Задача в агрегированных переменных

Ядром декомпозиционного метода является многократное решение задачи в агрегированных переменных (10.4.13)-(10.4.16). На каждом шаге итеративного процесса при максимизации функции  на единичном кубе  макрозадача решается для некоторых значений параметров .

В связи с этим важным является выяснение свойств решения задачи в агрегированных переменных (10.4.13).

Выразим величины X_і через  согласно (10.4.15)

.                      (10.4.41)

Подставляя (10.4.41) в (10.4.14), получаем

.

Из последних неравенств получаем выражение для оптимального значения переменной

. (10.4.42)

Оптимальные величины x_i  определяются через из (10.4.41).

Рассмотрим двойственную задачу (10.4.21)-(10.4.24). В силу  на основе теоремы 2.7 из главы 2 соотношения (10.4.22) выполняются на оптимальном решении как равенства, то есть

.                      (10.4.43)

Подставляя (10.4.43) в (10.4.23), приходим к следующей задаче:

                   минимизировать  .   (10.4.44)

при ограничениях

.                  (10.4.45)

Пусть минимум в (10.4.42) достигается на единственной паре индексов (j^*,k^*). Тогда имеем

.           (10.4.46)

В данном случае задача (10.4.44)-(10.4.45) имеет единственное решение

(10.4.47)

если .

Величины согласно (10.4.43), (10.4.47) равняются

;                   (10.4.48)

и определяются однозначно. Такой случай называют простым. В более сложном случае минимум в (10.4.42) достигается на некотором множестве пар индексов (j,k), которое обозначим через R. Тогда (10.4.42) можно записать в виде

 

Для величин  имеем задачу:

                            минимизировать      (10.4.49)

при ограничениях

.                      (10.4.50)

Задача (10.4.49), (10.4.50) имеет не единственное решение, и возникает дополнительный вопрос об определении величин, которые формируют функционалы блочных задач. Этот случай будем называть вырожденным. В обоих случаях нахождение оптимального решения в агрегированных переменных сводится к определению минимального элемента некоторой матрицы большой размерности. Таким образом, все трудности, связанные с большой размерностью, сводятся к задаче перебора.

Далее исследуем вырожденный случай в задаче (10.4.49), (10.4.50). Множество ее решений принадлежит многограннику с вершинами

где .      (10.4.51)

Перенумеруем последовательно все элементы множества R. Полученное множество номеров обозначим через .

Подставляя (10.4.51) в (10.4.48), получим следующее выражение:

.                 (10.4.52)

Здесь подразумевается, что существует взаимно однозначное соответствие между элементами множеств R и . Таким образом, все решения двойственной макрозадачи можно представить в виде

(10.4.53)

где величины  удовлетворяют условиям

.

Обозначим через  при каждом множество допустимых решений блочных задач, то есть x_ij, удовлетворяющих ограничениям (10.4.26), (10.4.27) при фиксированных .

Рассмотрим максиминную задачу

.   (10.4.54)

Если , - ограниченные множества, то задача (10.4.54) имеет седловую точку, которую обозначим . При этом для каждого j величины , являются оптимальными решениями блочных задач с функционалами, содержащими

.

Обозначим через значение величины h для седловой точки { }. Тогда критерий оптимальности дезагрегированного решения в случае вырожденности формулируется так (52).

Теорема 10.4. Достаточным условием оптимальности дезагрегированного решения  для исходной задачи (10.4.6)-(10.4.10) в случае вырожденности является выполнение равенства .

Как видим, критерий оптимальности в случае вырожденности совпадает с критерием для невырожденности.