15. Алгебраїчні операції та їх властивості.

Кожна математична теорія вивчає множини, на яких введені певні відношення. Алгебра вивчає множини, на яких визначені відношення, що мають назву алгебраїчних операцій. З прикладами алгебраїчних операцій ми зустрічалися ще в шкільному курсі математики, а також вивчаючи інші розділи вищої математики. Прикладами алгебраїчних операцій є додавання і множення чисел, многочленів, алгебраїчних дробів, додавання векторів площини, додавання матриць, об’єднання і переріз множин, додавання і множення функцій (наприклад, синусів і косинусів), композиція відображень тощо. Ці операції виконуються над парами елементів однієї і тієї ж множини: над парами чисел, многочленів, векторів, функцій. Тому їх називають бінарними алгебраїчними операціями або просто бінарними операціями.

1. Означення. Операція на множині називається комутативною, якщо .

Приклад 1. Операція у множині з прикладу 1 є комутативною, оскільки її таблиця Келі симетрична відносно діагоналі.

2. Означення. Операція на множині називається асоціативною, якщо

: .

Властивість асоціативності дозволяє опускати дужки у виразі .

Приклад 2.

Додавання і множення чисел асоціативні. Це дозволяє не ставити дужки у виразах і .

3. Означення. Операція на множині називається дистрибутивною зліва відносно операції , якщо

і дистрибутивною справа відносно операції , якщо

.

Приклад 3.

1. Множення чисел дистрибутивне відносно додавання і зліва і справа:

і

2. Додавання недистрибутивне і зліва і справа відносно множення:

та .

3. Операції перерізу і об’єднання множин є взаємно дистрибутивними одна відносно одної.

16. Поняття алгебраїчної структури.

На непорожній множині може бути задано, взагалі кажучи, багато різних алгебраїчних операцій. Бажаючи виділити одну з них, використовують дужки: , і говорять, що операція визначає на алгебраїчну структуру. Якщо операція асоціативна чи комутативна, то такі ж назви привласнюються і відповідній алгебраїчній структурі. Природа елементів основної множини нас не цікавить, справжніми об’єктами вивчення є алгебраїчні операції. Ясно, що виділити можна не одну операцію, а декілька.

Означення. Непорожня множина разом із заданою на ній сукупністю алгебраїчних операцій називається алгебраїчною структурою: .

Приклад. У множині цілих чисел, крім природних операцій +, • (додавання і множення), легко вказати "похідні" операції що виходять при допомозі + (або –) і : , і т.д. Ми приходимо до різних алгебраїчних структур , .

У зв’язку з вивченням алгебраїчних структур застосовуються дві системи термінів або дві форми запису: адитивну і мультиплікативну.

	Адитивна термінологія	Мультиплікативна термінологія
Операція	+ – додавання	– множення
Результат операції	сума	добуток
Нейтральний елемент	нуль 0	одиниця 1або е
Симетричний елемент	протилежний –а	обернений або
Обернена операція	віднімання	ділення
Результат оберненої операції	різниця	частка
Степінь елемента	кратне	степінь

Крім операцій, на множині можуть бути визначені різні відношення.

Означення. Непорожня множина разом із заданою на ній сукупністю алгебраїчних операцій і сукупністю відношень називається алгебраїчною системою: . Якщо алгебраїчна система не містить операцій, вона називається моделлю, якщо не містить відношень – алгеброю.

Приклади.

1. є алгебраїчною системою.

2. не є алгебраїчною системою, оскільки результат операції – не завжди є натуральним числом.

3. є алгебраїчною системою. Ця алгебраїчна система носить назву «арифметика».