Достаточный признак сходимости знакопеременных рядов

Перейдем теперь к рассмотрению знакопеременных рядов, у которых члены с положительными и отрицательными знаками не обязательно чередуются. Расположение положительных и отрицательных членов в ряде совершенной произвольно.

Снова будем обозначать символом … сам n-й член ряда, а не его модуль, т. е. рассматриваемый знакопеременный ряд будем обозначать символом:

, где - любые действительные числа. (1)

Одновременно с этим рядом рассмотрим ряд

(2)

составленный из модулей членов ряда (2).

Рассмотрим теорему, которая устанавливает зависимость между поведением рядов (1) и (2).

Теорема 6.2.12. Если ряд (1), составленный из модулей членов ряда (2), сходится, то ряд (2) так же сходится.

Пример 6.2.21.Исследовать на сходимость ряд

Рассмотрим ряд, составленный из модулей всех членов данного ряда:

Этот ряд сходится (по признаку Даламбера). Следовательно, по доказанной теореме, данный знакопеременный ряд тоже сходится.

Замечание 6.2.6. В этом примере признак Лейбница не применим. Д-но, не выполняется первое условие теоремы Лейбница. Если б не выполнялось второе условие, то ряд расходился бы, т. к. было бы нарушено необходимое условие.

И хотя признак Лейбница не выполняется, ряд сходится, как получено выше. Это объясняется тем, что признак Лейбница – достаточный признак, но не необходимый.

Замечание 6.2.7. Теорема (6.2.12.) – достаточный признак сходимости ряда (1), не необходимый, т. е. ряд (1) может сходится и тогда, когда ряд (2) расходится.

Пример 6.2.22.

1. Рассмотрим ряд

Ряд - расходится (гармонический ряд). В то же время ряд- знакочередующийся ряд, сходящийся по признаку Лейбница.

Таким образом, для знакопеременных сходящихся рядов различают два случая:

1) данный знакопеременный ряд сходится и соответствующий ему положительный ряд также сходится;

2) данный знакопеременный ряд сходится, но соответствующий ему положительный ряд расходится.

В связи с этим введем нижеприведенные определения.

Определение 6.2.3.Сходящийся ряд называетсяабсолютно сходящимся, если сходится ряд , составленный из модулей всехn=1 членов данного ряда.

Пример 6.2.23.Ряд сходится абсолютно, т. к. соответствующий ему положительный рядсходится (геометрический ряд с).

Определение 6.2.4. Если данный ряд сходится, тогда как ряд, образованный из модулей его членов, расходится, то рассматриваемый ряд называетсянеабсолютно сходящимся (или, как часто говорят, условно сходящимся).

Пример 6.2.24.Ряд , как мы видели выше, сходится, в то время как рядрасходится. Следовательно, данный ряд сходитсянеабсолютно.

В тех случаях, когда применение признака Лейбница связано с громоздкими выкладками, выгодно сразу же исследовать ряд на абсолютную сходимость.

Если ряд, составленный из модулей членов данного заданного ряда, сходится, то заданный ряд сходится абсолютно (см. Цветк., стр. 25).

Свойства абсолютно сходящихся рядов

Абсолютно сходящиеся ряды обладают некоторыми специфическими свойствами, выделяющими их из остальных сходящихся рядов.

Рассмотрим теоремы, присущие только абсолютно сходящимся рядам.

Теорема 6.2.13. Абсолютно сходящиеся ряды обладают переместительным свойством.

Иными словами, если в абсолютно сходящемся ряде сделаем какую-нибудь перестановку членов, то получится ряд, который также абсолютно сходится и имеет ту же сумму, что и исходный ряд.

Теорема 6.2.14. Два абсолютно сходящихся ряда можно перемножать по правилу умножения конечных сумм. Полученный в результате умножения ряд абсолютно сходится и его сумма равна произведению сумм исходных рядов.