Основні теоретичні відомості
яких значення фізичної величини повторюється через однакові проміжки часу.
Гармонічні коливання описуються законом:
x = A cos (𝛚0 t + φ) або x = A sin (𝛚0 t + φ),
де x – значення величини, що здійснює коливання, у даний момент часу t; А – амплітуда; (𝛚0 t + φ) – фаза коливань; 𝛚0 – циклічна частота (𝛚0 = 2π/Т), Т – період, φ – початкова фаза коливань.
Вільні коливання зручно описувати функцією косинуса, а вимушені – функцією синуса.
Швидкість і прискорення змінюються за гармонічним законом:
= υx
(t) = –
A 𝛚0
sin (𝛚0
t + φ)
= A 𝛚0
cos (𝛚0
t + φ
+ π /2)
= ax
= – A
cos (𝛚0
t + φ).
Додавання двох гармонічних коливань однакового напрямку з однаковими частотами:
а) амплітуда результуючого коливання:
А = 
;
б) початкова фаза результуючого коливання:
φ = arctg
.
Сила, під дією якої система здійснює гармонічні коливання (квазіпружна, або повертальна сила), пропорційна зміщенню й направлена протилежно до нього:
F = – k x,
де k – постійний коефіцієнт квазіупружної сили; x – відхилення системи від положення рівноваги.
Рух одномірного гармонічного осцилятора масою m описується диференціальним рівнянням:
m
= – k x,
або 
0.
Розв’язок даного рівняння:
x = A cos (𝛚0 t + φ),
де 𝛚0 – власна частота гармонічного осцилятора.
Період гармонічних коливань простих коливальних систем:
а) пружинного маятника з коефіцієнтом жорсткості пружини к:
T = 2π
;
б) математичного маятника довжиною l:
T = 2π
;
в) фізичного маятника із моментом інерції І відносно осі коливань і відстанню а від центра мас тіла до точки підвісу:
T = 2π
.
Кінетична і потенціальна енергія гармонічного осцилятора:
Wk
= 
= 
sin2
(𝛚0
t + φ);
U = 
= 
cos2
(𝛚0
t + φ).
Повна енергія осцилятора:
E = .
Хід роботи
Приклад Точка здійснює гармонійні коливання з частотою = 10 Гц. У момент, прийнятий за початковий, точка мала максимальне зміщення хmax = мм. Записати рівняння коливань точки і накреслити графік.
Розв’язок. Рівняння коливань точки можна записати у вигляді:
х = Аsin (t + 1), (1)
або
х = Аcos (t + 2), (2)
де А – амплітуда коливань; – циклічна частота; t – час; 1 і 2 – початкові фази.
А = хmax. (3)
Циклічна частота пов’язана з частотою співвідношенням:
= 2. (4)
Початкова фаза коливань залежить від форми запису. Якщо використати форму (1), то початкову фазу можна визначити із умови:
t = 0 xmax = Asin 1,
звідки
або
Зміна фази на 2 не змінює стану коливального руху, тому можна прийняти:
1 = / 2. (5)
У випадку другої форми запису отримуємо:
або
2 = 2 k (k = 0, 1, 2, 3, …).
По тим самим міркуванням, що і в першому випадку, знаходимо:
2 = 0. (6)
З урахуванням рівнянь (3) – (6), рівняння коливань будуть мати вигляд:
або
x = xmax cos 2 t,
де хmax = 1 мм = 10-3 м; = 10 Гц.
Графік гармонічного коливання
