Функциональные ряды

В предыдущих лекциях мы рассматривали числовые ряды.Но в математическом анализе играют большую роль и функциональные ряды (они тесно связаны с функциональными последовательностями).

Понятие функционального ряда и его области сходимости

Рассмотрим ряд, членами которого являются не определенные числа (как у числового ряда), а функции:

(6.2.8)

Такой ряд называется функциональным рядом.

 Сходимость функционального ряда понимается следующим образом:

при каждом фиксированном значении х функции принимают числовые значения и поэтому при каждом фиксированном значении х ряд (1) обращается в числовой ряд.

Причем для одних значений х ряд может быть сходящимся, а для других - расходящимся.

Определение 6.2.5. Множество всех значений х, при которых ряд (6.2.8) сходится, называется областью сходимости функционального ряда (6.2.8).

Пример 6.2.25. Найти область сходимости ряда

 Концы: расходятся,

Ответ:

Обычно областью сходимости функционального ряда является некоторый интервал оси ОХ.

Функциональный ряд (6.2.8) называется абсолютно сходящимся в т. х₀, если в этой точке соответствующий числовой ряд сходится абсолютно.

Если ряд (6.2.8) сходится абсолютно в каждой точке данного множества, то он называется абсолютно сходящимся на этом множестве.

Мажорируемость функционального ряда

Определение 6.2.6. Функциональный ряд называетсямажорируемым на данном множестве Д (на котором определены функции , где), если существует такойчисловой сходящийся ряд сположительными членами, что члены ряда (хотя бы начиная с некоторого) при всех не превосходят по модулю соответствующих членов ряда, т. е.

(При этом ряд называется мажорирующим или мажорантным рядом для функционального ряда).

 Другое определение 6.2.7.Функциональный ряд (1) называетсямажорируемым на данном множестве Д (на котором определены функции , где), если существует такойсходящийся числовой ряд (2) с положительными членами, что для всех выполняются соотношения

,()

Равномерная сходимость функционального ряда

Среди сходящихся функциональных рядов выделяются своей важностью так называемые равномерно сходящиеся ряды.

Определение 6.2.8. Ряд (1) называетсяравномерно сходящимся на множестве Д, если для любого можно указать такое число, что при всехбудет выполнятся неравенство:длявсех (или).

- n-я частичная сумма ряда (1)

S(x)- сумма ряда (1)

Рассмотрим следующий признак, достаточный для равномерной сходимости функционального ряда.

Теорема (признак Вейерштрасса) 6.2.15.: Если функциональный ряд (1)мажорирует на данном множестве Д, то он: 1) равномерно и 2) абсолютно сходится на этом множестве.

Пример 6.2.26.Доказать, что ряд сходится равномерно на всей оси ОХ.

Т. к. для  имеем , то(). Рядсходится. По признаку Вейерштрасса данный ряд сходится равномерно на всей оси.

Замечание 6.2.8.Признак Вейерштрасса дает только достаточное условие равномерной сходимости функционального ряда, оно не является необходимым.

Замечание 6.2.9. Равномерно сходящийся в некотором промежутке ряд не обязательно сходится там и абсолютно.