Практическое занятие №13 корректирующие коды

Цель занятия:Изучение практических приложений основных результатов теории помехоустойчивого кодирования дискретных сообщений в каналах связи с ошибками.

Литература: [1] – стр. 137 – 154

Контрольные вопросы

1. Классификация корректирующих кодов.

2. Принципы обнаружения и исправления ошибок.

3. Избыточность корректирующего кода, коэффициент обнаружения ошибок.

4. Связь обнаруживающей и исправляющей способности кода с кодовым расстоянием.

5. Определение числа проверочных элементов кода в зависимости от кодового расстояния.

6. Вероятность ошибки в кодовых комбинациях из nэлементов, вероятность обнаружения ошибки или необнаружения ошибки кратностиt.

7. Код с проверкой на четность, его свойства, вероятность необнаружения ошибки .

8. Код с постоянным весом, его свойства, вероятность необнаружения ошибки.

9. Инверсный код, его свойства, вероятность необнаружения ошибки.

10. Цепной код, его свойства, коэффициент избыточности.

11. Групповые систематические коды, производящая и проверочная матрицы.

12. Код Хэмминга и его построение по производящей матрице.

13. Улучшенный код Хэмминга, его свойства.

14. Циклические коды. Принципы построения циклических кодов и обнаружения ошибок.

Задачи

13.1. В 6-значной двоичной кодовой комбинации используется простейший код с проверкой на четность.

Задана амплитуда сигнала, способ модуляции, спектральная плотность помехи, скорость передачи сигналов.

Требуется определить:

• Вероятность искажения элементарной посылки p.

• Вероятность необнаруженной данным кодом ошибки

• Коэффициент обнаружения ошибки.

  Исходные данные взять из таблицы вариантов к задаче 10.4.

  13.2.В системе передачи данных используется циклический код.

  Задано:

• число элементов кода n,

• число информационных элементов k,

• вероятность искажения элементарной посылки в канале с независимыми ошибками p.

  Требуется определить:

• коэффициент обнаружения ошибок,

• коэффициент необнаружения ошибок,

• вероятность ошибки в комбинации из nэлементов,

• вероятность необнаруженной данным кодом ошибки.

  Исходные данные к задаче приведены в таблице вариантов.

  Таблица вариантов к задаче 13.2

№ вар.	n	k	p
1	8	5	0,01
2	9	6	0,02
3	10	7	0,03
4	12	8	0,04
5	14	10	0,05
6	20	16	0,06
7	26	20	0,05
8	30	24	0,04
9	36	30	0,03
10	44	36	0,02
11	48	40	0,01
12	56	48	0,02
13	76	64	0,03
14	140	128	0,04
15	270	256	0,05
16	22	16	0,05
17	26	20	0,06
18	32	24	0,05
19	38	30	0,04
20	48	36	0,03
21	52	40	0,02
22	60	48	0,02
23	70	56	0,01
24	80	64	0,08
25	130	112	0,07
26	140	128	0,06
27	190	160	0,05
28	220	180	0,04
29	224	200	0,03
30	250	220	0,02

13.3.В системе передачи дискретной информации применёнn-разрядный систематический двоичный код.

Определить:

• Сколько проверочных элементов должен иметь этот код для исправления однократных ошибок.

• Какой кратности ошибки может обнаруживать этот код.

• Чему равна избыточность этого кода.

• Чему равны коэффициент обнаружения и коэффициент исправления ошибок.

Число nдля вариантов 1 – 10 определяется как номер варианта плюс число 5.

Число nдля вариантов 11 – 20 равняется номеру варианта.

Число nдля вариантов 21 – 30 определяется как номер варианта минус число 10.

13.4.Для передачи телеграфной информации применяется 7-значный код с постоянным весом 3:4.

Определить коэффициент обнаружения ошибок, избыточность кода и вероятность необнаруженной ошибки, если вероятность искажения элементарной посылки в канале с независимыми ошибками

p= 0,001N,

где N– номер варианта.

13.5.В «улучшенном» коде Хемминга вводится дополнительный проверочный элемент для «сквозной» проверки кодовой комбинации на четность.

Показать, можно ли подобным образом «улучшить» 7-значный код с постоянным весом путем введения восьмого проверочного элемента.

Не произойдет ли при этом «ухудшение» кода?

13.6.Сравнить между собой 10‑элементный инверсный код (k= 5,r= 5) и более простой 10‑элементный код, в котором проверочные элементы повторяют информационные элементы (без инверсии).

Перечислить все виды ошибок, которые не обнаруживает каждый из этих кодов.

Привести расчетные формулы, определяющие вероятность необнаруженной ошибки каждым кодом в канале с независимыми ошибками и вычислить эти вероятности, если вероятность искажения элементарной посылки равна

p = 0,01 + 0,002N,

где N– номер варианта.

13.7.В канале связи используется цепной код, в котором любой проверочный элемент определяется по рекуррентной формуле

b_i=a_i+a_i+1.

На вход декодера поступает последовательность посылок, заданная таблицей вариантов.

Исправить обнаруженные ошибки в предположении, что в канале связи возникают достаточно редкие ошибки, а первым элементом заданной последовательности является информационная посылка. Пояснить, как Вы понимаете термин «достаточно редкие ошибки».

Что будет, если в канале связи появятся «пакеты» ошибок?

Исходные данные приведены в таблице вариантов.

13.8.Найти проверочные элементы кода Хэмминга, состоящего из 5 информационных и 4 проверочных элементов и записать выражение для полученной 9-разрядной кодовой комбинации, если заданы информационные элементы кода,которые для разных вариантов определяются как номер варианта, записанный в виде 5-разрядного двоичного числа.

13.9. Используя результаты решения предыдущей задачи, построить 10-элементный «улучшенный» код Хэмминга, определить избыточность полученного кода и коэффициент исправления ошибок.

13.10.Код Хэмминга, содержащий 4 информационных и 3 проверочных элемента, используется для исправления одиночных ошибок.

Определить, является ли заданная 7-значная комбинация разрешенной и если не является, исправить обнаруженную ошибку.

Для разных вариантов заданная комбинация определяется как 5-разрядное двоичное число, равное номеру варианта, после которого приписаны элементы 11.

13.11.По заданной разрешенной 7-значной комбинации циклического кода (7, 4) построить производящую матрицу и с помощью производящей матрицы найти проверочные элементы для другой кодовой комбинации, если заданы информационные элементым кода.

Записать полученную разрешенную комбинацию.

Заданная разрешенная комбинация определяется как 100 + номер варианта (в десятичной системе счисления), переведенные в двоичную систему. Заданные информационные элементы кода новой комбинации определяются номером варианта, записанным в виде 5-разрядного числа.

13.12.Производящий многочлен циклического кода (8,5) имеет вид

g(x) =x³+x+ 1.

Найти проверочные элементы кода по заданным информационным элементам кода и записать полученную 7-значную комбинацию.

Информационные элементы кода определяются номером варианта, заданного в виде 5-значного двоичного числа.

Таблица вариантов к задаче 13.7

№ варианта	Принятая последовательность
1	1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0
2	0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0
3	1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1
4	0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1
5	1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1
6	0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0
7	1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1
8	1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0
9	0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0
10	0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0
11	1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0
12	0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1
13	1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1
14	0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1
15	1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
16	0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0
17	1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
18	0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0
19	0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0
20	1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1
21	0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0
22	1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0
23	0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1
24	1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1
25	0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1
26	0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0
27	0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1
28	1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1
29	1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1
30	0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0

13.13.Производящий многочлен циклического кода имеет вид

g(x) =x³+x+ 1.

Определить, является ли комбинация, поступившая на вход декодера, разрешённой.

Для разных вариантов поступившая 7-значная комбинация определяется как номер заданного варианта, записанный в виде 5-разрядного двоичного числа, перед которым и после которого поставлено по одной единице.

Приложение 1