Семестр II

Понятие о первообразной функции. Теорема о множестве всех первообразных (с док-вом).

Неопределенный интеграл и его свойства. Геометрический смысл неопределенного интеграла.

Основные методы интегрирования: интегрирование методом разложения; интегрирование методом замены переменной.

Основные методы интегрирования: интегрирование по частям.

Понятие комплексного числа. Основные действия над комплексными числами.

Алгебраические многочлены. Теорема Безу.

Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на множители.

Условие тождественного равенства двух многочленов.

Виды рациональных дробей. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей I и II типа; III типа.

Интегрирование простейших дробей I и II типа; III типа.

Интегрирование тригонометрических функций: универсальная подстановка.

Интегрирование тригонометрических функций: частные методы вычисления интегралов.

Интегрирование некоторых иррациональных функций.

Геометрический смысл определенного интеграла.

Определенный интеграл и его свойства. Теорема существования.

Определенный интеграл с переменным верхним пределом интегрирования. Теорема о производной интеграла по верхнему пределу.

Формула Ньютона-Лейбница.

Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям.

Вывод формул для вычисления площади плоской фигуры, заданной в различных системах координат (прямоугольной).

Вычисление длин дуг плоских кривых, заданных в различных системах координат (прямоугольной; параметрической; полярной).

Вычисление объема тела вращения.

Несобственные интегралы 1-го рода. Признаки сходимости.

Несобственные интегралы 2-го рода. Признаки сходимости.

Определение двойного интеграла, теорема существования, свойства.

Понятие правильной области. Вычисление двойного интеграла путем сведения его к двукратному интегралу в прямоугольных и полярных координатах.

Приложения двойного интеграла: площадь плоской фигуры, объем тела.

Понятие правильной области.

Скалярное поле. Линии и поверхности уровня. Производная по направлению.

Градиент скалярного поля: определение, свойства, вычисление.

Понятия о дифференциальных уравнениях, их классификация. Экономические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Частное и общее решение.

Основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах (уравнения с разделяющимися и разделенными переменными).

Уравнения, интегрируемые в квадратурах (однородное, линейное, Бернулли, в полных дифференциалах).

Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Основные понятия.

Решение линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами: уравнения с правой частью специального вида. Метод вариации произвольных постоянных как метод нахождения общего решения неоднородного уравнения.

Приложения к описанию линейных моделей.

Числовые ряды. Сумма и сходимость ряда. Свойства сходящихся рядов.

Необходимый признак сходимости ряда с положительными членами.

Признаки сравнения.

Достаточные признаки сходимости: Даламбера, Коши, интегральный признак Коши.

Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость.

Функциональные ряды, область сходимости.

Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости.

Интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

Ряды Тейлора и Маклорена. Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора. Разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций.

Применение рядов (приближенное вычисление значений функций; интегрирование функций и дифференциальных уравнений).