Раздел 4. Функции нескольких переменных

Лекция 1.

Комплексные числа, действия над ними. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Формулы Эйлера. Показательная форма комплексного числа. Корни из комплексных чисел. Понятие функции комплексного переменного.

Многочлены. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители. Разложение рациональных дробей на простейшие.

Лекция 2.

Первообразная функция и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Простейшие приемы интегрирования.

Интегрирование методом замены переменной и по частям. Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен.

Интегрирование простейших рациональных дробей и дробно-рациональных функций.

Интегрирование некоторых тригонометрических выражений.

Интегрирование некоторых иррациональностей. Сведения о «неберущихся» интегралах.

Лекция 3.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определение определенного интеграла. Свойства. Связь определенного интеграла с неопределенным. Формула Ньютона- Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям.

Обобщение понятия определенного интеграла. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций. Признаки сходимости*.

Вычисление площадей плоских фигур в декартовых и полярных координатах. Длина дуги плоской кривой. Вычисление объема тела по площадям поперечных сечений. Объем тела вращения.

Применение определенного интеграла к задачам механики: работа, координаты центра тяжести, моменты инерции. Общая схема применения определенного интеграла к решению физических задач*.

Лекция 4.

Задачи, приводящие к понятию кратных и криволинейных интегралов. Масса пластины, тела, материальной кривой.

Определение двойного интеграла, свойства. Понятие правильной области. Вычисление двойного интеграла путем сведения его к двукратному интегралу в декартовых и полярных координатах. Приложения двойного интеграла: объем тела, статический момент, координаты центра тяжести неоднородной пластинки.

Тройной интеграл. Вычисление в декартовых, цилиндрических и сферических координатах. Приложения*.

Криволинейный интеграл первого рода. Вычисление длины дуги. Вычисление работы переменной силы по криволинейной траектории. Криволинейный интеграл второго рода. Формула Грина*.