Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными имеет вид

M₁(x)N₁(y)dx+M₂(x)N₂(y)dy=0. (6.4.3)

Поделив обе части уравнения (6.4.3) на N₁(y)M₂(x), получим уравнение

,

в котором переменные разделены. Общий интеграл уравнения находится почленным интегрированием:

Однородные уравнения

Уравнение вида

y^|=f(y/x) (6.4.4)

называется однородным уравнением.

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой y=ux, где u – новая искомая функция. Дифференцируя равенство y=ux, получим

.

Подставив y и в уравнение (6.4.4), получим

,

Откуда

. (6.4.5)

Это уравнение с разделяющимися переменными u и x. Найдя общее решение (интеграл) уравнения (6.4.5) и заменив u на y/x, получим общее решение (интеграл) данного однородного уравнения.

Линейные уравнения

Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно линейно (т.е. первой степени) относительно искомой функции y и ее производной . Общий вид линейного уравнения

y^|+P(x)y=Q(x). (6.4.6)

Линейное уравнение сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными, если искомую функцию y заменить произведением двух вспомогательных функций u и v, т.е. положить y=uv. Тогда

,

и данное уравнение (6.4.6.) примет вид

. (6.4.7)

Пользуясь тем, что одну из вспомогательных функций, например v, можно выбрать произвольно, подберем ее так, чтобы выражение в квадратных скобках обратилось в нуль, т.е. в качестве v возьмем одно из частных решений v=v(x) уравнения с разделяющимися переменными

.

Подставляя выражение v=v(x) в уравнение (6.4.7), получаем уравнение относительно функции u:

, (6.4.8)

которое также является уравнением с разделяющимися переменными. Найдя общее решение уравнения (6.4.8) в виде u=u(x,C), получим общее решение линейного уравнения (6.4.6):

y=u(x,C)v(x).

Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

Если левая часть уравнения

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (6.4.9)

представляет собой полный дифференциал некоторой функции U(x,y), то уравнение (6.4.9) называется уравнением в полных дифференциалах. В этом случае его можно переписать в виде dU(x,y)=0, так что общий интеграл

U(x,y)=C. (6.4.10)

Для того чтобы уравнение (6.4.9) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области D, в которой функции P(x,y) и Q(x,y) определены, непрерывны и имеют непрерывные частные производные и, было выполнено условие

. (6.4.11)

В том случае, когда условие (6.4.11) выполнено, общий интеграл уравнения (6.4.9) можно записать в виде

(6.4.12)

или

, (6.4.13)

где (x₀;y₀) – произвольная фиксированная точка области D.

Если же условие (6.4.11) не выполнено, то уравнение (6.4.9) не является уравнением в полных дифференциалах. Однако в некоторых случаях его можно привести к уравнению в полных дифференциалах умножением на функцию µ(x,y), которая называется интегрирующим множителем.

Интегрирующий множитель легко находится в следующих двух случаях:

1)когда он зависит т о л ь к о от x, т.е. µ=µ(x);

2)когда он зависит т о л ь к о от y, т.е. µ=µ(y).

Первый из этих случаев имеет место, если отношение

является функцией только от x; тогда интегрирующий множитель находится по формуле

. (6.4.14)

Второй случай имеет место, если отношение

является функцией только от y; тогда интегрирующий множитель определяется по формуле

. (6.4.15)