркуляцией вектора F по замкнутому контуру.

Возвращаясь к задаче о работе, можно сказать, что работа силового поля при перемещении материальной точки по кривой MN выражается криволинейным интегралом второго рода

A = ∫ X(x, y )dx + Y(x, y )dy ,	(33)
MN

что можно записать в векторной форме так: A =	∫	F	dr	.
	MN

Таким образом, если вектор F (x, y) задает силовое поле, то криволинейный интеграл второго рода выражает работу этого поля вдоль линии MN . В этом состоит простейший физический смысл криволинейного интеграла второго рода.

Аналогично определяется криволинейный интеграл второго рода для век-

(x, y, z) = X(x, y, z)i + Y(x, y, z)

тор-функции

j + Z(x, y, z)k ,

заданной

вдоль

пространственной кривой MN , который

символически

записывают

так:

∫ X(x, y, z)dx + Y(x, y, z)dy + Z(x, y, z)dz или

∫

Теорема.

Пусть кривая MN задана

параметрическими уравнениями

x = x(t ), y = y(t), причем функции x(t ), y(t )

непрерывны вместе со своими

производными первого порядка на отрезке [α, β], где α = t M и β = t N − значения параметра t , соответствующие точкам M и N . Тогда для всякой векторфункции Φ(x, y) = X(x, y)i + Y(x, y) j , непрерывной вдоль кривой MN , существует криволинейный интеграл и имеет место равенство

	β
∫ X(x, y )dx + Y(x, y )dy = ∫{X[x(t ), y(t)]x′(t)+ Y[x(t), y(t)]y ′(t)}dt .		(34)
MN	α
Доказательство этой теоремы опускаем.
Для того чтобы	вычислить криволинейный интеграл по дуге	линии

x = x(t ), y = y(t ), нужно в подынтегральном выражении заменить x, y, dx, dy их выражениями через t и dt и вычислить получившийся определенный интеграл по интервалу изменения параметра t .

Сформулированная теорема обобщается	аналогичным образом на про-
странственный случай, когда линия MN	задана уравнениями	x = x(t),
y = y(t), z = z(t ), α ≤ t ≤ β .
В этом случае имеет место равенство

∫ X(x, y, z)dx + Y(x, y, z)dy + Z(x, y, z)dz =

= ∫{X[x(t ), y(t ), z(t )]x′(t) + Y[x(t), y(t ), z(t )]y′(t ) + Z[x(t ), y(t), z(t )]z′(t )}dt .

ПРИМЕР. Вычислить ∫ y 2 dx + x 2 dy , если в качестве пути интегрирова-

	2	( )
x = y		B 1;1
x = y
		A(1; 0)
0		x

Рис. 19

ния L берется линия x = y 2 , соединяющая точки

O(0;0) и B(1;1), рис. 19.

Решение. Воспользуемся формулой (34), выбрав в качестве переменной интегрирования в определенном интеграле переменную y . Из уравнения

кривой OB x = y 2 находим dx = 2y dy ; при движе-

нии от точки O к точке B

y меняется в пределах от 0 до 1.

( 2

4 )

Следовательно,

∫ y

dy = ∫

dx + x

2y + y

dy =

33. ФОРМУЛА ГРИНА

Пусть D − плоская область,

ограниченная линией L . В замкнутой облас-

X(x, y) и Y(x, y),

ти D заданы функции

непрерывные вместе

со своими

частными производными.

Тогда

справедлива формула,

называемая

формулой Грина:

∂Y

∂X

∫

X(x, y )dx + Y(x, y )dy ,

∫∫

−

dxdy =

(35)

D ∂x

∂y

где замкнутый контур L проходит в положительном направлении, то есть при движении по контуру области D остается слева.

Формула Грина, как, впрочем, и другие формулы, в известном смысле сходные с ней, которые мы будем рассматривать в дальнейшем, весьма полезна. Она позволяет заменять анализ одного явления, происходящего в области (двойной интеграл), анализом другого явления, происходящего только на границе области (криволинейный интеграл).

Выведем

формулу (35). Пусть отнесенная к

y = y

2 (x)

плоскости x0y область D правильна как в направ-

лении оси 0x ,

так и в направлении оси 0y . Для оп-

ределенности предположим, что граница

L состоит

y = y1(x)

из двух дуг AmB и AnB, заданных соответственно

уравнениями

y = y1 (x), y = y 2 (x),

причем

Рис. 20

a ≤ x ≤ b (рис. 20).

Рассмотрим сначала двойной интеграл ∫∫

∂X

dx dy .

∂y

По известному правилу сведем его к двукратному

∂X

y2 (x )

∂X

∫∫

dx dy = ∫dx

∫

dy .

∂y

y (x )

∂y

Так как X(x, y) при постоянном x есть одна из первообразных для

∂X

, то

∂y

y2 (x )

∂X

dy = X(x, y)

y2((x))

= X(x, y 2 (x))− X(x, y 2 (x )).

∫

y (x ) ∂y

y1 x

		50
	∂X	b
Поэтому ∫∫	∂X	dxdy = ∫[X(x, y 2 (x)) − X(x, y1 (x))]dx =
Поэтому ∫∫	∂y	dxdy = ∫[X(x, y 2 (x)) − X(x, y1 (x))]dx =
D	∂y	a
b		b
= ∫X(x, y 2 (x ))dx − ∫X(x, y1 (x))dx .
a		a

Каждый из этих двух определенных интегралов можно рассматривать как криволинейный интеграл, взятый по соответствующей дуге, а именно:

		b				b
		∫X(x, y 2 (x ))dx = ∫X(x, y)dx, ∫X(x, y1 (x ))dx = ∫X(x, y)dx .
		a	AnB			a	AmB
		Следовательно, ∫∫		∂X	dxdy = ∫X(x, y)dx −		∫X(x, y)dx .
		Следовательно, ∫∫			dxdy = ∫X(x, y)dx −		∫X(x, y)dx .
			D	∂y		AnB	AmB
		Но ∫ X(x, y)dx = − ∫ X(x, y)dx , поэтому
		AnB		BnA
∫∫	∂X	dxdy = −	∫ X(x, y)dx −			∫ X(x, y)dx .
∫∫		dxdy = −	∫ X(x, y)dx −			∫ X(x, y)dx .
D	∂y		BnA			AmB

Так как дуги BnA и AmB дают в совокупности границу L , проходимую в положительном направлении, то воспользовавшись свойством аддитивности, получаем

∫∫	∂X	dxdy = −∫ X(x, y )dx .							(36)
∫∫	∂y	dxdy = −∫ X(x, y )dx .							(36)
D	∂y	L
Аналогично устанавливается формула
∫∫	∂Y	dxdy = ∫ Y(x, y )dy .							(37)
∫∫		dxdy = ∫ Y(x, y )dy .							(37)
D	∂x	L
						∂X		∫
			∫∫					∫
Вычитая (36) из (37), получаем				∂Y	−		dxdy =		Xdx + Ydy .
Вычитая (36) из (37), получаем					−		dxdy =		Xdx + Ydy .
			D ∂x			∂y		L

Формула Грина справедлива для любой области, которую можно разбить на правильные области.

34. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПЕРВОГО РОДА

При рассмотрении ряда физических вопросов имеют дело с функциями, заданными на той или иной поверхности. Примерами таких функций являются плотность распределения зарядов на поверхности, скорость жидкости, протекающей через некоторую поверхность, и так далее. Необходимость интегрирования функций, заданных на поверхности, привела к введению поверхностных интегралов. Различают поверхностные интегралы первого и второго рода. Здесь

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 165 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.2015282.07 Кб23Metodichka_po_SRS_OI.pdf
#
17.03.2015305.15 Кб6metodichka_po_stranovedeniyu.doc
#
17.03.20152.55 Mб8Metodichka_Razvyortki_A4_dlya_BMA.doc
#
21.04.2015268.29 Кб20Metodichka_Sharifullinoy_N_B_2007_g.doc
#
17.12.20181.73 Mб30metodich_ukaz_neft_izm.doc
#
17.03.20151.38 Mб13metodII.pdf матека.pdf
#
17.03.2015251.9 Кб9MetodKult.doc
#
12.11.2019991.23 Кб3metod_KGR_1_PTV.doc
#
17.03.2015550.91 Кб38metod_raschet.doc
#
17.03.2015570.88 Кб6Metod_ukaz_po_Gostam_30_11_2011.doc
#
06.03.2016103.27 Кб9metrologia (2).docx