45

Методы оптимизации в задачах большой размерности

Вопросы лекции

1. Декомпозиция систем

2. Метод декомпозиции Данцига-Вульфа

3. Декомпозиция на основе разделения переменных

4. Декомпозиция Корнаи-Липтака

5. Метод декомпозиции на основе агрегирования в задачах большой размерности

6. Метод декомпозиции на основе агрегирования в задачах нелинейного программирования

Декомпозиция систем

Принцип декомпозиции (или, как его еще называют, принцип децентрализации) состоит в разбиении системы на подсистемы, обладающие требуемыми свойствами. Этот метод применяется для обосновании иерархического построения сложных систем, в частности, для обоснования различных схем взаимодействия между уровнями между уровня в экономических системах при решении задач планирования и оперативного управления.

В применении к задачам оптимизации декомпозиция состоит в разбиении основной задачи на подзадачи значительно меньшей размерности, которые могут быть решены имеющимися средствами.

Эти подзадачи образуют первый уровень иерархической системы, созданной для вычислительных целей.

На первом уровне решаются подзадачи при произвольных связях. Определение этих связей составляет задачу второго уровня.

Отсутствие у центрального управляющего органа детальной информации о производственных возможностях отдельных подсистем вызывает необходимость в иерархической структуре, при которой вышестоящий орган собирает в некоторой агрегированной форме информацию о подведомственных ему подсистемах и затем спускает ему в той или иной форме указания о требуемых или ожидаемых от них действиях. Ознакомившись с этими указаниями, подсистемы могут направить наверх «встречные планы», в которых они лучшим образом учли свои интересы.

На основе этой информации центральный орган корректирует свои указания, и процесс повторяется вплоть до окончательного согласования.

Отличительной особенностью многих практических задач исследования является их большая размерность. В частности, при решении задач оптимального планирования на макроуровне, матрица ограничений достигает размерности 10⁴-10⁵. При такой размерности классические методы математического программирования (линейного, нелинейного, дискретного) оказываются малоэффективными. Т.е. мы сталкиваемся здесь с феноменом 'проклятие размерности' в понимании Р.Беллмана.

Это обусловило необходимость разработки специальных методов как точных, так и приближенных, предназначенных для задач большой размерности. Большинство из этих методов использует идею декомпозиции, которая заключается в расчленении исходной задачи большой размерности, нахождении независимых решений для каждой из них и последующей увязке этих частных решений в общее решение исходной задачи. Впервые идея декомпозиции применительно к задачам ЛП была сформулирована Г.Данцигом и Вульфом, а позднее была развита в работах Д.Б.Юдина, Б.Г.Гольштейна [12], М.Месаровича, Л.Лэсдона [31], В.Цуркова [52] и др.

Метод декомпозиции Данцига-Вульфа

В 1960 г. Данциг и Вульф разработали метод декомпозиции для решения задач высокой размерности со специальной структурой матрицы ограничений[31].

Этот метод оказался наиболее эффективным для решения задач, матрица ограничений которых имеет блочно-диагональный видс небольшим числом переменных. Однако, как показали дальнейшие исследования, метод применим также и для задач ЛП с матрицей общего вида. Соответствующий метод предложен Д.Б.Юдиным и Э.Г.Гольштейном и называется 'блочным программированием' [12].

Отличительной особенностью метода декомпозиции является использование координирующей задачи, которая имеет, по сравнению с исходной, небольшое число строк и большое число столбцов.

Существенным является то, что для решения координирующей задачи не требуется задания всех столбцов в явном виде. Они генерируются в процессе использования симплекс-метода. Такой подход называют методом генерации столбцов. Сущность его состоит в следующем. Пусть имеется задача ЛП  вида:

максимизировать:

(1)

при ограничениях:

(2)

А_jиb- m- мерные векторы-столбцы (m<n).

Допустим, что известно некоторое допустимое базисное решение (ДБР) X_Bи соответствующая ему матрица из базисных векторовA. Допустим также, что X_Bбыл найден методом обратной матрицы. Тогда одновременно был найден и вектор относительных оценокгде-вектор коэффициентов целевой функции для текущего базиса.

Чтобы определить возможность улучшения ДБР X_B для каждого небазисного вектораA_jвычисляется величина оценки:

(3)

Если , то начальное решение может быть улучшено путем введения в базис переменной X_S. Однако, если имеется большое число небазисных столбцов (n10³), то нахождение_Sпутем вычисления_jдля всех небазисных векторови последующего их сравнения практически невозможно. И что очень важно, оказывается, что это и не требуется.

 Будем предполагать, что все столбцы A_Sвыбираются из некоторого выпуклого множестваS, определяемого системой неравенств и равенств. Тогда вектор-столбец, который необходимо ввести в базис, можно определить в результате решения вспомогательной задачи вида:

Минимизировать:

(4)

где - некоторая заданная функция вектораA_j. В зависимости от структуры множестваSи вида функцииC(A_j) выбирается наиболее эффективный метод решения указанной задачи.

Такой способ называют методом генерации столбцов, так как при решении задачи (4.) фактически используется лишь небольшое число столбцов, генерируемых по мере надобности.

При этом значительно снижается требуемый объем памяти для хранения текущих результатов, что является существенным преимуществом при решении задач большой размерности.