Степенные ряды
Одним из важных классов функциональных рядов являются степенные ряды.
Определение 6.2.9.Функциональные ряды, членами которых являются целые положительные степени независимой переменной х или двучлена (х-х0), ( где х0=const), умноженные на числовые коэффициенты:
,
или
называются
степенными
рядами.
Члены степенных рядов являются: 1) непрерывными и 2) дифференцируемыми функциями на всей числовой оси.
Ряд (1) получается из ряда (2) при х0=0.
Все последующие рассуждения будем проводить для ряда (1), поскольку ряд (2) приводится к ряду (1) с помощью замены переменной х-х0=Х.
Замечание
6.2.10. Для удобства n-м
членом степенного ряда называют член
,
несмотря на то, что он стоит на (n+1)-м
месте. Свободный член ряда a0
считают нулевым
членом.
Логически могут представиться 3 возможности:
1)ряд (1) сходится на свей числовой оси;
2)ряд сходится только в т. х=0 (в т. х=0 сходится всякий степенной ряд (1),
сумма ряда = a0)
3) ряд сходится не только в точке х=0, но и не на всей числовой оси.
Область сходимости степенного ряда
Прежде всего заметим, что любой степенной ряд (1) сходится в точке х=0 (сумма ряда = a0).
1)В отдельных случаях этот ряд может не иметь других точек сходимости
2)С
другой стороны, существуют степенные
ряды, сходящиеся в
(или,
как говорят, всюду)
1)В иных случаях степенной ряд может иметь областью сходимости некоторый
конечный промежуток.
Теорема Абеля 6.2.16. (замечательный норвежский математик, сделавший за свои 27 лет очень много для развития различных областей математики)
1)Если
степенной ряд
(1) сходится в некоторой точке х=х00,
то он сходится, и притом
абсолютно,
и во всех точках х, для которых
;
2)Если
же этот ряд расходится в некоторой точке
х1,
то он расходится и во всех точках х, для
которых
С геометрической точки зрения в теореме Абеля утверждается:
если ряд (1) сходится в т. х00, то он сходится абсолютно в интервале
если ряд расходится в т. х1, то он расходится при
.
Теорема
6.2.17.Если ряд
сходится не при всех значениях х, то
число
такое, что ряд абсолютно сходится при
и расходится при
.
Интервал
называется интервалом сходимости
степенного ряда.
Число R – радиусом сходимости степенного ряда ( см. Шипачев, стр. 237).
Из
этого можно заключить, что если
ряд (1) сходится более чем в одной точке,
но не всюду,
то существует такое действительное
число R,
что ряд (1) сходится (и при том абсолютно)
в интервале
,
т. е. при
,
и расходится при
(т. е. вне этого интервала).
Интервал
называетсяинтервалом
сходимости
степенного ряда (1).
Число R при этом называют радиусом сходимости этого ряда.
В целях большей общности степенным рядам, всюду сходящимся, а так же степенным рядам. Сходящимся только в точке х0=0, тоже принято приписывать радиус и интервал сходимости:
в
пером случае
говорят, что радиус сходимости
,
аво втором
– что R=0.
Соотвественно в первом случае говорят,
что интервал сходимости ряда есть
,
а во втором, что он состоит из одной
точки (х=0).
При таких дополнительных соглашениях, мы можем сказать, что всякий степенной ряд имеет интервал сходимости, и )как легко сказать) только один.
Что
же касается сходимости степенного ряжа
на концах интервала
,
т. е. в точках х=
R,
то ответа в общем случае дать нельзя.
В каждой из этих точек различные степенные ряды могут вести себя по разному:
может быть, что степенной ряд расходится в обеих точках х=
R;может быть, что в обеих точках х=
R
степенной ряд сходится;
интервал
сходимости обращается в замкнутый интервал – область сходимости;
наконец, может быть, что степенной ряд сходится в одной из точек х=
R
и
расходится в другой; в этом случае сходимость в одной из точек неабсолютная (область сходимости здесь – интервал с присоединенным одним концом).
В каждом конкретном примере надо проводить отдельное исследование поведения степенного ряда на концах интервала сходимости.
Вывод. Таким образом, в общем случае необходимо различать: 1) интервал сходимости и 2) область сходимости степенного ряда.
Область сходимости ряда (1) представляет собой интервал (к которому присоединен один или оба его конца), симметричный относительно т. 0.