Локальная монотонность и сходимость метода.

Доказательство сходимости алгоритма декомпозиционного метода агрегирования базируется на доказательстве роста функционала от дезагрегированных решений на каждом шаге итеративного процесса. Данный факт выводится на основании исследования дифференциальных свойств функции . Рассмотрим невырожденный случай. Справедлива следующая теорема.

Теорема 10.5. Пусть при некоторых коэффициентах { } получено оптимальное решение задачи в агрегированных переменных (10.4.13)  и двойственная задача имеет единственное решение{ }. Пусть дезагрегированное решение , где  не является оптимальным решением для исходной задачи (10.4.6)-(10.4.10). Тогда существует допустимое решение для задачи (10.4.6)-(10.4.10) со строго большим значением функционала, чем .

Доказательство этой теоремы приводится в (52).

Исследуем теперь вопрос о сходимости итеративного метода. Пусть некоторому фиксированному шагу с номером n рассматриваемого процесса соответствуют весовые коэффициенты агрегирования . Пусть  - оптимальное решение для задачи в агрегированных переменных (10.4.13)-(10.4.16) для весовых коэффициентов , а , где -соответствующее дезагрегированное решение. Наконец, величины - единственное решение двойственной задачи (10.4.21)-(10.4.24) в простом случае. Положим для шага n (итерации) алгоритма

Пусть по определению . Справедливо следующее утверждение о сходимости метода.

Теорема 10.6. Пусть для весовых коэффициентов , удовлетворяющих условиям (10.4.12), оптимальные значения  задач в агрегированных переменных (10.4.13)-(10.4.16) ограничены сверху, оптимальные значения  ограничены снизу положительной константой, а множества оптимальных решений двойственных макрозадач (10.4.21)-(10.4.24) ограничены в совокупности. Тогда последовательность дезагрегированных решений  является максимизирующей и из нее можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к оптимальному решению исходной задачи (10.4.6)-(10.4.10).

Доказательство теоремы следует из того, что монотонно возрастающая в силу теоремы 10.5 и ограниченная по предположению последовательность имеет предел.

Описание алгоритма агрегирования

Используя вышеизложенные теоретические положения,опишем алгоритм декомпозиции на основе агрегирования для задачи (10.4.6)-(10.4.10).

Предварительный этап.

Зададимся начальными весовыми коэффициентами агрегирования .

Запишем задачу в агрегированных переменных (10.4.13)-(10.4.16) и найдем ее решение (0), , а также соответствующее дезагрегированное решение { (0)} и двойственные оценки величин , .

Для заданного набора оценок { } сформируем блочные задачи вида (10.4.25)-(10.4.27), находим их решения , а также величину критерия .

Если , то конец, найденное дезагрегированное решение { } - оптимально, иначе - переход к первой итерации.

k-ая итерация. Пусть уже проведена (k-1)-я итерация и .

Записываем новые коэффициенты агрегирования в соответствии с (10.4.31).

Будем искать максимум функции  в единичном гиперкубе (то есть при ). Если принять ,  то задача сводится к одномерному поиску максимума , которую решаем методом Фибоначчи (см.гл.6).

Находим оптимальные значения  и соответствующие им новые значения весовых коэффициентов { (k)}, агрегированных {x_i(k)}, и дезагрегированных переменных{ }.

Строим матрицу вида , находим ее минимальный элемент (j^*,k^*) и определяем оптимальные двойственные оценки в соответствии с (10.4.48).

Решаем блочные задачи (10.4.25)-(10.4.27), находим их оптимальные решения { }, а также (k).

Проверяем условие оптимальности . Если оно выполняется, то конец, текуще дезагрегированное решение - оптимально, иначе переходим к (k+1)-й итерации.

Пример 10.4.

                           Максимизировать                   

 при условиях

Выберем такие начальные значения коэффициентов =0,5; =0,5; =0,8; =0,2. Оптимальное решение макрозадачи для этих коэффициентов =1,476; =0,476; =0,476. Компоненты матрицы левой части (10.4.42) следующие : 1,476; 1,555; 1,558; 1,909.

Дезагрегированное решение: x₁₁(0)=0,238; x₂₁(0)=0,238; x₁₂(0)=0,321; x₂₂(0)=0,095.

Блочные задачи имеют решения (0)=0 ; (0)=0,5 ; (0)=0 ; (0)=0,333. Находим величину (0)= (0)- (0)=0,126.

 Первая итерация. В результате ее выполнения получаем

.

Весовые коэффициенты равны: .

Компоненты матрицы  вида (10.4.42) следующие: 1,588 ; 1,625 ; 1,526 ; 1,588.

Дезагрегированное решение:

Оптимальные решения блочных задач:

Вторая итерация. В результате ее выполнения получаем точное оптимальное решение. Имеем .

Весовые коэффициенты равны : .

Дезагрегированное решение: , оно совпадает с оптимальным решением данной задачи. Матрица  вида (10.4.42) имеет вид: [1,583 ; 1,583 ; 1,583 ; 1,583], то есть минимум достигается сразу на всех четырех элементах. Тем не менее оптимальные двойственные оценки вычисляются по невырожденной двойственной макрозадаче. Наконец: , .

В общем случае при решении задач произвольной размерности блочные задачи решаются симплекс-методом, а для нахождения седловой точки целесообразно использовать методы, изложенные в гл.6, например, обобщенный градиентный метод.