Швидкість електромагнітних хвиль у середовищі

(4.46)

де ε – діелектрична проникність; μ – магнітна проникність середовища.

Приклади розв’язування задач

Задача 38. Коливальний контур, що складається з плоского повітряного конденсатора, площа кожної з пластин якого S = 100 см², і котушки з індуктивністю L = 1 мкГн, входить у резонанс на довжині хвилі λ = 10 м. Визначити відстань d між пластинами конденсатора.

Розв’язання

Дано: S = 100 см2 L = 1 мкГн λ = 10 м d – ?

Відстань між пластинами конденсатора можна знайти з формули ємності плоского конденсатора С = εоεS/d, де ε – діелектрична проникність середовища, що заповнює конденсатор, звідси d = εεоS/C. (1) З формули Томсона, що визначає період коливань в

електричному контурі, знаходимо електроємність

С = Т ²/(4π²L). (2)

Невідомий період коливань Т можна визначити, знаючи резонансну довжину хвилі λ. Зі співвідношення λ = сТ, де с = 3·10⁸м/с, одержимо: Т = λ /с.

Підставимо вираз для періоду Т у формулу (2), а потім для електроємності С у формулу (1), одержимо

Виконавши обчислення, знайдемо d = 3,14 мм.

Задача 39. Коливальний контур складається з котушки з індуктивністю L = 1,2 мГн і конденсатора змінної ємності в межах від С₁ = 12 пф до С₂ = 80 пф. Визначити діапазон довжин електромагнітних хвиль, на який розрахований контур. Вважати, що активний опір контура дорівнює нулю.

Розв’язання

Дано: L = 1,2 мГн С1 = 12 пф С2 = 80 пф R = 0 С = 3·108 м/с λ1 –? λ2 –?

Довжина електромагнітної хвилі, що може викликати резонанс у коливальному контурі, зв'язана з періодом Т коливань контура співвідношенням λ = сТ. (1) Період коливань, у свою чергу, зв'язаний з індуктивністю L котушки та електроємністю С конденсатора коливального контура формулою:

Звідси (2)

За умовою задачі, індуктивність контура незмінна, а електроємність може змінюватися в межах від С₁ до С₂. Цим значенням електроємності відповідають довжини хвиль λ₁ і λ₂, що визначають діапазон довжин хвиль, що можуть викликати резонанс. Після обчислень за формулою (2) одержимо:

λ₁ = 226 м; λ₂ = 585 м.

Задача 40. Період коливання контура, що складається з конденсатора С і котушки з індуктивністю L = 4,7 Гн, дорівнює Т_о = 10^–6с. Амплітуда напруги на конденсаторі U_о = 300 В. Визначити енергію коливання в контурі, а також амплітудне значення сили струму в контурі. Омічним опором контура знехтувати.

Розв’язання

Дано: L = 4,7 Гн То = 10–6 С	Енергії електричного і магнітного полів вільних власних електромагнітних коливань в ідеальному контурі – величини, змінні в часі. Повна ж енергія дорівнює максимальній енергії електричного поля або максимальній енергії магнітного поля є величина постійна.
Uо = 300 В W -? Iо -?	Енергія електричного поля:

(1)

Для знаходження W потрібно визначити ємність конденсатора.

Знайдемо її з формули Томсона: звідси

С = Т_о²/4π²L. (2)

Підставивши (2) в (1), одержимо

Обчислення:

Перевірка розмірності:

Для знаходження амплітудного значення сили струму використаємо формулу енергії магнітного поля:

Звідси:

Обчислення:

Перевірка розмірності: