2 Нахождение условного экстремума функции

2.1 Лабораторная работа «Нахождение условного экстремума

функции двух переменных»

Цель работы. Выработать у студентов практические навыки использования функций среды Maple для решения задач на нахождение условных экстремумов функций.

Задание. Максимизировать объем выпускаемой продукции при фиксированных издержках производства, если производственная функция имеет вид:

,

где и – объемы затрачиваемых (используемых) факторов производства, – параметр, – номер варианта. Издержки производства равны ден. ед. Рыночные цены на факторы производства составляют и ден. ед. соответственно.

N					N
1	3	120	4000	0.75	9	7	100	7000	0.83
2	5	12	4000	0.76	10	6	140	5000	0.84
3	4	100	3000	0.77	11	4	140	5000	0.85
4	5	120	2000	0.78	12	5	130	5000	0.87
5	7	100	2000	0.79	13	7	150	5000	0.88
6	6	120	3000	0.80	14	6	140	7000	0.89
7	4	140	7000	0.81	15	4	140	7000	0.65
8	5	130	7000	0.82	16	3	120	3000	0.66

Пример выполнения работы

Задача. Максимизировать объем выпускаемой продукции при фиксированных издержках производства, если производственная функция имеет вид:

.

, , , , .

Решение. Математическая постановка задачи примет следующий вид:

, (1)

. (2)

Задача сводится к отысканию экстремума функции (1), для которой задано уравнение связи (2). Для решения воспользуемся функцией

extrema, которая определяет экстремум функции нескольких переменных при заданных условиях. В основе алгоритма лежит метод множителей Лагранжа¹.

Введем переменные и присвоим им соответствующие значения:

> restart: N:=20; alpha:=0.69;f:=N/(N+1)*x^alpha*y^(1-alpha);.

> p1:=3; p2:=120; C:=5000;

На экране появится результат

Далее введем ограничение (2), обозначив его идентификатором constr.

> constr:=p1*x+p2*y=C;

На экране появится результат

Определим экстремум функции f при условии constr. Вызов функции extrema осуществим следующим образом:

> extrema(f,constr,{x,y},'s');

На экране появится результат

Чтобы узнать координаты точки (точек) экстремума, достаточно вызвать значение параметра s:

> s;

.

Студентам предлагается самим обосновать тот факт, что полученное значение является максимумом функции на рассматриваемой прямой.

3 РЕШЕНИЕ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ В СЕТЕВОЙ

ПОСТАНОВКЕ

3.1 Некоторые функции пакета расширения networks

Пакет расширения с именем networks содержит функции и процедуры для работы с графами и сетевыми моделями¹. Приведем назначение некоторых функций в следующей таблице

void	создание графа с изолированными вершинами (без ребер);
connect	соединение вершин графа дугами или ребрами;
addedge	добавление ребра (ребер) в граф;
shortpathtree	создание дерева кратчайших путей (начальная вершина дерева совпадает с началом пути) и присвоение длин кратчайших путей как весов вершинам дерева;
draw	изображение графа на экране;
path	определение пути в ориентированном дереве;
vweight	построение таблицы, содержащей информацию о весах вершин графа;
flow	определение максимального потока в сети от источника к стоку.