Принцип декомпозиции

Рассмотрим задачу ЛП, матрица ограничений которой имеет блочно-диагональную структуру вида

. (5)

Строка называется связывающей, так как она связывает вместе все переменные задачи в некотором ограничении или их группе. Соответствующая задача Л.П. записывается в виде:

Максимизировать:

(6)

 при условиях:

(7)

(8)

Заметим, что к виду (5) можно привести матрицу любой задачи ЛП при p=1 в результате соответствующего разбиения ограничений на два подмножества. Действительно, произвольную задачу можно записать в виде:

Максимизировать:

(9)

при условиях:

(m₁ ограничений),                      (10)

(m₂ограничений),                   (11)

(12)

Предположим, что выпуклое многогранное множество S₂, определяемое условием (11), является ограниченным, т.е. представляет собой многогранник (это условие не является ограничительным). Тогда справедлива лемма о крайней точке.

Пусть- непустое замкнутое ограниченное множество,- его крайние точки. Тогда любая точкаможет быть представлена в виде выпуклой комбинации крайних точек множества R, т.е.

(1.3)

Обобщение этой леммы на случай, если множество является неограниченным, формулируется так: пусть - непусто. Любая точка принадлежит множеству R тогда и только тогда, когда она может быть представлена как выпуклая комбинация крайних точек и линейной комбинации с неотрицательными коэффициентами направляющих векторов неограниченных ребер множества, т.е.

(14)

где:

 В соответствии с  леммой любой элементS₂ может быть представлен в виде

где   , x_j - крайние точки многогранникаS₂.

Исходная задача (9)-(12) может быть сформулирована таким образом. Из всех решений (11)-(12) необходимо выбрать такое, которое удовлетворяет (10) и обращает функцию (9) в максимум. Подставляя (14) в (9), получим новое выражение для целевой функции:

(15)

а подставив (14) в (10), получим:

.                                   (16)

Обозначим

(17)

С учетом (15)-(17) приходим к следующей задаче:

Максимизировать (18)

при ограничениях:

(19)

(20)

Эта задача, которая эквивалентна исходной (9)-(12), называется координирующейзадачей. Она имеет только строк ограничений по сравнению с () строками исходной задачи, и очень большое число столбцов, равное числу крайних точек множестваS₂. Чтобы не хранить все эти столбцы в памяти ЭВМ, будем получать их по мере необходимости, пользуясь методом генерации столбцов. С этой целью для каждого небазисного вектора вычислим величину_:

(22)

Представим вектор в видегде векторсоответствует ограничениям (19) а- единственному ограничению (20).

Используя формулы (16), (17) для определения и, получим

(23)

В соответствии с обычными правилами симплекс-метода для определения переменной , вводимой в базис, необходимо минимизировать:

.                            (24)

Так как оптимальное решение задачи ЛП (при условии, что допустимое множество - ограничено) достигается в крайней точке этого множества, то выполнение операции (24) эквивалентно решению подзадачи вида:

Минимизировать:

(25)

при ограничениях:

.                    (26)

Найдя ее решение проверяем условие и, если оно выполняется, то векторвыгодно ввести в базис. Далее определяем компоненты векторакоторый следует ввести в базис координирующей задачи

(27)

а также соответствующий коэффициент в целевой функции

(28)

Этот подход оказывается особенно эффективным, если т.е. исходная задача записывается в виде

Максимизировать

(29)

при ограничениях

(30)

(31)

(32)

Для такой задачи подзадача (25)-(26) будет иметь вид:

Минимизировать

(33)

при ограничениях

(34)

(35)

В силу аддитивности целевой функции (33) и независимости ограничений (34) задача (33) распадается на независимые задачи вида

(36)

при ограничениях

(37)

Обозначим решение задачи (36) через , а

Если то векторможет быть введен в базис координирующей задачи.

Если же то текущее решение оптимально.