Сложение гармонических колебаний.

E

0 x

Из всех разнообразных видов волн мы ограничиваемся здесь лишь волнами, которые представляют собой процесс распространения гармонических или почти гармонических колебаний. Нам придется достаточно много заниматься сложением большого числа колебаний и потому представляется полезным еще раз вспомнить о сущности используемого метода - метода векторных диаграмм.

Сначала посмотрим, как могут быть представлены или описаны волновой процесс и происходящие при этом колебания.

На рисунке представлен график зависимости напряженности электрического поля световой волны от координаты. Естественно, это график зависимости E(x) в некоторый момент времени. Эту картинку следует представлять себе движущейся со скоростью света вдоль оси OX. Если по оси абсцисс будет отложено времени, тот же график будет представлять собой колебания электрического поля в некоторой точке.

E₀

t+

Такие способы представления волны достаточно наглядны, но неудобны для сложения колебаний или волн. Для этих целей часто используется представление колебаний в виде векторной диаграммы.

Предположим, что в некоторой точке происходят колебания по закону E = E₀cos(t+). Эти колебания можно представить таким способом.

E₀

_i



Нарисуем некий вспомогательный вектор длины E₀ таким образом, чтобы его угол с осью абсцисс при t=0 был равен . Если мы теперь будем вращать вектор с угловой скоростью , его проекция на ось абсцисс будет равна E₀cos(t+), т.е. будет представлять собой наше колебание.

Предположим теперь, что в некоторой точке происходит несколько колебаний вида E_i=E_0icos(t+_i). Для прямого нахождения их суммы нужно решить достаточно сложную тригонометрическую задачу. Но векторная диаграмма позволяет достаточно просто решить эту проблему геометрически.

Для этого достаточно нарисовать векторы длиной E_0i так, как это показано на рисунке. Легко найти сумму этих векторов - обозначим длину суммарного вектора E₀, его угол с осью абсцисс в начальный момент времени . Поскольку проекция суммы векторов равна сумме их проекций, при вращении суммарного вектора со скоростью  его проекция на ось абсцисс будет представлять собой сумму колебаний E_i.

При практическом использовании векторной диаграммы обычно “забывают” о том, что вектора вращаются: определив длину суммарного вектора E₀ и начальную фазу , можно записать выражение для суммарных колебаний:

.

Таким образом, тригонометрическая задача сводится к задаче геометрической, которая обычно оказывается проще, а результат - более наглядным.

Но то обстоятельство, что этот вектор вращается, в некоторых задачах неожиданно становится существенным и приходится вспоминать об этом вращении.

Применим этот метод для анализа отражения волны от плоского зеркала. Предположим, что в точке A находится некоторый источник света. В разных точках зеркала (C и C’, например) колебания электронов будут происходить с разными начальными фазами. С разными фазами будут происходить и колебания электрического поля в точке B, вызванные колебаниями расположенных в разных точках электронов.

Разность фаз этих колебаний определяется разностью длин ломаных ACB и AC’B. Обозначим их как L и L’. Тогда разность фаз колебаний

.

A Z

C’

C

B

Здесь c - скорость света, t - разность времен распространения света вдоль ломаных AC’B и ACB, время запаздывания одного сигнала по отношению к другому. Появление знака “минус” связано с тем, что вдоль ломаной AC’B волна проходит большее расстояние, в сложении участвуют колебания волны, излученной в более ранний момент времени.

Длина ломаной ACB минимальна. Поэтому при прохождении луча через эту точку

.

Это означает, что при малом смещении от точеи C вверх или вниз фаза колебаний в точке B из-за колебаний отдельных электронов остается примерно одинаковой, амплитуды соответствующих колебаний складываются. Но при отклонении точки от положения z = 0 (точки C) производная dt/dz и, стало быть, будет возрастать по модулю и “скорость” изменения (модуль производной) будет тем больше, чем сильнее отличается значение координаты z от нуля. На векторной диаграмме это проявляться в быстром изменении разности фаз колебаний (в точке B), вызванных даже близко друг другу расположенных электронов. Соответствующие векторы E_0i на диаграмме поворачиваются и при больших значениях z собираются в тесный “клубок”, т.е. дают все меньший вклад в суммарное колебание напряженности электрического поля в точке B.

Так вот, при рисовании векторной диаграммы необходимо решить, в какую сторону поворачивать векторы, отвечающие опережающим по фазе колебаниям. Иначе говоря, выбрать положительное направление отсчета угла, и тем самым - направление вращения вектора.

В механике и электричестве за положительное направления отсчета угла принимается направление против часовой стрелки. Но в оптике традиционно за положительное направление выбирается противоположное направление, по часовой стрелке. Это изменяет вид векторной диаграммы и будет существенно при решении некоторых задач.

В этой связи полезно запомнить такое простое правило для рисования векторных диаграмм: если путь распространения света больше, то соответствующий вектор на диаграмме оказывается повернутым на некоторый угол против часовой стрелки.

Произведем некоторые оценки для конкретного взаимного расположения зеркала, источника света A и точки наблюдения B. Будем считать, что ₁ = ₂  45⁰, а координаты точек z_A = 20 см, и z_B = -15 см. Нас будет интересовать, при каком смещении точки C фаза электромагнитных колебаний в точке B изменится на /2.

При такой геометрии длина пути распространения света

и

.

Изменение фазы колебаний на /2 (и, соответственно, поворот вектора на фазовой диаграмме на такой угол) отвечает разности путей распространения света /4. Приняв длину волны  = 0,5 мкм, мы получаем:

;

.

колебания э

Таким образом, согласно нашей оценке заметный вклад в электромагнитные колебания в точке B дают лишь лектронов, расположенных на расстояниях меньше  0,2 мм в окрестности точки C.

Законы отражения и преломления света.

Волновая теория широко использует принцип Гюйгенса: каждая точка среды, до которой дошел волновой фронт, становится источником вторичных колебаний так, что положение волнового фронта в любой последующий промежуток времени находится как огибающая этих вторичных возбуждений. Отметим, что волновым фронтом называется поверхность, соединяющая точки,колебания в которых имеют одинаковые фазы.

Рис. К выводу закона прелом- ления света.

На рис. это изображается линией S. Руководствуясь этим принципом, выведем законы преломления и от-ражения света.Пусть на границу раздела двух сред па-дает плоский волновой фронт АВ.В момент, когда его левый край достигнет точки А (см. рис.38), в среде 2 вокруг этой точки начнет образовываться сферичес-кая волна. Правый край фронта подойдет к границе раздела через время t =BD/c, где с – скорость распро-странения света в среде1. За это время сферическая волна из точки А успеет распространиться на рассто-яние АС=vt (v –скорость распространения света в среде 2).Из рис.видно,что BAD =  и АDC = 

как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Поэтому можно записать:

.

Сравнивая эти два выражения, можно заметить, что

.

Как уже упоминалось,скорость электромагнитных волн в среде v =c/ = c/n .Поэтому отношение синусов можно приравнять к показателю преломления второй среды относи-тельно первой:

.

Если свет распространяется в обратном направлении, т.е из среды 2 в среду 1, то закон преломления остается в силе, но теперь n₁₂ – это показатель преломления среды 1 относи-тельно среды 2. Можно заметить, что в этом случае угол преломления становится больше угла падения, но существует предельное значение угла преломления, т.к. синус не может быть больше единицы. Угол падения, который соответствует этому углу преломления назы-вается предельным. При дальнейшем увеличении угла падения свет не проходит в среду 1, испытывая полное внутреннее отражение.

Рис.. К выводу закона отраже- ния света.

Вывод закона отражения света производится анало- гичным способом, с той разницей, что теперь вторич-ная волна распространяется в той же среде (рис.). Треугольники  ACD и ABD равны, т.к. сторона AD - общая, а АВ = СD =ct, где как и прежде t – вре-мя распространения волнового фронта от точки С до точки D. Из равенства треугольников следует, что CAD = ABD, как углы с взаимно перпендикулярны-ми сторонами, но CAD =  и ABD =  и , т.е. угол падения равен углу отражения.

Явление интерференции.

Интерференцией называется сложение волн от двух или нескольких источников, когда в результате сложения нарущается принцип суперпозиции интенсивностей. Как сле-дует из прошлых лекций, плотности энергии электрического и магнитного полей пропор-циональны квадратамвеличин Е и В, поэтому можно считать, что плотность энергии в элек-тромагнитной волне также пропорциональна квадрату амплитуды волны. Принято считать, что плотность энергии определяет интенсивность световой волны, которую человеческий глаз оценивает как освещенность. При сложении волн должен выполняться принцип супер-позиции энергий каждой из слагаемых волн. Наша повседневная практика дает примеры справедливости этого положения: две лампы дают в два раза больше света, чем одна. Можно показать, однако, что этот принцип выполняется не всегда.

Рис. Сложение коге- рентных колебаний.

Пусть имеется две плоских волны y1 = A1sin(t –kx1) и y2 = =A2sin(t –kx2), где х1 и х2 -расстояния, которые прошли волны до момента встречи. Для того, чтобы найти сумму колебаний от двух волн в точке встречи, представленных в векторном виде (рис.). Как видно из рис., по теореме косинусов можно запи-сать , т.е. результат сложения зависит от разности х2 – х1. При условии k(x2 –x1) =2n ( n = 0,1,2 и т.д.) ,

а при k(x₂ –x₁) =(2n-1) 

.

Очевидно, что при условии А₁=А₂ или в зависимости от разности хода x₂ –x₁. Если учесть, что энергия каждой волны равна А², суммарная энергия должна равняться 2А², тогда как результат сложения либо в два раза больше, чем суммарная энергия, либо равен нулю, т.е. кажется, что не выполняется закон сохранения энергии. Колебания, для которых подобные результаты имеют место, называются когерентными. Если принцип суперпозиции выполняется, то источники называют некогерентными. Для того, чтобы волны давали когерентные колебания, необходимо выполнение трех условий:

1.должны иметь одинаковую частоту,

2. разность фаз колебаний должна быть постоянной хотя бы на время волны наблюдений,

3. колебания каждой из суммируемых волн должны лежать в одной плоскости.

Практическое получение когерентных колебаний связано с определенными трудностями. Необходимо иметь в виду, что световые волны получаются при излучении атомов, когда электорны переходят с одного энергетического уровня на другой. Время излучения крайне незначительно и составляет около 10 ^–8 сек. Новый кат излучения происходит с другой на-чальной фазой, которая раз от раза изменяется случайным образом. На языке корпускуляр-

Рис. Схема получения когерентных волн.

ных представлений такая порция излучения называется кван-том, а в волновой теории ее называют цугом. Для получения когерентных волн необходимо, чтобы они происходили из одного цуга. Это можно сделать лишь путем его деления (см. рис.). Для этих целей используются специальные приспособ-ления: билинзы Бийе, бипризмы и бизеркала Френеля и др. (рис.). Во всех случаях явление интерференции возможно,

если максимальная разность хода не превышает длину цуга L = c, где  = 10 ^–8 сек – время излучения цуга,т.е. L=3м.

Рис. Интерференционные схемы: а)бипризма Френеля, б)билинза Френеля.

«Раздвоение» источника достигается либо преломлением в призме, либо отражением в двух зеркалах. Угол «разворота» зеркал и преломляющий угол призмы близки к 180⁰ для того, чтобы достичь наилучшей видимости картины интерференции.

Как было показано, амплитуда суммарных колебаний определяется разностью хода интер-ферирующих волн или разностью фаз складывающихся колебаний. Если разность фаз  изменяется случайным образом, то среднее значение cos за время наблюдения равно ну-лю, и мы видим обыкновенное сложение интенсивностей. Если же источники когерентны, то при условии k(x₂ –x₁) = 2n колебания дадут максимум суммарной амплитуды, а при k(x₂ –x₁) = (2n-1) - минимум. Учитывая, что k = 2/ , (  - длина волны ) условия макси-мума и минимума интенсивностей можно записать так:

(x₂ –x₁) = 2n/2 для максимума и

(x₂ –x₁) = (2n-1)/2 для минимума.

Это значит, что если разность хода интерферирующих волн равна четному числу полуволн, то получается максимум, а если нечетному – минимум интенсивности. Нарушение закона сохранения энергии при этом не происходит. Она лишь перераспределяется – в max – боль-ше, а в min меньше, но средняя энергия остается неизменной. Глаз воспринимает такое перераспределение как чередование темных и светлых полос, контрастность которых определяется соотношением интенсивностей интерферирующих источников.

Полосы равной толщины.

Наиболее часто в повседневной жизни явление интерференции проявляется в так называемых полосах равной толщины, которые получаются при отражении света от тонких

Рис. Интерференция в тон- ких пленках.

пленок. Пусть имеется тонкая пленка переменной тол-щины (рис.), на которую падают параллельные лучи света. Выберем два луча, один из которых отражается от верхней поверхности пленки, а другой – от нижней. Раз-ность хода между лучами определяется удвоенной длиной AD и участком ВС. Однако следует иметь в виду, что пленка является более плотной оптической средой, и ско-рость света в ней меньше. Вследствие этого время, затра-чиваемое светом на прохождение пути AD будет больше в n раз, где n – показатель преломления пленки. Поэтому принято говорить об оптической длине пути света, кото-рая равна ADn. Теперь разность оптических путей лучей

1 и 2  = 2n(AD) – BC +/2. Величина /2 добавляется потому, что происходит изменение фазы волны на 180 ⁰, что эквивалентно увеличению пути на /2.Из рис можно увидить, что AD = DF/cos;AF = DFtg;AC = 2AF= =2DFtg;BC =ACsin = 2DFtg sin. Согласно закону преломления света sin = nsin. C учетом этого = 2nDF/cos - 2DFsintg + +/2 = 2nDF(1- -sin²)/cos +/2 = 2DFcos +/2.

Если = (2n-1)/2, то 2DFncos =n cоответствует условию минимума освещенности, а = =n= 2DFncos +/2 – условию максимума.Условия интерференции будут одинаковыми для всех мест, где толщина пленки также одинакова, в связи с чем говорят, что интерференци-онная картина локализована на поверхности пленки. При наблюдении в белом свете карти-на усложняется, т.к. для каждого из цветовых компонент белого света условия max и min будут свои. На поверхности пленки будут видны цветные пятна (вспомните пленки бензи-на и масла на поверхности луж). Частным случаем полос равной толщины являются

Рис. Схема для наблю- дения колец Ньютона.

кольца Ньютона. Роль пленки переменной толщины здесь иг-рает воздушная прослойка между собирающей линзой и стек-лянной пластинкой (см.рис.). Т.к. оптическая структура об-ладает осевой симметрией, наблюдающиеся интерференци-онные полосы принимают вид концентрических колец. Для толщины прослойки h разность хода между лучами, отражен-ными от нижней поверхности линзы и от пластинки соот-ветственно равна  =2h +/2 - (/2) добавляется из-за условий отражения. В то же время из рис.44 на основании свойств перпендикуляра. опущенного из вершины прямого угла на ги-потенузу, следует:

,

где m – номер наблюдаеиого кольца. Пренебрегая малой величиной h² по сравнению с ра-диусом линзы R,находим . Для темных колец  = (2m+1)/2 = 2h + /2 и 2h =m. Подставляя это соотношение в формулу для квадрата радиуса кольца, получим:

.

Дифракция света.