3.2. Синтез преобразователей и фильтров пав методом прямой свертки с весовой функцией

Метод прямой свертки с весовой функцией основан на разло­жении заданной передаточной функции в ряд Фурье, обеспечиваю­щей наилучшее среднеквадратическое приближение [55]. С целью уменьшения максимальной ошибки аппроксимации используется свертка реализуемой функции с выбранной весовой функцией. Метод прямой свертки широко применяется при синтезе антенн, цифровых фильтров и фильтров ПАВ благодаря своей простоте. В отличие от других (например, методов проб и ошибок, итераций и др.) метод прямой свертки обеспечивает хорошее приближение к заданной функции H₃(ω) при числе δ-источников, близком к наи­меньшему. Рассмотрим применение метода для синтеза фильтров с линейной ФЧХ.

При линейной ФЧХ действительная R₃(ω) и мнимая I₃(ω) час­ти заданной передаточной функции ВШП будут иметь соответст­венно четную и нечетную симметрию относительно ω₀. Разложе­ние в ряд Фурье R₃(ω) и I₃(ω) четной и нечетной функций имеет вид:

; .

При ограничении ряда числом членов, равным количеству элек­тродов ВШП (числу отсчетов в импульсной характеристике), по­лучаем

, (3.10)

где коэффициенты частичной суммы

,

, .

Поскольку при произвольной передаточной функции H₃(iω) ее действительная и мнимая части могут иметь очень сложный вид, то для упрощения операции интегрирования в (3.10) составляю­щие R₃(ω) и I₃(ω) целесообразно аппроксимировать отрезками ломаных линий. Еще более упрощаются вычисления, если заданы отсчеты передаточной функции на интервале 0≤ω≤2πF . В этом случае

, ,

.

Число членов ряда (3.10) определяется величиной интервала Ω_k=ω_s/A между отсчетами H₃(iω), выбранными исходя из требуе­мой точности аппроксимации.

Реализуемая конечная импульсная характеристика h(nT₀) пре­образователя получается путем умножения бесконечной импульс­ной характеристики на прямоугольную весовую функцию (рис. 3.1), где означает обратное преобразование Фурье. Так как умножение во временной области эквивалентно свертке в частотной области, результирующая передаточная функ­ция является сверткой заданной функции H₃(iω) с колебательной функцией и будет иметь пульсации у границ полосы пропускания, как показано на рис. 3.1. Эти колебания вблизи точек разрыва функции известны как явления Гиббса.

Рис. 3.1. Механизм подавления явления Гиббса:

а—заданная функция; б—дискретная ограниченная функция; в—весовая функция; г— конечный результат

С целью уменьшения максимальной ошибки аппроксимации заданной функции полином квадратического приближения типа (3.10) заменяется полиномом равномерного приближения [56]. Это достигается путем умножения каждого коэффициента ряда Фурье на множители сходимости или весовые функции. Поэтому явление Гиббса при расчете фильтров ПАВ следует ослаблять так­же путем умножения импульсной характеристики не на прямо­угольную, а на медленно изменяющуюся и ограниченную во вре­мени весовую функцию w(t) [43, 52], как показано на рис. 3.1. В этом случае передаточная функция ВШП принимает вид [52]

, (3.11)

а коэффициенты импульсной характеристики находятся из соотно­шений

, n=0,1,2,…,0,5(A-1)-1

, (3.12)

, n=0,5(A-1)…(A-1).

Если заданная функция H₃(iω) действительная и симметричная относительно центральной частоты ω₀, то β_n=0, а_п=α_п, и тогда

. (3.13)

Использование весовых функций вызывает расширение пере­ходной полосы Δω_s от области пропускания к области загражде­ния, причем Δω_s=Δω_в, где Δω_в—ширина главного лепестка спект­ра весовой функции по первым нулям, a F{ } означает прямое преобразование Фурье. Поскольку все коэффици­енты ряда Фурье умножаются на одну и ту же весовую функцию, то результирующая передаточная функция будет иметь одинаковые пульсации в полосе пропускания ε_п и в полосе заграждения ε₃, амплитуда же пульсаций определяется уровнем боковых лепестков a_б спектра W(ω) весовой функции. Исходя из сказанного, можно сформулировать следующие требо­вания к весовой функции:

функция w(t) должна быть плавно изменяющейся и ограни­ченной во временной области длительностью T, т. е. w(t)=0 при | t | > T/2;

в большинстве практических случаев весовая функция должна быть четной, т. е. ;

спектр W(ω) функции должен иметь минимальную ширину Δω_в главного лепестка и низкий уровень боковых лепестков a_б;

функция должна обеспечивать максимальное перекрытие элек­тродов ВШП во избежание искажений из-за дифракции пучка ПАВ.

Было исследовано большое количество весовых функций [43, 56, 57], которые по характеру воздействия на коэффициенты ряда Фурье можно разделить на четыре типа. Исходной является пря­моугольная весовая функция w₁(t)=1,0 при | t | ≤ T/2=T₁ , которая имеет спектр W₁(ω)=F{w₁(t)~sin х/х и дает уровень боковых лепестков результирующей передаточной функции всего лишь a_б =-21,2 дБ.

К первому типу относятся функции, практически полностью исключающие явление Гиббса за счет сильного взвешивания результирующего спектра. Виды этих функций и их модификаций приве­дены на рис. 3.2, а в табл. 3.1 представлены основные параметры результирующей АЧХ преобразователя, полученные с использованием указанных функций. В табл. 3.1 (как и в последующих табл.3.2—3.4) результирующая импульсная характеристика симметрич­ного аподизованного ВШП определялась как при и изменении времени в пределах половины общей длительности, т. е. 0≤|t|≤T₁=T/2. Протяженность импульсной характеристики

Рис. 3.2. Весовые функции пер- Рис. 3.3. Весовые функции вто-

вого типа, обеспечивающие пол- рого типа (с узким спектром)

ное подавление явления Гиббса

ВШП ограничивалась числом лепестков CS=4 в каждую сторону от центра симметрии, а число нерасщепленных электродов в каждом лепестке В_р=25 при их общем числе в пре­образователе A=2N+1=2В_рCS+1. Для облегчения выбора весо­вых функций в табл. 3.1—3.4 приведены относительные величины перекрытий h_{cs макс} электродов в каждом из лепестков преобразо­вателя.

Ко второму типу принадлежат функции, имеющие минималь­ную ширину Δω_в главного лепестка спектра W(ω) при заданных уровне боковых лепестков a_б и длительности Т импульсного откли­ка. Оптимальной с этой точки зрения является функция Мааса [57], которая применительно к фильтрам ПАВ определяется в час­тотной области выражением

Однако ее импульсная характеристика w_M(t)=F^-1{W_M(f)}, служащая собственно весовой функцией, физически не реализуема, так как на краях интервала Т имеет выбросы бесконечной величины. Функцию Мааса можно аппроксимировать, используя различные полиномы. Одной из наиболее точных аппроксимаций является функция Дольфа—Чебышева [52, 57],

Таблица 3.1. Весовые функции, исключающие явление Гиббса

Функция	№ функ­ции	fi/f0			Кп 40/3, дБ	-аб,дБ	а, дБ	hCSмакс
		3 дБ	40 дБ	60 дБ				CS=2	CS=3	CS=4
								10	100	1000
1,0	1	0,038	0,044	0,044	1,02	21,8	1,44	2,17	12,8	91,2
, r=1, T1=T/2	2	0,036	0,105		2,78	—	—	1,39	4,96	13,0
, r=4	3	0,036	0,046	0,046	1,26	23,5	0,69	2,13	10,9	4,12
, r=6	4	0,037	0,046	0,046	1,24	22,5	0,87	2,16	12,6	53,7
, r=8	5	0,038	0,046	0,046	1,23	21,9	0,96	2,17	12,5	62,8
, r=2	6	0,035	0,141	—	4,00	—	—	2,12	19,9	22,2
, r=0,439	7	0,037	0,050	0,051	1,35	30,2	0,31	1,78	3,71	37,7
, r=0,2	8	0,038	0,046	0,046	1,23	28,8	0,75	1,98	10,5	60,5
, r=0,439	9	0,038	0,150	—	3,95	—	0,28	1,32	6,20	26,7
, r=2	10	0,035	0,054	0,054	1,54	39,1	0,13	1,65	5,07	7,38
, r=4	11	0,038	0,050	0,050	1,32	25,0	0,57	2,02	7,11	63,4
, 2=0,5T	12	0,037	0,048	0,048	1,30	23,4	0,65	2,17	9,92	26,1
, 2=0,8T	13	0,038	0,046	0,046	1,23	21,2	0,97	2,17	12,8	65,4
	14	0,034	0,123	—	3,62	—	—	1,02	1,69	1,85
, n=1, 2,…, A	15	0,042	—	—	—	—	—	4,4 10-4	1,5310-4	0,2 10-4

Таблица 3.2. Весовые функции с узким спектром

Функция	№ функ­ции	fi/f0			Кп 40/3, дБ	-аб,дБ	а, дБ	hCSмакс
		3 дБ	40 дБ	60 дБ				CS=2	CS=3	CS=4
								10	100	1000
, r=1	16	0,036	0,062	0,063	1,77	43,0	0,10	1,5	5,34	27,8
, r=2	17	0,036	0,052	0,054	1,44	52,0	0,04	1,7	5,86	1,67
, r=3	18	0,036	0,057	0,060	1,62	72,0	510-3	1,5	3,73	6,03
, r=4	19	0,035	0,060	0,066	1,71	94,0	1210-4	1,3	2,40	2,23
, r=6	20	0,034	0,066	0,073	1,97	126	210-6	1,07	1,02	0,32
, L=9, r=2	21	0,036	0,054	0,058	1,50	54,0	2x10-2	1,6	5,52	17,1
, L=20, r=3	22	0,035	0,057	0,061	1,61	73,0	3x10-3	1,5	3,96	5,24
, F=0,37	23	0,036	0,054	0,058	1,50	54,0	2x10-2	1,6	5,52	17,1
, F=0,4	24	0,036	0,054	0,056	1,50	57,0	0,01	1,6	5,23	14,1
, F=0,5	25	0,035	0,055	0,056	1,57	47,0	0,08	1,5	4,33	5,59
, , r=1	26	0,034	0,051	0,052	1,43	42,0	0,13	1,7	6,34	15,5

Окончание табл. 3.2

Функция	№ функ­ции	fi/f0			Кп 40/3, дБ	-аб,дБ	а, дБ	hCSмакс
		3 дБ	40 дБ	60 дБ				CS=2	CS=3	CS=4
								10	100	1000
, , r=2	27	0,035	0,056	0,058	1,62	55,0	0,02	1,4	3,28	3,28
, , r=3	28	0,034	0,061	0,066	1,81	70,7	610-3	1,2	1,74	0,75

Таблица 3.3. Весовые функции с наложением спектров

Функция	№ функ­ции	fi/f0				Кп 40/3, дБ	-аб,дБ	а, дБ	hCSмакс
		3 дБ	40 дБ	60 дБ					CS=2		CS=3	CS=4
									10		100	1000
, r=1	29	0,036	0,051	0,052		1,40	33,5	0,21	1,83		7,36	20,8
, r=2	30	0,036	0,055	0,054		1,54	44,0	0,08	1,56		4,33	5,59
, r=3	31	0,035	0,058	0,060		1,67	53,1	0,02	1,34		2,61	1,62
	32	0,036	0,054	0,056		1,52	44,0	0,08	1,56		4,28	5,35
	33	0,036	0,057	0,060		1,62	73,0	310-3	1,47		3,81	6,34
	34	0,036	0,056	0,059		1,60	63,0	710-3	1,48		3,88	6,01
	35	0,036	0,056	0,058		1,56	57,0	0,01	1,49		9,95	5,93
	36	0,035	0,054		0,055	1,54	52,0	0,04	1,62	5,08		11,7
	37	0,036	0,051		0,052	1,37	34,2	0,21	1,84	7,52		22,8
	38	0,038	0,054		0,059	1,46	53,0	0,03	1,65	5,58		17,8

Окончание табл. 3.3

Функция	№ функ­ции	fi/f0			Кп 40/3, дБ	-аб,дБ	а, дБ	hCSмакс
		3 дБ	40 дБ	60 дБ				CS=2	CS=3	CS=4
								10	100	1000
	39	0,036	0,055	0,056	1,53	51,3	0,04	1,61	4,93	11,2
	40	0,035	0,058	0,060	1,68	53,0	0,03	1,35	2,75	2,28
	41	0,033	0,059	0,064	1,82	76,0	310-3	1,30	2,61	2,41
	42	0,035	0,034	0,056	1,53	52,0	0,04	1,35	2,72	1,71
	43	0,034	0,049	0,051	1,46	72,0	410-3	1,45	3,42	5,53

Таблица 3.4. Весовые функции с двойной ортогональностью

Функция	№ функ­ции	fi/f0				Кп 40/3, дБ	-аб,дБ	а, дБ	hCsмакс
		3 дБ	40 дБ	60 дБ					CS=2	CS=3 100	CS=4 1000
									10	100	1000
, r=5	44	0,036	0,054	0,056		1,51	53,6	0,02	1,62	5,14	1,16
, r=6	45	0,036	0,055	0,058		1,57	62,0	0,01	1,52	4,21	7,33
, r=7	46	0,037	0,058	0,061		1,59	70,0	0,01	1,49	3,44	4,69
, r=4	47	0,034	0,061	0,067		1,77	75,8	310-3	1,31	2,94	4,86
, r=3	48	0,036	0,057	0,063		1,61	61,5	0,01	1,48	4,20	9,88
, r=10	49	0,032	0,073		0,083	2,28	142,6	110-5	0,67	0,03	0,08

Окончание табл. 3.4

, r=20	50	0,031	0,086	0,097	2,75	—	—	0,25	1,8x 10-3	1,6x 10-4
, r=4	51	0,036	0,482	0,049	1,31	24,0	0,66	2,12	9,08	1,75
, r=4	52	0,036	0,052	0,052	1,44	30,0	0,42	1,81	5,22	7,71
, r=4	53	0,034	0,062	0,068	1,83	78,6	2x10-3	1,30	2,85	4,32

которая применительно к ВШП из A электродов принимает вид

,

где k=0,1,2,..., А—1; r—является параметром функции, связан­ным с уровнем боковых лепестков спектра W_Ч () соотношением r=20 lg ₃, ; D_P(z)—полином Чебышева степени Р=А—1; D_P(z)= соs[P arccos (z)] при |z|1 и D_P(z)= сh[P arc ch (z)] при |z|>1. Весовые функции Дольфа—Чебы­шева позволяют ослабить боковые лепестки результирующей АЧХ преобразователя до a_б=-(6080) дБ в зависимости от значения параметра r. Однако реализация функций с по­мощью ВШП затруднена, так как они имеют на краю интервала Т резкий скачок. Скачок меньшей величины за счет постепенного убывания боковых лепестков спектра W() дает весовая функ­ция Тейлора, аппроксимирующая идеальную функцию Мааса с до­статочной точностью и имеющая вид (рис. 3.3)

,

где

,

где L_т — число членов аппроксимации Тейлора; параметр l_т свя­зан с уровнем ₃=10^-r боковых лепестков функции соотношением ; переменная х=cos(t/Т) и параметр . Для получения боковых ле­пестков спектра W_T() величиной a_б=20 lg₃—40 дБ необходи­мо использовать L_T12 членов ряда, но это значительно услож­нит использование функции w_T(t) и ее модификаций w₂₁(t), w₂₂(t).

С целью упрощения расчетов главный лепесток спектра функ­ции Мааса с хорошим приближением удалось аппроксимировать модифицированной функцией [57]

откуда , где r=2F₁ и _м—уровень пуль­сации функции Мааса. Уровень ₃ пульсации модифицированной функции W_{М МОД}() связан с уровнем _м соотношением —lg(_м)— 0,915 lg(₃)— 0,251.

По заданному уровню пульсации _м можно определить необхо­димую длительность импульсной характеристики T1/f_вArc ch (1/_м).

При различных значениях параметра r=2F₁ функции w₂₁(t)-w₂₃(t) обеспечивают расчетный уровень боковых лепестков ре­зультирующей АЧХ около а_б=—(4060) дБ и не имеют резких выбросов на краях.

В весовых функциях третьего типа для подавления пульсации из-за явления Гиббса используется противофазное сложение не­скольких спектров составляющих функций. Суммарный спектр та­кой весовой функции представляет собой усеченный ряд Котельникова. Путем подбора числа и весов членов ряда удалось синтези­ровать весовые функции w₂₉(t)-w₄₃(t), обеспечивающие а_б=—(5070) дБ (рис.3.4, табл. 3.3).

Например, используя три составляющие спектра, сдвинутые относительно друг друга на 2/Т, можно добиться сильного подав­ления пульсации от двух крайних составляющих, если их величи­на будет вдвое меньше средней составляющей, т. е. если

Рис. 3.4. Весовые функции треть- Рис. 3.5. Весовые функции с двой- его типа (с наложением спектров) ной ортогональностью