8. Промежуточные значения непрерывной функции
Первая теорема Больцано – Коши является частным случаем следующей теоремы.
Теорема 3. (Вторая
теорема Больцано – Коши).
Пусть функция
определена и непрерывна на отрезке
и на концах отрезка принимает неравные
значения:
,
,
.
Тогда, какого не было число
,
лежащее между
и
,
найдется точка
,
лежащее между
и
:
,
что
.
Из этой теоремы следует, что если непрерывная функция на некотором промежутке (отрезок, интервал, полуинтервалы) принимает некоторые два различных значения, то она в качестве значений принимает и все значения, лежащие между ними.
9. Непрерывность обратной функции
9.1. Понятие
обратной функции.
Пусть дана функция
,
с областью определения
и областью значений
.
Эта функция каждому
ставить в соответствие одно значение
.
Пусть
– произвольное значение. Тогда в области
определения функции найдется такое
значение
,
при котором наша функция принимает
именно значение
:
.
Таким образом, определено соответствие:
.
Это соответствие составляет функцию
,
если оно однозначно, то есть каждому
соответствует только одно
:
.
Однако, соответствие
не всегда является однозначным. Поэтому
некоторым (возможно и, всем) значениям
найдется два и более значений
,
при которых
.
Такое соответствие составляет многозначную
функцию
.
Функция
(однозначная или многозначная) с областью
определения
и областью значений
,
которая каждому
ставит в соответствие все такие значения
,
что
,
называется обратной
функцией
для функции
.
Таким образом, обратная функция, вообще
говоря, является многозначной функцией.
Пример 1.
Для функции
обратной является
.
Пример 2.
Для функции
обратной является
.
Пример 3.
Для функции
обратной является двузначная функция
.
Область определения обратной функции
является
.
Каждому
соответствуют два значения
.
Как правило, в этом случае, вместо одной
двузначной функции
рассматривают две однозначные функции
и
,
которые называются ветвями
обратной функции.
Для ветви
областью значений является
,
а для ветви
–
.
9.2. График обратной
функции.
Если функция
является обратной функций для функции
,
то, очевидно, графики обеих функций
совпадают. Нам привычно обозначать
аргумент функции обозначать буквой
,
а функцию – буквой
.
Поэтому и обратную функцию представим
в привычном обозначении
.
График обратной функции
получается из графика самой функции
при его зеркальном отображении
относительно биссектрис первой и третьей
четвертей (рис. 3).
Рис. 3
9.3. Существование обратной функции. Достаточное условие существования однозначной обратной функции для функции приводится в следующей теореме.
Теорема 4. Пусть функция определена, строго монотонно возрастает (убывает) и непрерывна в промежутке . Тогда в соответствующем промежутке значений этой функции существует однозначная обратная функция , которая строго монотонно возрастает (убывает) и непрерывна в промежутке .