Доплер-эффект широко используется в технике для измерения скоростей движущихся объектов («доплеровская локация» в акустике, оптике и радио).

RLC-контур. Свободные колебания.

В электрических цепях, так же как и в механических системах, таких как груз на пружине или маятник, могут возникать свободные колебания. Простейшей электрической системой, способной совершать свободные колебания, является последовательный RLC-контур (рис.).

Последовательный RLC-контур.

Когда ключ K находится в положении 1, конденсатор заряжается до напряжения . После переключения ключа в положение 2 начинается процесс разрядки конденсатора через резистор R и катушку индуктивности L. При определенных условиях этот процесс может иметь колебательный характер.

Закон Ома для замкнутой RLC-цепи, не содержащей внешнего источника тока, записывается в виде

где – напряжение на конденсаторе, q – заряд конденсатора, – ток в цепи. В правой части этого соотношения стоит ЭДС самоиндукции катушки. Уравнение, описывающее свободные колебания в RLC-контуре, может быть приведено к следующему виду, если в качестве переменной величины выбрать заряд конденсатора q(t):

Рассмотрим сначала случай, когда в контуре нет потерь электромагнитной энергии (R = 0). Тогда

(*)

Здесь принято обозначение: Уравнение (*) описывает свободные колебания в LC-контуре в отсутствие затухания. Оно в точности совпадает по виду с уравнением свободных колебаний груза на пружине в отсутствие сил трения (ч. I, § 2.2). Рис. 2.2.2 иллюстрирует аналогию процессов свободных электрических и механических колебаний. На рисунке приведены графики изменения заряда q(t) конденсатора и смещения x(t) груза от положения равновесия, а также графики тока J(t) и скорости груза υ(t) за один период колебаний.

Аналогия процессов свободных электрических и механических колебаний.

Сравнение свободных колебаний груза на пружине и процессов в электрическом колебательном контуре позволяет сделать заключение об аналогии между электрическими и механическими величинами. Эти аналогии представлены в таблице 1.

Электрические величины Механические величины Заряд конденсатора q(t) Координата x(t) Ток в цепи Скорость Индуктивность L Масса m Величина, обратная электроемкости Жесткость k Напряжение на конденсаторе Упругая сила kx Энергия электрического поля конденсатора Потенциальная энергия пружины Магнитная энергия катушки Кинетическая энергия Магнитный поток LI Импульс mυ

Таблица 1.

В отсутствие затухания свободные колебания в электрическом контуре являются гармоническими, то есть происходят по закону

q(t) = q0cos(ωt + φ0).

Параметры L и C колебательного контура определяют только собственную частоту свободных колебаний

Амплитуда q₀ и начальная фаза φ₀ определяются начальными условиями, то есть тем способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия. В частности, для процесса колебаний, который начнется в контуре (рис. 2.2.1) после переброса ключа K в положение 2, q₀ = Cε, φ₀ = 0.

При свободных колебаниях происходит периодическое превращение электрической энергии W_э, запасенной в конденсаторе, в магнитную энергию W_м катушки и наоборот. Если в колебательном контуре нет потерь энергии, то полная электромагнитная энергия системы остается неизменной:

Все реальные контура содержат электрическое сопротивление R. Процесс свободных колебаний в таком контуре уже не подчиняется гармоническому закону. За каждый период колебаний часть электромагнитной энергии, запасенной в контуре, превращается в джоулево тепло, и колебания становятся затухающими (рис. ).

. Затухающие колебания в контуре.

Затухающие колебания в электрическом контуре аналогичны затухающим колебаниям груза на пружине при наличии вязкого трения, когда сила трения изменяется прямо пропорционально скорости тела: F_тр = – βυ. Коэффициент β в этой формуле аналогичен сопротивлению R в электрическом контуре. Уравнение свободных колебаний в контуре при наличии затухания имеет вид

(**)

Физическая величина δ = R / 2L называется коэффициентом затухания. Решением этого дифференциального уравнения является функция

которая содержит множитель exp (–δt), описывающий затухание колебаний. Скорость затухания зависит от электрического сопротивления R контура. Интервал времени в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e ≈ 2,7 раза, называется временем затухания.

В § 2.4 части 1 было введено понятие добротности Q колебательной системы:

где N – число полных колебаний, совершаемых системой за время затухания τ. Добротности Q любой колебательной системы, способной совершать свободные колебания, может быть дано энергетическое определение:

Для RLC-контура добротность Q выражается формулой

Добротность электрических контуров, применяемых в радиотехнике, обычно порядка нескольких десятков и даже сотен.

Следует отметить, что собственная частота ω свободных колебаний в контуре с не очень высокой добротностью несколько меньше собственной частоты ω₀ идеального контура с теми же значениями L и C. Но при Q ≥ (5 – 10) этим различием можно пренебречь.

Электромагнитные волны.

.

Максвелл на основании изучения экспериментальных работ Фарадея по электричеству и магнетизму в 1864г. Высказал гипотезу о существовании в природе особых волн, способных распространятся в вакууме. Эти волны Максвелл назвал электромагнитными волнами.

Для выдвижения гипотезы о возможности возникновения электромагнитных волн Максвелл имел следующие основания. Открытие индукционного тока Фарадеем. Максвелл объяснил появление индукционного тока возникновением вихревого электрического поля при любом изменении магнитного поля. Далее он предложил, что электрическое поле обладает такими же свойствами: при любом изменении электрического поля в окружающем пространстве возникает вихревое электрическое поле.

Однажды начавшийся процесс взаимного порождения магнитного и электрического полей должен далее непрерывно продолжатся и захватывать всё новые и новые области в окружающем пространстве.

Процесс распространения переменных магнитного и электрического полей и есть электромагнитная волна.

Электромагнитные волны могут существовать и распространятся в вакууме.

Условие возникновения электромагнитных волн.

Для образования интенсивных электромагнитных волн необходимо создать электромагнитные колебания достаточно высокой частоты.

Изменения электромагнитного поля происходят при изменении силы тока в проводнике, а сила тока в проводнике изменяется при изменении скорости движения электрических зарядов в нём, т.е. при движении зарядов с ускорением.

Следовательно, электромагнитные волны должны возникать при ускоренном движении электромагнитных зарядов.

Теория Максвелла.

Рис.34. Направление

индукционного тока.

Рассмотрим проводящий виток, помещенный в изменяющееся магнитное поле. По закону Фарадея в витке возникает ЭДС индукции. Направление индукционного тока таково, что он своим действием препятст-вует изменению магнитного поля. Если внешнее магнитное поле возрастает, его изменение В направлено по полю (см. рис.34), и напрвление индукционного тока должно быть таким, чтобы маг-нитный момент витка I_инд S был нап равлен против поля В. Как уже указывалось (§ 6-4) величина ЭДС индукции определяется выражением

E = - ; Ф = .

Если виток не изменяет своей формы, то знак производной можно внести под знак инте-грала. Тогда получим:

E = - ,

где наклонные означают частную производную (предполагается, что значения В могут зависить от времени и координат).

Согласно своему определению ЭДС характеризует работу, совершаемую стороннми силами по всему замкнутому контуру (витку), т.е. E = , где Е представляет собой напряженность сторонних сил, создающих индукционный ток. Виток замкнут и однороден, поэтому силовые линии электрического поля тоже должны быть замкнутыми, т.е. индуци-рованное в проводнике электрическое поле является вихревым. Максвелл предположил, что наличие проводника не является обязательным: силовые линии электрического поля останутся замкнутыми и в свободном пространстве. На основании этого он сделал вывод, что всякое изменяющееся во времени магнитное поле порждает вокруг себя вихревое электрическое поле. Это положение называют первой гипотезой Максвелла, Закон Фара-дея теперь записывается так:

. ( I )

Кроме этого существует второе положеие теории Максвелла, которое вытекает из рассмотрения теоремы о циркуляции магнитного поля. Как было показано, циркуляция магнитного поля имеет следующий вид:

.

Рис.35. К выводу теоремы о полном токе.

Это значит, что любое магнитное поле порождается то-ками. При рассмотрении переменного тока в цепи, содер-жащей конденсатор, можно было заметить, что линии тока прерываются на его пластинах - в пространстве между пластинами ток отсутствует (см. рис.35). Тогда оказывается, что выбирая контур интегрирования L внут-ри этой области, можно нарушить теорему о циркуляции. Максвелл предоложил, что теорема о циркуляции векто-

ра магнитной индукции остается справедливой и для контура L за счет того, что в простран-стве между пластинами также имеется некий «волшебный» ток I_волш , причем полный ток в цепи складывается из тока проводимости I _пров и этого «волшебного» тока,т.е. .

В проводниках I _пров = I_полн , а в пространстве между пластинами I_полн = I_волш . Нетрудно видеть, что при этих условиях теорема о циркуляции справедлива везде.

Обратимся к рассмотрению «волшебного тока» внутри пластин конденсатора. Мы знаем, что ток I _пров =dQ/dt. На конденсаторе Q = S ( - плотность поверхностных зарядов, а S – площадь пластин конденсатора). Напряженность электрического поля внутри конден-сатора равна E = /₀ или D₀ =  , где D₀ = ₀ E – вектор электрического смещения. С учетом этого запишем

В то же время очевидно, что I _пров = I_волш, поэтому последний ток Максвелл назвал током смещения. Теперь теорема о циркуляции принимает новый вид, где под знаком суммы стоит полный ток I_полн:

.

Для проводников произвольного сечения и для проиэвольной формы пластин конденсатора токи выражаются через соответствующее суммирование плотности токов:

I_пров = ; I _смещ = ,

так что теорема о полном токе приобретает следующий вид:

. (II)

Если проводники отсутствуют, ток проводимости равен нулю, и уравнение (II) имеет вид:

. (III)

Таким образом, второе положение теории Максвелла может быть сформулировано так:

Всякое изменяющееся во времени электрическое поле порождает вокруг себя магнитное вихревре поле.

Уравнения (I) и (II) называются уравнениями Максвелла. Вместе с уравнениями

и .

Рис.36. К вычислению цир- куляций для векторов Е и В.

они составляют так называемую систему уравнений Мак- свелла, полностью описывающую свойства электрическо- го и магнитного полей. § 9 –5 Электромагнитные волны. Из уравнений Максвелла вытекает вывод о существова-нии электромагнитных волн. Для того, чтобы показать это, рассмотрим уравнения (I) и (III) в применении к кон-кретным полям. Пусть имеется некоторая система коор-динат Х,Y,Z, как показано на рис.36, и в начале координат какими-то внешними причинами созданы электрическое и магнитное поля, характеризующиеся векторами Е иВ соот-ветственно. Направления этих векторов указаны на рис.

Выберем малые прямоугольники со сторонами dx, dy и dz (см. рис.) Вычислим циркуляции

векторов Е и В по периметру прямоугольников. Для вычисления используем тот же прием, с помощью которого была определена величина вектора магнитной индукции на оси длин-ного соленоида. Направление обхода контуров выберем по часовой стрелке, и учтем, что величины Е и В могут зависеть от х. На расстоянии dx от начала координат они принимают значения Е + dЕ и В + dВ соответственно. При этих условиях

или

.

Аналогично для вектора В

.

Значения (E+dE)dy и Bdz взяты со знаком минус потому, что ветора на соответствующих отрезках направлены против выбранного обхода контуров. Подставляя вычисленные значе-ния циркуляции в уравнения (I) и (III), получим:

и , откуда

; , где производная по х имеет смысл частной произ-

водной, поэтому правильнее заменить знак на знак частной производной :

; .

Диффернецируя первое уравнение по х, а второе – по t, и сравнивая полученные результаты, имеем:

.

Из курса механики известно, что это уравнение относится к так называемым волновым уравнениям, решению которых соответствует бегущая волна. Скорость распространения волны определяется коэффициентом, стоящим перед второй производной по времени:

.

Аналогичное уравнение может быть получено и для вектора магнитной индукции В.Из ура- внений (I) и (III) следует, что электрический и магнитный вектора связаны между собой, по-

Рис.37. Структура электромагнитной волны.

этому волны названы электромагнитными. Подставляя численные значения 0 и 0 ,полу-чим,что v = c = 3108 м/c, т.е. скорость распро-странения электромагнитной волны равна ско-рости света. Если волна распространяется в сре-де, характеризующейся постоянными  и , то скорость электромагнитной волны - показатель преломления среды относительно вакуума. Электромагнитные волны обладают следу-ющими свойствами:

волны поперечны, т.к. вектора Е иВ направлены по осям Y и Z, тогда как волна распро-страняется вдоль оси Х.

волны поляризованы, т.к. изменяющееся магнитное поле перпендикулярно индуцирован-ному им электрическому.

Это электрическое поле создает переменное магнитное, плоскость колебаний которого сов-падает с плоскостью первичного магнитного поля (см. рис.37) так, что магнитное поле сох-раняет свою ориентацию в пространстве. Если в любой плоскости, перпендикулярной нап-равлению распространения, значения Е и В не зависят от координат, то волна называется плоской, и ее можно записать так:

В этом выражении - волновое число,  = сТ, =2/T. Формула плоской электромаг-нитной волны будет часто использоваться при рассмотрении оптических явлений. Свето-выми являются волны, длина которых лежит в интервале от 0,4 до 0,7 мкм. Волна, в которой колебания имеют одну частоту, называется монохроматической (одноцветной). Белый свет содержит не менее семи основных цветов. Для упрошения математических выкладок часто ограничиваются рассмотрением монохроматических волн.

Генрих Рудольф Герц (1857 – 1894), немецкий физик. Экспериментально доказал (1886 – 1889) существование электромагнитных волн (используя вибратор Герца). Придал уравнениям Максвелла симметричную форму. Экспериментально подтвердил тождественность основных свойств электромагнитных и световых волн. Открыл внешний фотоэффект (1887).

+

I

-

Электромагнитные волны были впервые экспериментально получены Герцем в 1887г. В его опытах ускоренное движение электрических зарядов возбуждались в двух металлических стержнях с шарами на концах (вибратор Герца). Колебания электрических зарядов в вибраторе создают электромагнитную волну. Только колебания в вибраторе совершает не одна заряженная частица, а огромное число электронов, движущихся согласовано. В электромагнитной волне векторы Е и В перпендикулярны друг другу. Вектор Е лежит в плоскости, проходящей через вибратор, а вектор В перпендикулярен этой плоскости. Излучение волн происходит с максимальной интенсивностью в направлении, перпендикулярном оси вибратора. Вдоль оси излучения не происходят.

В обычном колебательном контуре (его можно назвать закрытым), почти всё магнитное поле сосредоточено внутри катушки, а электрическое внутри конденсатора. Вдали от контура электромагнитного поля практически нет. Такой контур очень слабо излучает электромагнитные волны.

Для получения электромагнитных волн Герц использовал простое устройство, называемое сейчас вибратором Герца. Это устройство представляет собой открытый колебательный контур.

К открытому колебательному контуру можно перейти от закрытого, если постепенно раздвигать пластины конденсатора, уменьшая их площадь и одновременно уменьшая число витков в катушке. В конце концов, получится прямой провод. Это и есть открытый колебательный контур. Емкость и индуктивность вибратора Герца малы. Поэтому частота колебаний весьма велика.

В опытах Герца длинна волны составляла несколько десятков сантиметров. Вычислив собственную частоту электромагнитных колебаний вибратора, Герц смог определить скорость электромагнитной волны по формуле  Она оказалась приближенно равна скорости света: с300000 км/с. Опыт Герца блестяще подтвердили предсказания Максвелла.

В России одним из первых занялся изучением электромагнитных волн преподаватель офицерских курсов в Кронштадте Александр Степанович Попов.

П опов Александр Степанович (1859-1905), русский физик и электротехник, изобретатель электрической связи без проводов (радиосвязи). В1895 году продемонстрировал изобретённый им первый в мире радиоприёмник. Весной 1897 года достиг дальности радиосвязи 600м, летом 1897 – 5 километров, в 1901 – около 150 километров. Создал (1895) прибор для регистрации грозовых разрядов(«грозоотметчик»). Получил золотую медаль на Всемирной выставке 1900 года в Париже.

Возможность практического применения электромагнитных волн для установления связи без проводов была впервые продемонстрирована 7 мая 1895 года. Этот день считается днём рождения радио.

Приёмник Попова состоял из

1 – антенны, 2 – когерера, 3 – электромагнитного реле, 4 – электрического звонка, 5 – источника постоянного тока. Электромагнитные волны вызывали вынужденные колебания тока и напряжения в антенне. Переменное напряжение с антенны подавалось на два электрода, которые были расположены в стеклянной трубке, заполненной металлическими опилками. Эта трубка и есть когерер. Последовательно с когерером включались реле и источник постоянного тока.

Из-за плохих контактов между опилками сопротивление когерера обычно велико, поэтому электрический ток в цепи мал и реле звонка не замыкает. Под действием переменного напряжения высокой частоты в когерере возникают электрические разряды между отдельными опилками, частицы опилок спекаются и его сопротивление уменьшается в 100 – 200 раз. Сила тока в катушке электромагнитного реле возрастает, и реле включает электрический звонок. Так регистрируется приём электромагнитной волны антенной.

Удар молоточка звонка встряхивает опилки и возвращает его в исходное состояние, приёмник снова готов к регистрации электромагнитной волны антенной.

Современные радиоприёмники совсем непохожи на своего прародителя, но принцип действия остался тот же, что и в приёмники Попова. Современный приёмник так - же имеет антенну, в которой приходящая волна вызывает очень слабые магнитные колебания. Как и в приёмнике Попова, энергия этих колебаний не используется непосредственно для приёма. Слабые сигналы лишь управляют источниками энергии, питающими последующие цепи. Сейчас такое управление осуществляется с помощью полупроводниковых приборов.

В1899 году была обнаружена возможность приёма сигналов с помощью телефона. В начале 1900 года радиосвязь была успешно использована во время спасательных работ в Финском заливе. При участии Попова началось внедрение радиосвязи на флоте и в армии России.

За границей усовершенствованием подобных приборов занималась фирма, организованная итальянским учёным Маркони. Опыты, поставленные в широком масштабе, позволили осуществить радиотелеграфную передачу через атлантический океан.

Важнейшим этапом развития радиосвязи было создание в 1913 году генератора незатухающих электромагнитных колебаний.

Кроме передачи телеграфных сигналов, состоящих из коротких и более продолжительных импульсов электромагнитных волн, стала возможной надёжная и высококачественная радиотелефонная связь – передача речи и музыки с помощью электромагнитных волн.

При радиотелефонной связи колебания давления воздуха в звуковой волне превращаются с помощью микрофона в электрические колебания той же формы. Казалось бы, если эти колебания усилить и подать в антенну, то можно будет передавать на расстояния речь и музыку с помощью электромагнитных волн. Однако в действительности такой способ передачи неосуществим. Дело в том что, колебания звуковой частоты представляют собой сравнительно медленные колебания, а электромагнитные волны низкой

( звуковой) частоты почти совсем не излучаются.

Для передачи этих волн на большие расстояния их необходимо преобразовать в колебания высокой частоты, но так чтобы не испортить информацию которую они несут. Процесс преобразования электромагнитных колебаний низкой частоты в колебания высокой частоты называется модуляцией. Для преобразования звуковых волн используется амплитудная модуляция.

В процессе модуляции происходит наложение амплитуды низкочастотных сигналов на высокочастотный сигнал.

Модуляция – медленный процесс. Это такие изменения в высокочастотной колебательной системе, при которых она успевает совершить очень много высокочастотных колебаний, прежде чем их амплитуда измениться заметным образом.

Без модуляции нет ни телеграфной, ни телефонной, ни телевизионной передачи.

Для осуществления амплитудной модуляции электромагнитных колебаний высокой частоты в электрическую цепь транзисторного генератора последовательно с колебательным контуром включают катушку трансформатора. На вторую катушку трансформатора подаётся переменное напряжение звуковой частоты, например, с выхода микрофона после необходимого усиления. Переменный ток во второй катушке трансформатора вызывает появление напряжения на концах первой катушке трансформатора.

Переменное напряжение звуковой частоты складывается с постоянным напряжением источника тока; изменения напряжения между эмиттером и коллектором транзистора приводят к изменениям со звуковой частотой амплитуды колебаний силы тока высокой частоты в контуре генератора. Такие колебания высокой частоты называются амплитудно-модулированными.

С колебательным контуром генератора индуктивно связана антенна радиопередатчика. Вынужденные колебания тока высокой частоты, происходящие в антенне, создают электромагнитные волны.

Электромагнитные волны, излучённые антенной радиопередатчика, вызывают вынужденные колебания свободных электронов в любом проводнике. Напряжение между концами проводника, в котором электромагнитная волна возбуждает вынужденные колебания электрического тока, пропорционально длине проводника. Поэтому для приёма электромагнитных волн в простейшем детекторном радиоприёмнике применяется длинный провод – приёмная антенна (1). Для того чтобы слушать только одну радиопередачу, колебания напряжения не направляют непосредственно на вход усилителя, а сначала подают на колебательный контур (2) с изменяющейся собственной частотой колебаний. Изменение собственной частоты колебаний в контуре приёмника производится обычно изменением электроёмкости переменного конденсатора. При совпадении частоты вынужденных колебаний в антенне с собственной частотой контура наступает резонанс, при этом амплитуда вынужденных колебаний напряжения на обкладках конденсатора контура достигает максимального значения. Таким образом, из большого числа электромагнитных колебаний, возбуждаемых в антенне, выделяются колебания нужной частоты

С колебательного контура приёмника модулированные колебания высокой частоты поступают на детектор (3). В качестве детектора можно использовать полупроводниковый диод, пропускающий переменный ток высокой частоты только в одном направлени. В течении каждого полупериода высокой частоты импульсы тока заряжают конденсатор (4), вместе с тем конденсатор медленно разряжается через резистор (5). Если значения электроёмкости конденсатора и электрического сопротивления резистора выбраны правильно, то через резистор будет протекать ток, изменяющийся во времени со звуковой частотой, использованной при модуляции колебаний в радиопередатчике. Для преобразования электрических колебаний в звуковые переменное напряжение звуковой частоты подаётся на телефон (6).

Детекторный радиоприёмник весьма несовершенен. Он обладает очень низкой чувствительностью и поэтому может успешно принимать радиопередачи только от мощных радиостанций или от близкорасположенных радиопередатчиков.

Для повышения чувствительности в современных радиоприёмниках сигнал с колебательного контура поступает на вход усилителя высокой частоты (УВЧ), а с выхода усилителя высокочастотные электрические колебания поступают на детектор. Для увеличения мощности звукового сигнала на выходе радиоприёмника электрические колебания звуковой частоты с выхода детектор поступают на вход усилителя низкой частоты.

Переменное напряжение звуковой частоты с выхода УНЧ подаётся на динамик.

Для усиления электрических колебаний высокой и низкой частот могут быть использованы схемы с электронными лампами или транзисторами.

О П Т И К А

Представления о свете.