- •Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
- •1. Цели и задачи дисциплины
- •2. Требования к уровню освоения содержания дисциплины
- •3.Трудоемкость дисциплины по видам занятий
- •4. Содержание дисциплины
- •4.1. Разделы дисциплины и виды занятий (в часах)
- •4.2. Содержание разделов
- •I семестр
- •Раздел 1. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
- •Раздел 2. Введение в математический анализ: функция, теория пределов,
- •Раздел3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •Раздел 4. Функции нескольких переменных
- •II семестр Раздел 5 Элементы теории функции комплексного переменного и высшей алгебры
- •Раздел6. Неопределенный интеграл
- •Раздел7. Определенный интеграл
- •Раздел8. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы
- •III семестр
- •Раздел 9. Элементы теории поля
- •Раздел 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •5. Перечень практических занятий
- •I семестр
- •II семестр
- •III семестр
- •IV семестр
- •5 Самостоятельная работа студентов (срс)
- •5.3 Примерный перечень тем курсовых проектов (работ).
- •5.4 Примерный перечень тем рефератов.
- •5.5 Самостоятельное изучение тем разделов программы (материалы для самостоятельной работы студентов:умк дисциплины «Математика»).
- •6.Методические указания к самостоятельной работе студентов.
- •6.1.Векторный анализ
- •6.2.Числовые ряды Основные понятия
- •Простейшие свойства сходящихся рядов
- •Остаток ряда
- •Необходимый признак сходимости ряда
- •Положительные ряды
- •I. Признаки сравнения рядов
- •II. Признак Даламбера (в предельной форме)
- •III. Признак Коши (в предельной форме)
- •IV. Интегральный признак Коши
- •Знакопеременные ряды
- •Достаточный признак сходимости знакопеременных рядов
- •Свойства абсолютно сходящихся рядов
- •Функциональные ряды
- •Понятие функционального ряда и его области сходимости
- •Мажорируемость функционального ряда
- •Равномерная сходимость функционального ряда
- •Степенные ряды
- •Область сходимости степенного ряда
- •Нахождение интервала и радиуса сходимости ряда
- •Условия разложения функции в ряд Тейлора
- •Разложение в ряд маклорена некоторых элементарных функций
- •I Разложение функции
- •II Разложение функции
- •III Разложение функции
- •IV Разложение функции
- •V Разложение функции
- •6.3.Комплексные числа
- •Используя правило возведения в степень, получим
- •6.4.Дифференциальные уравнения Основные понятия
- •Уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные уравнения
- •Линейные уравнения
- •Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
- •Уравнения Лагранжа и Клеро
- •Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Системы дифференциальных уравнений
- •6.5.Теория вероятности
- •Оценим значение
- •6.6. Математическая статистика Вариационные ряды
- •Основные формулы
- •Выборочный метод. Общие вопросы.
- •Эмпирическая функция распределения.
- •Оценка генеральной доли признака
- •Элементы проверки статических гипотез
- •Элементы корреляционного анализа Линейная корреляция
- •Основные формулы
- •Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Статистическая гипотеза. Понятие о критериях согласия. Критерий 2 Пирсона.
- •7.Контрольные работы
- •7.1 Контрольная работа №5 Векторный анализ
- •Числовые ряды
- •Комплексные переменные
- •Дифференциальные уравнения
- •7.2Котрольная работа №6
- •7.3 Контрольная работа №7
- •7.4 Контрольная работа №8
- •Математическая статистика
- •8. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
- •9.Карта обеспеченности студентов учебниками, учебными пособиями, учебно-методическими материалами по дисциплине "Математика".
- •10. Перечень контрольных вопросов
- •Семестр II
- •Семестр III
- •Семестр IV
Оценка генеральной доли признака
В этих темах условные обозначения Х, а, P будем понимать точно так, как они были использованы и разъяснены в предыдущей теме, а -общее обозначение для средних квадратических ошибокx, `x, , `, которые вычисляются по формулам (6.6.1).
Доверительная вероятность P для заданных предельной ошибке и средней квадратической ошибке (в зависимости от вида и цели выборки это будетx, `x, , `) вычисляется по формуле (6.6.1)
(6.6.1)
Средняя квадратическая ошибка (т.е.x, или `x, или , или `) вычисляется по одной из следующих формул:
Выборка Приказ |
Повторная |
Бесповторная |
для средней |
(а)
|
(б) (6.6.3) |
для доли |
(в)
|
(г)
|
Иногда для удобства вычислений выражение обозначается одной буквойt.
. (6.6.2)
Откуда .
Объем выборки n при фиксированных предельной ошибке и доверительной вероятности P вычисляется в зависимости от вида и цели выборки по одной из следующих четырех формул:
таблица 6.6.4
Выборка Приказ |
Повторная |
Бесповторная |
Для Средней |
(а)
|
(б) (6.6.4) |
Для Доли |
(в)
|
(г)
|
Рассмотрим решение трех типов задач.
I.Даны P, n и X; требуется определить предельную ошибку выборки или доверительные границы и.
Решение: 1.По заданной величине P с помощью таблицы значений функции Ф(t) находим аргумент t (выполняя, если требуется, интерполирование).
2.Вычисляем среднюю квадратическую ошибку выборки по одной из формул (6.6.1).
3.Из выражения (6.6.2) находим предельную ошибку выборки
.
4.Определяем доверительные границы и.
II.Дана предельная ошибка выборки , n и X; требуется определить доверительную вероятность P.
Решение: 1.Вычисляем среднюю квадратическую ошибку выборки по одной из формул (6.6.1).
2.Вычисляем аргумент t по формуле (6.6.2);
3.Для найденного значения t определяем по таблице значение функции Лапласа Ф(t)=P.
III.Даны P, и X. Требуется определить необходимый объем выборки n.
Решение: 1.По заданному значению доверительной вероятности P= Ф(t) определяем по таблице приложений значение t.
2.Вычисляем требуемый объем выборки n
Пример 6.6.2 По схеме собственно случайной бесповоротной выборки из общего числа 400 стальных проволок были отобраны 100 проволок и проведены испытания их на прочность.
Результаты испытаний приведены в следующей таблице:
таблица 6.6.4
Разрывное усилие, Н/м |
40-42 |
42-44 |
44-46 |
46-48 |
48-50 |
Итого |
Количество проволок |
7 |
24 |
38 |
19 |
12 |
100 |
Найти: 1) вероятность того, что среднее разрывное усилие всех 400 проволок отличается от среднего разрывного усилия проволок в выборке не более чем на 0,31 (по абсолютной величине); 2) границы, в которых с вероятностью 0,9975 заключено среднее разрывное усилие проволок всей партии; 3) объем выборки, для которой доверительные границы с предельной ошибкой =0,42 имели бы место с доверительной вероятностью P=0,9961.
Решение. 1.Прежде всего нужно подсчитать выборочную среднюю и выборочную дисперсию данной выборки. Согласно этим вычислениям подсчитаем теперь среднюю квадратическую ошибку выборочной средней, учитывая, что по условию выборка бесповоротная, а оценивает-
ся генеральная средняя:
Чтобы получить ответ на первый вопрос условия, подставляем найденные значения в формулу (6.6.1):
2.Сначала по таблице значений функции Ф(x) найдем такое значение аргумента t, для которого Ф(t)=0,9975. Это t3,02. Тогда предельная ошибка выборки:
3,020,1890,57 (Н/мм2).
Поэтому доверительные границы будут
3.Для получения ответа на третий вопрос условия, нужно применить формулы (6.6.3). Предварительно по таблице значений функции Ф(x) найдем значение аргумента t, при котором Ф(t)=0,9961. Получаем t=2,89. По условию выборка бесповоротная, а оценивается генеральная средняя. Подсчитаем сначала по формуле (4) объем повторной выборке при тех же значениях t, 2 и :
а затем по формуле (6.6.3) в тех же условиях необходимый объем бесповоротной выборки:
Ответ. 1.Вероятность того, что среднее разрывное усилие проволок во всей партии отличается от среднего разрывного усилия проволок в выборке не более чем на 0,31 (по абсолютной величине) равна 0,8990. 2.С вероятностью 0,9975 можно утверждать, что среднее разрывное усилие проволок всей партии находится в границах от 44,53 до 45,67 (Н/мм2). 3.Для того, чтобы с доверительной вероятностью P=0,9961 гарантировать доверительные границы с предельной ошибкой =0,42, нужно образовать бесповторную выборку из 144 проволок.
Пример 6.6.3 По данным задачи 1 найти: 1) доверительные границы, в которых с вероятностью P=0,9545 во всей партии находится доля проволок с разрывным усилием, не меньшим 0,46; 2) каким должен быть объем выборки, чтобы с той же вероятностью 0,9545 можно было гарантировать доверительные границы с предельной ошибкой 0,05?
Решение. Находим выборочную долю
Так как оценивается генеральная доля, а выборка бесповоротная, то по формуле (1-г) подсчитаем среднюю квадратическую ошибку выборочную доли:
Теперь по таблице находим значение аргумента t из соотношения Ф(t)=0,9545. Получаем t=2. Из формулы (6.6.2) следует, что
а доверительные границы равны:
Для ответа на второй вопрос применим формулу (6.6.4-а), но сначала по формуле (6.6.4-в) находим объем повторной выборки при заданных значениях , t и , учитывая, что оценивается генеральная доля:
а затем по формуле (3-г) необходимый объем бесповоротной выборки:
Ответ. 1.С вероятностью 0,9545 можно утверждать, что во всей партии доля проволок с разрывным усилием не меньшим 46 Н/мм2 заключена в границах от 0,23 до 0,39.
2.Для того, чтобы с доверительную вероятностью P=0,9545 гарантировать доверительные границы с предельной ошибкой 0,05, нужно образовать бесповоротную выборку из 185 проволок.
Пример 6.6.4 Из числа отобранных по схеме собственно случайной бесповоротной выборки 500 зерен 20 зерен не взошли. Необходимо:
1.Определить с доверительной вероятностью 0,9545 границы процента всхожести во всей партии семян.
2.Найти доверительную вероятность, с которой можно гарантировать втрое меньшую предельную ошибку, чем найденную в п.1.
3.Найти такой объем выборки, что указанную в п.2 предельную ошибку гарантировать с вероятностью 0,99. Значение выборочной доли принять по данным предварительной выборки в 500 зерен.
Решение. Исходя из условия задачи, находим выборочную долю взошедших семян:
или 96%.
1.По величине P=0,9545 определяем по таблице приложений значение t=2.
2.Вычисляем по формуле (3-в) среднюю квадратическую ошибку выборки
Расчет производим по формулам повторной выборки, так как число семян N во всей партии можно считать значительно превосходящим объем выборки n=500 зерен.
3.Вычисляем предельную ошибку повторной выборки:
или Отсюда получаем доверительные границы:
и .
Ответ: С доверительной вероятностью P=0,9545 можно гарантировать следующие доверительные границы для процента всхожести семян во всей партии: от 94,25% до 97,75%.
II.Дано n=500, =0,96, 1=Определить значение P.
Решение: 1.Вычисляем среднюю квадратическую ошибку выборки (она была найдена в задаче I типа: ).
2.Определить аргумент t по формуле (6.6.2)
3.По таблице приложений находим
Ответ. С вероятностью P=0,4971 можно гарантировать предельную ошибку выборки , или приблизительно 0,6%.
III.Дано P=0,99, 1=0,00583 и =0,99. Определить n.
Решение. 1.По значению P=Ф(t)=0,99 находим из таблицы t=2,577 (здесь используется интерполирование между значениями Ф(2,57)=0,9898 и Ф(2,58)=0,9901). 2.Вычисляем необходимый объем повторной выборки
(округляем до целого числа).
Ответ. Для того, чтобы гарантировать с вероятностью P=0,99 доверительные границы для процента всхожести семян 96%0,6%, необходимо объем выборки увеличить до 7502 зерен.