§ 4. Зведення загального рівняння другого порядку до канонічного вигляду.
1. Перетворення декартової системи координат на площині. Нехай на площині задано два базиси та , які визначають дві декартові системи координат та відповідно. Нехай змінна точка площини має координати та в системах координат та відповідно. Позначимо через радіус-вектор точки , так що
. (34)
Розкладемо кожний з векторів базису за векторами базису
(35)
і підставимо отримані розклади в рівність (34):
.
Звідси,
(36)
Рівності (35) називаються формулами переходу до іншого базису, а рівності (36) – формулами переходу до іншої системи координат.
2. Поворот системи координат. Розглянемо окремий випадок перетворення декартової системи координат, який полягає у повороті на деякий кут прямокутної декартової системи координат .
Нехай прямокутна декартова система координат з базисом отримується поворотом на кут прямокутної декартової системи координат з базисом . Оскільки координатами одиничного вектора є його напрямнні косинуси, то
.
Тоді формули (35), (36) набувають вигляду
(35′)
(36′)
3. Паралельне перенесення системи координат. Нехай система координат отримується перенесенням системи координат так, що початок координат переходить в точку , яка має координати в системі координат , а осі координат , паралельні до осей , відповідно. Тоді, з рисунка, для змінної точки , яка має координати в системі та координати в системі , справджуються рівності
(37)
Формули (37) називаються формулами паралельного перенесення системи координат.
4. Класифікація кривих другого порядку. Кривою другого порядку називається лінія на площині координати кожної точки якої в деякій прямокутній декартовій системі координат задовольняють рівняння
. (38)
Рівняння (38) називається загальним рівнянням кривої другого порядку.
Позначимо . Крива другого порядку називається кривою гіперболічного типу, якщо ; якщо , то крива називається кривою параболічного типу; у випадку крива називається кривою еліптичного типу.
5. Спрощення загального рівняння рівняння поворотом системи координат. Рівнянню (38) завжди можна надати вигляду
(39)
в системі координат , яка отримується поворотом системи координат на певний кут. Справді, підставимо в рівняння (38) замість їх значення з рівностей (36′):
.
Знайдемо половину коефіцієнта при добутку :
,
або
.
Виберемо кут так, щоб . Тоді
.
Якщо , то і звідси , або .
Якщо ж , то , тобто .
6. Спрощення рівняння паралельним перенесенням системи координат. Якщо в рівняння (39) входить квадрат однієї з координат з ненульовим коефіцієнтом, то за допомогою паралельного перенесення системи координат вздовж відповідної осі можна добитися, щоб коефіцієнт при першому степені цієї координати перетворився в нуль. Справді, нехай . Тоді в рівнянні (39) можна виділити повний квадрат при коефіцієнті :
.
Виконаємо паралельне перенесення системи координат за формулами
Рівняння кривої набуде вигляду
,
де .
7. Криві еліптичного типу. Нехай для рівняння (38) , тобто рівняння (38) задає криву еліптичного типу. Зрозуміло, що поворот на кут системи координат не змінює самої кривої, тобто не змінює її типу. Звідси, для рівняння кривої (39) , тому , і коефіцієнти мають однакові знаки. Двократним застосуванням перетворень п.6, один раз відносно координати , а другий раз відносно , рівнянню (39) можна надати вигляду
. (40)
Якщо і знак не збігається зі знаком та , то рівнянню (40) можна надати вигляду
,
де , , тобто рівняння (38) задає еліпс.
Якщо і знак збігається зі знаком та , то рівняння (40) зводиться до рівняння уявного еліпса
, , ,
яке не визначає жодної дійсної точки.
Якщо ж , то з рівняння (40) отримуємо рівняння пари уявних прямих
, , ,
яке визначає одну дійсну точку.
8. Криві гіперболічного типу. Нехай тепер для кривої (38) , що рівносильно тому, що для тої самої кривої, заданої рівнянням (39), . Звідси, , і та мають супротивні знаки. Як і в попередньому пункті, двократним застосуванням паралельного перенесення системи координат вздовж осей та рівнянню (39) можна надати вигляду (40).
Якщо , то можна вважати, що знак збігається зі знаком коефіцієнта . Тоді з рівняння (40) отримуємо канонічне рівняння гіперболи
,
де , .
Якщо ж , то рівняння (40) має вигляд
, , ,
і визначає пару прямих та , які перетинаються.
9. Криві параболічного типу. Нехай тепер рівняння (38) задає криву параболічного типу, тобто . Для рівняння (39) тої самої кривої . Тоді або , або . Не зменшуючи загальності, можна вважати, що , . Тоді паралельним перенесенням системи координат вздовж осі рівняння (39) зводиться до рівняння
. (41)
Нехай . Тоді останньому рівнянню можна надати вигляду
.
Виконавши паралельне перенесення системи координат
дістаємо
, .
Це канонічне рівняння параболи.
Якщо ж , то рівняння (41) має вигляд
. (42)
Нехай і коефіцієнти та мають різні знаки. Тоді рівняння (42) має вигляд
, ,
і визначає пару паралельних прямих та .
Якщо ж і коефіцієнти , мають однакові знаки, то рівняння (42) має вигляд
,
яке визначає пару уявних паралельних прямих.
Якщо , то рівняння (42) збігається з рівнянням , яке задає пару прямих, що збіглися.