2.6. Характеристики преобразователей и фильтров пав с линейной и нелинейной фазой

Из табл. 2.2 и 2.4 видно, что из существующих типов преобразо­вателей с различными методами взвешивания наиболее разнооб­разные характеристики можно реализовать с помощью эквидис­тантных аподизованных ВШП, что и обусловило их широкое при­менение при проектировании фильтров ПАВ. Поэтому в дальней­шем мы будем рассматривать только этот тип преобразователей. В качестве же отправного момента при анализе основных свойств апо­дизованных ВШП будут использоваться уравнения (2.4) и (2.5), описывающие его дискретизированную импульсную характеристику, периодическую передаточную функцию и соответствующие характе­ристики идеального трансверсального фильтра.

Во многих случаях на практике (например, в радиолокации) возникает необходимость предотвратить существенные искажения формы несинусоидального сигнала, проходящего через фильтр. Как уже указывалось, для этого требуется, чтобы ФЧХ фильтра в по­лосе пропускания была линейной или, что то же самое, чтобы ГВЗ в пределах полосы пропускания =_в-_н было постоянным, т. е. ()=С=const [25].

Одним из преимуществ фильтров ПАВ является возможность получения разнообразных АЧХ, в том числе и несимметричных, при линейной ФЧХ. С точки зрения простоты расчетов и технологии изготовления наиболее удобным для реализации заданных харак­теристик фильтров ПАВ является эквидистантный ВШП, у которо­го центры электродов или зазоров отстоят друг от друга на оди­наковый интервал T₀=2/_s, представляющий собой в этом слу­чае интервал дискретизации для непрерывного сигнала h_a(t).

Уравнения для импульсной характеристики и передаточной функции эквидистантного ВШП при t_n=nT₀ являются парой ди­скретного преобразования Фурье и принимают вид

(2.44)

и

, (2.45)

где —интервал между частотными выборками; a_п— коэффициенты комплексной импульсной характеристики с учетом изменения полярности временных выборок.

Определим ВШП с линейной фазой как устройство, передаточ­ную функцию которого можно записать в форме [24, 40]:

, (2.46)

где D()—действительная величина. Так как D() может при­нимать и отрицательные значения, то АЧХ A() преобразователя связана с величиной D() соотношением .

Для получения линейной ФЧХ фильтра ПАВ необходимо, что­бы фазовые характеристики входящих в его состав ВШП были также линейны или изменялись по законам, дающим при сумми­ровании линейную комбинацию. Можно показать, что единствен­ными решениями для коэффициентов В_П и С в передаточной функ­ции ВШП, аналогичной по виду функции устройства с линейной фазой, являются С=(А—1)/2 и В_П=0 или В_П=/2. Если В_П=0, импульсная характеристика ВШП является четной относительно центра, т. е. , n=0,1,2,...,A-1, и если В_П=/2— нечетной, т. е. .

В табл. 2.5 приведены возможные варианты построения ВШП [40] в зависимости от четного или нечетного количества электро­дов A, определяющие действительный или мнимый характер его передаточной функции и четность или нечетность последней. При выводе уравнений передаточных функций предполагалось, что -источники располагаются в центрах электродов (сильный пьезоэлектрик).

Примером структуры с действительной четной передаточной функцией является неаподизованный ВШП с нечетным числом электродов A=2N+l. В этом случае , n=0,1,2,...,A-1, и

. (2.47)

Мнимой передаточной функцией обладает неаподизованный ВШП с четным числом электродов A=2N, для которого и

(2.48)

Для модели с -источниками в центре зазоров (слабые пьезоэлектрики) выражение (2.47) будет описывать передаточную функцию для ВШП с четным числом электродов A=2N, a (2.48)— для ВШП с нечетным числом электродов A=2N+1.

На рис 2.9 показаны последовательности отсчетов импульсной характеристики h(nT_o) для возможных вариантов построения ВШП с линейной фазой, а также сдвинутые последовательности коэффи­циентов _n, _n, _n, _n и соответствующие каждому варианту типич­ные частотные характеристики .

Как видно из табл. 2.5 и рис. 2.9, где условие линейно­сти фазы эквидистантного ВШП накладывает ограничения на ре­ализуемые частотные характеристики: они обладают либо четной, либо нечетной симметрией относительно ₀. Однако требуемые на практике характеристики фильтров не ограничиваются названны­ми типами. В радиолокации при обработке сигналов требуются фильтры с АЧХ, симметричные относительно ₀, но с нелинейной, например, квадратичной ФЧХ. В технике связи широко использу­ются фазокорректоры, обладающие различными ФЧХ при несимметричных АЧХ и т. п.

В общем случае произвольной импульсной характеристики ВШП последовательность ее коэффициентов можно представить как сумму двух последовательностей, одна из которых является четной относительно центра, а другая-нечетной, т. е. (-1)ⁿh(nT₀)=а_n=_n+_n и (-1)ⁿh[(A-1-n)T₀]a_A-1-n=_n-_n. В результате подстановки новых коэффициентов а_n в (2.40) и использования тригонометрических тождеств выражение для передаточной функ­ции преобразователя трансформируется к виду, Таблица 2.5. Передаточные функции и импульсные характеристики эквидистантных ВШП с линейной и нелинейной фазой

Вариант построения ВШП	Передаточная функция преобразователя		Коэффициенты импульсной характеристики
	Вид	Характер
Вариант 1		Четная и действительная	, n=1,2,3,...,N=(A-1)/2
Вариант 2 A=2N		Нечетная и действи­тельная	n=1,2,3,...,N, N=A/2
Вариант 3		Нечетная и мнимая	, , n=1,2,3,...,N, N=(A-1)/2
Вариант 4 A =2N		Четная и мнимая	, n=0,1,2,...,(A-1)
Вариант 5		Комплекс­ная	n=1,2,3,...,(A-1)
Вариант 6 A =2N		Комплекс­ная	n=1,2,3,...,(A-1)

указанному в табл. 2.5, откуда видно, что передаточная функция эквидистантно­го ВШП как с четным A=2N, так и нечетным А=2N+1 числом электродов состоит из действительной и мнимой частей. При этом действительная часть R() обладает четной симметрией относи­тельно ₀, мнимая I()-нечетной. ФЧХ без учета постоянной задержки определяется из выражения ()=arctg(I()/R()) и в общем случае является нелинейной, причем () удобнее рассмат­ривать как линейную функцию с наложенной девиацией (). Наклон ФЧХ зависит только от числа электродов ВШП, а девиа­ция определяется также и коэффициентами _n и _n. Таким обра­зом с помощью эквидистантных ВШП можно реализовать раз­личные АЧХ как при линейной, так и нелинейной фазе.

Рис. 2.9. Последовательность отсчетов импульсной характеристики ВШП с ли­нейной фазой