Классы булевых функций.

1.Булева функция называется сохраняющей константу ноль, если на нулевом наборе аргументов она принимает значение равное нулю, то естьf(0,0,0,...,0) = 0;

В противном случае функция относится к классу не cохраняющих константу ноль.

К функциям ,сохраняющим константу ноль относятся

f(x₁,x₂)= x₁ v x₂

f(x₁,x₂)= x_{1 *} x₂

К функциям неcохраняющим константу ноль относятся

f(x)=иf(x₁,x₂)=x₁x₂

2.Булева функция называется сохраняющей константу единица , если на единичном наборе аргументов она принимает значение равное единице, то естьf(1,1,1,...,1)= 1;

В противном случае функция относится к классу не cохраняющих константу единица.

К функциям ,сохраняющим константу единица относятся

f(x₁,x₂)= x₁ v x₂

f(x₁,x₂)= x_{1 *} x₂

К функциям неcохраняющим константу единица относятся

f(x)=иf(x₁,x₂)=x₁x₂

3. Булева функция называется линейнойесли она представима полиномом Жегалкина первой степени.

В булевой алгебре доказывается теорема о возможности представления любой булевой функции от nпеременных с помощью полинома Жегалкинаn-ой степени.

В общем случае полином имеет вид :

fⁿ (x) = K₀ K₁x₁ ...K_n x_n ...

...K_n+1x₁x₂ K_n+2x₁x₃ ...K_n+lx_n-1x_n ...

...

...K_n+mx₁x₂...x_n

K₀,K₁,K_n+m -являются коэффициентами и представляют собой логические константы нуля или единицы.

В алгебре Жегалкина одноименной полином можно считать канонической нормальной формой для булевой алгебры.

Полином Жегалкина является линейным (1-ой степени) если все коэффициенты общего полинома ,начиная с K_n+1=K_n+2=...=K_n+m=0

В отношении функции от 2-х переменных полином Жегалкина имеет вид (линейный): f²(x)=K₀K₁x₁K₂x₂

Примерами линейных функций являются:

y=x₁x₂(K₀=0,K₁=K₂=1)

_____

y= x₁x₂=x₁x₂=1x₁x₂ (K₀=K₁=K₂)

y= =1x₁ (K₀=K₁=1 ,K₂=0)

Примеры нелинейных функций:

y= x₁x₂

____

y= x₁lx₂ =x₁x₂=1x₁x₂

4.Булева функция называетсямонотоннойесли при возрастании наборов аргументов она принимает неубывающие значения.

A=(a₁,a₂,...,a_n)>B=(b₁,b₂,...,b_n)

f(A)f(B)

Между наборами аргументов А и В имеет место отношение возрастания в том и только том случае , если имеет место отношение не убывания для всех компонент этого набора:

___

a_ib_i(i=1,n)

и по крайней мере для одной компоненты имеет место отношение возрастания.

Примеры наборов ,для которых имеет место отношение возрастания: (1011)>(0011)

(1011)>(0001)

(0001)>(0000)

Пример несопоставимых наборов (1011) и (0111)

В отношении функции от 2-х переменных несопоставимыми являются наборы (01) и (10)

Пример немонотонных функций: y=

y=x₁x₂

5.Две булевы функции fⁿ(x) иgⁿ(x) называютсядвойственнымиесли для любых наборов аргументов выполняется равенство

____

fⁿ(x) =gⁿ(x) то есть функцииfиgна противоположных наборах аргументов х ипринимает противоположные значения .

Два набора аргументов называются противоположными если любая из их компонент принимает противоположные значения.

x=(0101) =(1010)

Булева функция называется самодвойственной если она является двойственной по отношению к самой себе то есть принимает противоположные значения на противоположных наборах аргументов.

Примером самодвойственной функции является : у=

Примеры не самодвойственных функций: у=х₁х₂

у=х₁vх₂

у=х₁х₂

Принадлежность базовых булевых функций и логических констант к замечательным классам представлена таблицей.

К₀+ сохраняет константу ноль ,- не сохраняет константу ноль

К₁+ сохраняет константу единица ,- не сохраняет константу

К_л+ линейная ,- нелинейная

К_м+ монотонная , - не монотонная

К_с+ самодвойственная,- не самодвойственная

Ф-ия	К0	К1	Кл	Км	Кс
0	+	-	+	+	-
1	-	+	+	+	-
	-
х1х2	+	+	-	+	-
х1vх2	+	+		+	-
х1х2	+	-	+	-	-
х1х2	-		+		-
х1х2	+			-
х1х2	-
х1|х2	-		-
х1х2	-