- •Збірник вправ і задач з навчальної дисципліни “Основи початкового курсу математики”
- •Розділ 1. Математичні поняття, речення і доведення
- •1.1. Математичні поняття. Обсяг і зміст поняття. Означення понять, вимоги до означення понять
- •1.2. Висловлення, висловлюванні форми
- •1.3. Відношення слідування і рівносильності математичних речень. Необхідні і достатні умови
- •1.4. Структура теореми. Види теорем
- •1.5. Способи розв’язування текстових задач
- •Розділ 2. Множини і операції над ними
- •2.1. Поняття множини, способи задання множин. Відношення між множинами
- •2.2. Перетин та об’єднання множин, доповнення підмножини
- •2.3. Декартовий добуток множин
- •2.4. Зображення декартового добутку двох числових множин
- •2.5. Комбінаторні задачі
- •Розділ 3. Відповідності і відношення
- •3.1. Поняття бінарного відношення між елементами однієї множини. Способи задання бінарних відношень
- •3.2. Відношення еквівалентності
- •3.3. Відношення порядку
- •3.4. Поняття відповідності
- •3.5. Взаємно однозначні відповідності
- •Розділ 4. Поняття числа і дій над натуральними числами
- •4.1. Поняття натурального числа і числа нуль
- •4.2. Теоретико-множинний зміст суми і різниці натуральних чисел
- •4.3. Теоретико-множинний зміст добутку цілих невід’ємних чисел
- •4.4. Відношення «більше в», «менше в»
- •4.5. Ділення з остачею
- •Розділ 5. Запис чисел і алгоритм дій над ними
- •5.1. Додавання багатоцифрових чисел
- •5.2. Віднімання багатоцифрових чисел
- •5.3. Множення багатоцифрових чисел
- •5.4. Ділення багатоцифрових чисел
- •Розділ 6. Подільність цілих невід’ємних чисел
- •6.1. Поняття відношення подільності, його властивості
- •6.2. Подільність суми, різниці і добутку цілих невід’ємних чисел
- •6.3. Найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне
- •6.4. Ознаки подільності чисел на 2, 3, 4, 5, 9
- •6.5. Алгоритм Евкліда
- •Розділ 7. Додатні раціональні числа
- •7.1. Поняття дробу. Поняття додатного раціонального числа
- •7.2. Запис додатних раціональних чисел у вигляді десяткових дробів
- •7.3. Додавання і віднімання раціональних чисел
- •7.4. Множення і ділення додатних раціональних чисел
- •7.5. Нескінченні десяткові періодичні дроби
- •Розділ 8. Дійсні числа
- •8.1. Поняття додатного дійсного числа
- •8.2. Дії над дійсними числами
- •8.3. Від’ємні числа
- •Розділ 9. Рівняння, нерівності, функції
- •9.1. Поняття про рівняння. Рівносильність рівнянь з однією змінною
- •9.2. Поняття нерівності. Рівносильність нерівностей
- •9.3. Поняття про функцію
- •9.4. Лінійна функція
- •9.5. Пряма і обернена пропорційності
- •Розділ 10. Поняття величини, її вимірювання
- •10.1. Поняття величини та поняття вимірювання величин
- •10.2. Довжина відрізка і його вимірювання
- •10.3. Площа фігури і її вимірювання
- •10.4. Проміжки часу і їх вимірювання
- •Література
9.2. Поняття нерівності. Рівносильність нерівностей
1. Чи є число 3 розв’язком нерівності < , визначеної на множині дійсних чисел? А число 4,25?
2. Чи рівносильні на множині дійсних чисел наступні пари нерівностей:
1) < і >3;
2) >0 і >0;
3) > і <2?
3. Які з наступних висловлень істинні:
1) < >4; 3) < <5;
2) < <30; 4) < <20?
4. Що більше: 3а чи 10а? 0,1b чи 100b?
5. Розв'яжіть нерівність < і поясніть, які теоретичні положення були при цьому використані.
6. Доведіть, що розв’язком нерівності > є будь-яке дійсне число.
7. Доведіть, що не існує дійсного числа, яке є розв’язком нерівності > .
8. Доведіть, що при будь-якому дійсному а значення виразу менше, ніж значення виразу .
9. Довжина прямокутної ділянки в 5 раз більша її ширини, а ширина більша 4 м. Доведіть, що площа ділянки більша 80 м2.
10. Одна сторона трикутника дорівнює 18 см, а друга 23 см. Встановіть:
1) якою може бути найменша довжина третьої сторони (у см);
2) якою може бути найбільша довжина третьої сторони (у см).
11. Одна сторона трикутника дорівнює 5 м, а друга 8 м. Які натуральні значення може приймати довжина третьої сторони, якщо периметр трикутника: 1) менший 22м; 2) більший 17 м?
9.3. Поняття про функцію
1. На складі було 400 т вугілля. Щоденно з цього запасу витрачалося по 50 т. Запишіть формулу, що виражає залежність кількості вугілля на складі (у тонах) від часу (х днів), і доведіть, що ця формула задає функцію. Вкажіть область визначення цієї функції.
2. Довжина кола (С), радіус якого R знаходиться за формулою . Функціональну залежність між якими змінними задає ця формула? Яка область визначення даної функції?
3. Чи знаходиться площа квадрата у функціональній залежності від довжини його діагоналі?
4. Кожному натуральному числу n з проміжку поставили у відповідність остачу, яку одержують при діленні цього числа n на 4. Задайте цю відповідність за допомогою таблиці і поясніть, чому вона є функцією і яка її область визначення.
5. Знайдіть область визначення функції, заданої формулою:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
6. Наведіть приклади трьох вправ з підручника математики початкових класів, при розв’язуванні яких може бути виконана пропедевтика поняття функції.
7. Які з наступних вправ, взятих з підручника математики початкових класів, можуть бути використані для пропедевтики поняття функції і чому:
1) Заповніть таблицю:
с |
1 |
3 |
4 |
6 |
|
|
|
|
|
2) Розв'яжіть рівняння .
3) Збільште в три рази кожне з чисел: 7, 5, 9, 4, 8, 6.
4) З рядка чисел 15, 16, 17, 18 випишіть ті значення с, при яких правильна нерівність >40.
9.4. Лінійна функція
1. Побудуйте графік функції при умові, що її областю визначення є: 1) R; 2) ; 3) .
2. Відомо, що графік функції проходить через точку . Чи пройде він через точку ?
3. Знайдіть коефіцієнти k і b, якщо функція задана формулою:
1) ; 2) ; 3) .
4. Залежність маси (у) ящика з деталями від кількості деталей (х) виражається формулою . Обчисліть масу ящика з деталями при наступних значеннях:
х |
10 |
15 |
20 |
23 |
у |
|
|
|
|
Яким буде графік даної залежності?
5. До відпочинку туристи пройшли 12 км. Після відпочинку вони йшли х годин зі швидкістю 2,5 км/год. Запишіть формулу, що виражає залежність між часом руху (х) і пройденою відстанню (у). Яку функцію задає ця формула? Яка область визначення даної функції, якщо весь пройдений туристами шлях не перевищує 25 км?
6. Залежність вартості (у) передачі файла від об’єму в мегабайтах (х) виражається формулою . Обчисліть вартість передачі файлу при наступних значеннях х:
х (об’єм) |
100 |
160 |
250 |
300 |
у(копійок) |
|
|
|
|
Яка область визначення даної залежності, якщо вартість передачі файлу не перевищує 5 грн. 20 коп.?
7. З населеного пункту в місто, що знаходиться на відстані 20 км, зі швидкістю 5 км/год вийшов пішохід. На якій відстані (s км) від міста буде пішохід через t годин? Які значення може приймати t?