Практическое занятие №8 спектральная плотность случайного процесса. Узкополосные и широкополосные случайные процессы

Цель занятия: Овладение методами корреляционного и спектрального анализа случайных сигналов и помех в системах связи.

Литература: [ 1 ] – стр. 36– 57;

[ 2 ] – стр. 193 – 200, 202 – 212;

[ 3 ] – стр. 165 – 167, 252 – 256;

[ 4 ] – стр. 8 – 12.

Контрольные вопросы

1. Что такое энергетический спектр стационарного случайного процесса? Как он связан с корреляционной функцией?

2. Как определяется эффективная ширина энергетического спектра случайного процесса?

3. Как связаны интервал корреляции и эффективная ширина спектра случайного сигнала?

4. Какие процессы называются узкополосными, какие широкополосными?

5. Что такое «белый шум»? Его свойства?

6. Как определяется корреляционная функция узкополосного случайного процесса?

7. Что такое аналитический сигнал?

8. Что такое огибающая E(t) и начальная фазаj(t) узкополосного случайного процесса? как они связаны с квадратурными составляющимиA(t) иB(t) ?

9. Какой закон распределения имеют квадратурные составляющие A(t) иB(t) узкополосного случайного процесса?

10. Какова средняя мощность случайных амплитуд A(t),B(t) иE(t) ?

11. Чему равна нормированная корреляционная функция квадратурных составляющих A(t) иB(t) r_AB в совпадающие моменты времени?

12. Как определить совместную функцию плотности распределения квадратурных составляющих A(t) иB(t) узкополосного гауссовского процесса?

13. Какой закон распределения имеют значения огибающей гауссовского случайного процесса, когда:

• математическое ожидание равно нулю;

• математическое ожидание не равно нулю?

1. Какой закон распределения имеют значения начальной фазы гауссовского случайного процесса с нулевым математическим ожиданием?

Задачи

8.1*.Определить спектральную плотность случайного телеграфного сигналаx(t), если его функция корреляции имеет вид:

а)(получена в задаче 7.12);

б)(получена в задаче 7.8);

8.2.На рис.8.1 изображены реализации помех ₁(t) и ₂(t).

Построить качественно их корреляционные функции и спектральные плотности.

Рис. 8.1.

8.3.Рассматривается случайная гармоническая помеха

где W – центрированная амплитуда с дисперсиейD_W;

q – случайная фаза, распределенная равномерно в интервале (0, 2p);

w₁ – неслучайный параметр (w₁> 0).

Случайные величины wиqнезависимы. Найти характеристики случайной помехиx(t): математическое ожидание, корреляционную функцию. Определить, является ли случайная гармоническая помехаx(t) стационарной и эргодической. Если она стационарна, то найти ее спектральную плотностьG_x(w).

8.4.Рассматривается случайный сигнал на входе приемника, полученный путем сложения отn антенн

,

где x_i(t) – стационарные некоррелированные случайные сигналы с характеристикамиm_i;B_i(t);G_i(w), (i= 1, 2, ...,n);

a_i,b– действительные числа.

Найти характеристики случайного сигнала y(t).

8.5.Рассматривается сложная мультипликативная помеха:

,

где x_i(t) – независимые стационарные случайные процессы

с характеристиками m_i =0;B _i(t); G_i (w), (i = 1, 2, ..., n).

Найти характеристики помехи Y(t).

8.6.Определить, обладает ли функция

принятого неизвестного сигнала X(t) свойствами корреляционной функции.

Видеоимпульс Радиоимпульс

Рис. 8.2

8.7*.Определить и построить графики функций корреляции, спектральных плотностей, вычислить интервалы корреляции и эффективную ширину спектров случайных сигналовX₁(t) иX₂(t), реализации которых имеют вид (рис.8.2):

8.8*.Спектральная плотностьG(w) стационарного случайного сигналаX(t) имеет вид

Определить соотношение между эффективной шириной спектра сигнала Dw_эфи шириной его спектра на уровне 0,5 G(0).

8.9**.Найти корреляционную функциюB(t) стационарного случайного процесса с равномерной спектральной плотностью:

a) ; –¥<w<¥ – «белый» шум ;

б) – широкополосный процесс;

в)

– узкополосный процесс.

8.10*.Спектральная плотность речевого сигналаG(w) на различных участках фразы имеет вид:

а) , w³0;

б) , w³0;

в) G(w)=2e^–aw, a>0,w³0;

г) G(w)=2w, 0£w£w_в.

Найти корреляционные функции. Построить графики G(w) иB(t).

8.11*.Выяснить разницу между спектральными плотностями случайных сигналовX₁(t) иX₂(t), передаваемых по каналам связи. Корреляционные функцииB₁(t) иB₂(t) имеют вид:

а) B₁(t)=B(0) e^-a½t½, a>0,

B₂(t)=B(0) e^-a½t½cosw₀t, a>0,w>>2p/T;

б) , 0£t£T;

0 £t£T

в) B₁(t) =B(0) exp (-b²t²),

B₂(t) =B(0) exp (-b²t²) cosw₀t;

г) B₁(t) =B(0), |t|£t₀,

B₂(t) =B(0)cosw₀t, |t|£t₀,w₀ >>2p/Т.

8.12.Показать, что спектральная плотность случайного стационарного сигналаY(t)с корреляционной функцией

B_y(t) = B_x(t) cosw₀t

определяется на положительных частотах ( приf₀>>F_Э, гдеF_Э– ширина спектра сигнала с корреляционной функцией B_x(t)) соотношением

G_y(f) = G_x(f – f₀),

где G_x(f) – спектральная плотность стационарного сигнала с корреляционной функциейB_x(t).

8.13.Показать, что изменение вaраз масштаба аргумента корреляционной функции в приемнике системы связи влечет за собой изменение спектральной плотности в соответствии с равенством

8.14.Найти спектральную плотность детерминированного процесса (элемента сигнала дискретной фазовой модуляции)

x(t) = a cos(w₀t + j₀), (0 £ t £ T)

и дать соответствующие спектральные диаграммы.

8.15.Найти спектральную плотность детерминированного финитного сигнала (элемента сигнала дискретной фазовой модуляции)

x(t) = a cos(w₀t + j₀); (0 £ t £ T),

полагая длительность Tдостаточной для того, чтобы считать приемлемой аппроксимацию корреляционной функции выражением:

B(t)=(a²/2)cosw₀t.

8.16.Найти спектральную плотность стационарной случайной помехи, действующей на сигнал. Корреляционная функция помехи определяется выражением:

B(t) = ae^a½t½ |2d(t)–a(signt)² |.

8.17.Имеется стационарный случайный сигналx(t)с корреляционной функцией

B(t) = (sint)/t.

Найти корреляционную функцию, дисперсию и спектральную плотность его производной y(t)=dx(t)/dt, полученной на выходе дифференцирующей цепи.

8.18.Случайный сигналx(t) имеет корреляционную функцию

B_x (t) = e^a½t½ (chb|t|+(a/b)shb|t|), (a > 0, b > 0).

Случайный сигнал на выходе дифференцирующего устройства равен y(t)=dx(t)/dt. Найти его корреляционную функциюB_y(t) и спектральную плотностьG_y(w).

8.19.Найти спектральную плотность марковского гауссовского процесса, для которого нормированная функция корреляции равна

r(t) = ae^a½t½e^–a|t|.

8.20.Найти спектральную плотность квазислучайного фототелеграфного сигнала, имеющего закон распределения

W_x(t) = (lt)^2k sech lt½2k½, (k = 0,1,2,...)

и нормированную корреляционную функцию

r(t) = sech(lt) cos(lt).

8.21.**Известно, что плотности распределения вероятностей мгновенных значений флуктуационной помехи в двух независимых сеченияхxиyявляются гауссовскими с нулевыми математическими ожиданиями и одинаковыми дисперсиями, т.е.

;

a_x= 0 ;a_y= 0 ;s_x=s_y=s.

Рассматривая xиyкак координаты точки в декартовой системе, найти законы распределенияEиj, т. е. модуля и фазы в полярной системе координат; связь между случайными переменными известна:

x=Ecosj;y=E sinj.

8.22.Показать, что огибающую аналитического сигналаS_a(t)можно находить по формуле:

,

где – функция, комплексно сопряжённая к функцииS_а(t);

8.23.Доказать следующие свойства аналитического сигнала:

S_a (t) = S(t) = E(t), если

, если

E(t)³S(t).

8.24.Преобразовать по Гильберту сигналы дискретной фазовой модуляции x(t) = a cosw₀t и x(t) = a sinw₀t.

8.25.Для сигнала дискретной амплитудной модуляции x(t)=a_i cosw₀t, (a_i = 0, 1) построить аналитический сигналx_а(t).

8.26.Дан непериодический сигналx(t), имеющий спектральную функцию S(jw). Допустим, что построен сигнал , у которого спектр «повернут» наp/2, т.е. спектральная функция сигнала определяется выражением

S(jw) = S(jw)exp{–j(p/2) signw },

где sign w= 1, еслиw>0и signw= –1, еслиw<0.

Найти связь между x(t) и во временной области.

8.27**.Сигнал многоканальной системы связи представлен в виде:

Записать этот сигнал в виде огибающей и фазы

x(t) = E(t) cosy(t).

8.28**.Дана гармоническая помеха

x(t) = a₁сosw₁t + a₂сosw₂t,

представить ее в виде

x(t) =E(t) cos(wt+q(t) +j₀),

сначала для частоты w=w₁, затем для частотыw=w₀, гдеw₀ = (w₁+w₂)/2.

Решение провести двумя способами. По первому способу получить решение, не прибегая к понятию аналитического сигнала, т.е. выполняя известные операции сложения гармонических колебаний; по второму – с использованием понятия аналитического сигнала.

8.29**.Дан сигнал , являющийся типичным примером сигнала в многоканальных системах связи. Получить выражение аналитического сигнала в общем виде, а затем для частного случаяc_n=c,j_n=j. Линейный член выделить по отношению к средней частотеw_ср = w₀ + [(N+1)/2]W.

8.30.Сигналx(t) задан своей спектральной плотностью вида:

S(jw) = S₁(w) –jS₂(w) = 1, (w₁<w<w₂),

постоянной в диапазоне частот от w₁доw₂. Найти временную запись сигналаx(t) и затем представить ее в форме аналитического сигнала. Рассмотреть частный случай приw₁= 0.

Примечание:Для аудиторной работы с подробным анализом результатов решения рекомендуются задачи: 8.1, 8.7, 8.9. Следует обратить внимание на связь временной реализации случайного процесса со спектральной плотностью и корреляционной функцией, интервала корреляции с эффективной шириной спектра, на изменение корреляционной функции и спектральной плотности при переходе от реализации сигнала видеоимпульса к радиоимпульсу, а так же на корреляционные функции узкополосных случайных процессов.

* При решении задач, отмеченных*, рекомендуется составить программу вычислений на алгоритмическом языке ЭВМ.

**При решении задач, отмеченных **, решение рекомендуется проиллюстрировать структурной схемой алгоритма.