2. Определение бесконечного предела функции
2.1. Бесконечно
большая функция в точке.
Будем говорить, что
является бесконечно
большой функцией при
,
если для любого числа
найдется число
такое, что для всех
,
удовлетворяющих условию
,
выполняется неравенство
.
Если функция
является бесконечно большой при
,
то пишут:
:
.
Например, для
функции
и точки
,
имеем (рис. 1.)
.
Если функция
является бесконечно большой при
и при этом принимает только положительные
значения, то будем говорить, что функция
при
имеет бесконечный
предел
и будем писать
.
.
Например, для
функции
и точки
,
имеем (рис. 2.)
.
Если функция
является бесконечно большой при
и при этом принимает только отрицательные
значения, то будем говорить, что функция
при
имеет бесконечный
предел
и будем писать
.
.
Например, для
функции
и точки
,
имеем (рис. 3.)
.
На рис. 4 приведен
пример функции, которая не имеет предела
при
.
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4
2.2. Бесконечный
предел функции при
.
Будем говорить, что функция
при
имеет бесконечный
предел
,
если для любого числа
найдется число
такое, что для всех
выполняется неравенство
и будем писать
.
.
Будем говорить,
что функция
при
имеет бесконечный
предел
,
если для любого числа
найдется число
такое, что для всех
выполняется неравенство
и будем писать
.
.
2.3. Бесконечный
предел функции при
.
Будем говорить, что функция
при
имеет бесконечный
предел
,
если для любого числа
найдется число
такое, что для всех
выполняется неравенство
и будем писать
.
.
Будем говорить,
что функция
при
имеет бесконечный
предел
,
если для любого числа
найдется число
такое, что для всех
выполняется неравенство
и будем писать
.
.
3. Односторонние пределы
3.1. Односторонние пределы. Для изучения функции полезно рассматривать предел функции в точке, когда переменная приближается к данной точке только с одной стороны, либо только слева, либо только справа. Такие пределы называются односторонними пределами.
3.2. Левосторонний
предел. Будем
говорить, что функция
имеет в точке
предел слева,
равный
,
если для любого числа
найдется число
такое, что для всех
,
удовлетворяющих условию
и
,
выполняется неравенство
и будем писать
:
.
Вместо термина «предел слева» также используется термин «левосторонний предел».
Для обозначения
левостороннего предела используется
обозначение
,
то есть
.
Условие
и
можно заменить одним двойным неравенством:
.
Запись «
»
означает приближение переменной
к точке
только слева (рис. 5).
Рис. 5
3.3. Правосторонний
предел. Будем
говорить, что функция
имеет в точке
предел справа,
равный
,
если для любого числа
найдется число
такое, что для всех
,
удовлетворяющих условию
и
,
выполняется неравенство
и будем писать
:
.
Вместо термина «предел справа» также используется термин «правосторонний предел».
Для обозначения
правостороннего предела используется
обозначение
,
то есть
.
Условие
и
можно заменить одним двойным неравенством:
.
Запись «
»
означает приближение переменной
к точке
только справа (рис. 6).
Рис. 6
Для функции
,
имеем
.