- •Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
- •1. Цели и задачи дисциплины
- •2. Требования к уровню освоения содержания дисциплины
- •3.Трудоемкость дисциплины по видам занятий
- •4. Содержание дисциплины
- •4.1. Разделы дисциплины и виды занятий (в часах)
- •4.2. Содержание разделов
- •I семестр
- •Раздел 1. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
- •Раздел 2. Введение в математический анализ: функция, теория пределов,
- •Раздел3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •Раздел 4. Функции нескольких переменных
- •II семестр Раздел 5 Элементы теории функции комплексного переменного и высшей алгебры
- •Раздел6. Неопределенный интеграл
- •Раздел7. Определенный интеграл
- •Раздел8. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы
- •III семестр
- •Раздел 9. Элементы теории поля
- •Раздел 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •5. Перечень практических занятий
- •I семестр
- •II семестр
- •III семестр
- •IV семестр
- •5 Самостоятельная работа студентов (срс)
- •5.3 Примерный перечень тем курсовых проектов (работ).
- •5.4 Примерный перечень тем рефератов.
- •5.5 Самостоятельное изучение тем разделов программы (материалы для самостоятельной работы студентов:умк дисциплины «Математика»).
- •6.Методические указания к самостоятельной работе студентов.
- •6.1.Векторный анализ
- •6.2.Числовые ряды Основные понятия
- •Простейшие свойства сходящихся рядов
- •Остаток ряда
- •Необходимый признак сходимости ряда
- •Положительные ряды
- •I. Признаки сравнения рядов
- •II. Признак Даламбера (в предельной форме)
- •III. Признак Коши (в предельной форме)
- •IV. Интегральный признак Коши
- •Знакопеременные ряды
- •Достаточный признак сходимости знакопеременных рядов
- •Свойства абсолютно сходящихся рядов
- •Функциональные ряды
- •Понятие функционального ряда и его области сходимости
- •Мажорируемость функционального ряда
- •Равномерная сходимость функционального ряда
- •Степенные ряды
- •Область сходимости степенного ряда
- •Нахождение интервала и радиуса сходимости ряда
- •Условия разложения функции в ряд Тейлора
- •Разложение в ряд маклорена некоторых элементарных функций
- •I Разложение функции
- •II Разложение функции
- •III Разложение функции
- •IV Разложение функции
- •V Разложение функции
- •6.3.Комплексные числа
- •Используя правило возведения в степень, получим
- •6.4.Дифференциальные уравнения Основные понятия
- •Уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные уравнения
- •Линейные уравнения
- •Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
- •Уравнения Лагранжа и Клеро
- •Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Системы дифференциальных уравнений
- •6.5.Теория вероятности
- •Оценим значение
- •6.6. Математическая статистика Вариационные ряды
- •Основные формулы
- •Выборочный метод. Общие вопросы.
- •Эмпирическая функция распределения.
- •Оценка генеральной доли признака
- •Элементы проверки статических гипотез
- •Элементы корреляционного анализа Линейная корреляция
- •Основные формулы
- •Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Статистическая гипотеза. Понятие о критериях согласия. Критерий 2 Пирсона.
- •7.Контрольные работы
- •7.1 Контрольная работа №5 Векторный анализ
- •Числовые ряды
- •Комплексные переменные
- •Дифференциальные уравнения
- •7.2Котрольная работа №6
- •7.3 Контрольная работа №7
- •7.4 Контрольная работа №8
- •Математическая статистика
- •8. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
- •9.Карта обеспеченности студентов учебниками, учебными пособиями, учебно-методическими материалами по дисциплине "Математика".
- •10. Перечень контрольных вопросов
- •Семестр II
- •Семестр III
- •Семестр IV
6.2.Числовые ряды Основные понятия
Пусть дана бесконечная числовая последовательность: 1, 2, 3,…, n,…
Выражение, которое получится, если все члены этой последовательности соеденить формально знаком плюс:
, (6.2.1)
называется числовым рядом (или просто рядом). Часто ряд записывают в виде , где указано, что индекс n пробегает все натуральные числа: 1, 2, 3,….
Числа 1, 2, 3,…, n,… называются членами ряда, называютобщим членом ряда ( при произвольном n).
В арифметике и алгебре рассматривают суммы с конечным числом слагаемых. В ряде же слагаемых бесконечно много. Поэтому понятие суммы, состоящей из бесконечного числа слагаемых, требует некоторого специального определения. Что же понимают под выражением (6.2.1)
Может оказаться, что иногда это выражение и лишнего чистого смысла.
Введем тонкое определение.
Возьмем сумму n первых членов ряда (6.2.1) и обозначим ее через Sn:
(6.2.2)
эту сумму называют n-й частичной суммой ряда (6.2.1). При этом под S1 понимают 1.
Давая в (6.2.2) «n» последовательных значений 1, 2, 3,…, получим последовательность частичных сумм:
Возможны два случая:
либо эта последовательность имеет конечный предел
либо она не имеет конечного предела ( стремится к или вовсе не стремится
ни к какому пределу).
Определение 6.2.1. Если последовательность частичных сумм (или иначе частичная сумма Sn) имеет конечный предел , то ряд (6.2.1) называется сходящимся, а сам этот предел называется суммой ряда.
При этом пишут: или.
Если же последовательность частичных сумм не имеет предела то ряд (6.2.1) называется расходящимся.
Расходящийся ряд не имеет суммы в том смысле как мы ее определили.
Однако в том случае когда , пишут, а такжеS=.
Пример 6.2.1. Пользуясь непосредственно определением суммы ряда, показать, что ряд сходится и найти его сумму.
Представим общий член ряда в виде суммы двух дробей:
Тогда частичную сумму Sn данного ряда можем переписать так:
В соответствии с определением надо выяснить существует ли конечный предел Sn при n:
следовательно данный ряд сходится и его сумма S=1.
Решение. n=-1; A=1/3; B=-1/3.
Sn-
Пример 6.2.2. Исследование сходимости ряда, составленного из членов геометрической прогрессии.
Рассмотрим ряд
(6.2.3)
составленный из членов геометрической прогрессии. Часто данный ряд называют геометрическим рядом.
Выясним, при каких значениях q ряд (6.2.3) сходится.
Составим частичную сумму Sn ряда:
по формуле для суммы n первых членов геометрической прогрессии
=(6.2.4)
а) если 1 (прогрессия убывающая), то , поэтомусуществует и
следовательно, в случае, когда 1, ряд (6.2.3) сходится и его сумма равна .
б) Если 1, то , а тогда (т. к.a0) и
Значит, в случае, когда 1, ряд (6.2.3) расходится.
в) если q=-1, то частичная сумма Sn принимает вид:
Отсюда ясно что в этом случае Sn при n предела не имеет и ряд (6.2.3) расходится.
г) При q=1 формула (6.2.4) лишена смысла. Но ясно непосредственно, что в этом случае
Значит в случае q=1 ряд (6.2.3) также расходится.
Вывод. Итак геометрический ряд 1) сходится при 1 и 2) расходится 1 (a0), причем при 1 имеем известную (из школьного курса математики) формулу суммы членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии.