Розділ 1. Математичні поняття, речення і доведення

1.1. Математичні поняття. Обсяг і зміст поняття. Означення понять, вимоги до означення понять

1. Розв’яжіть наступні задачі і поясніть, які геометричні фігури виступають у них в якості ідеальних моделей реальних предметів:

1) Довжина шкільного коридору 30 м, а ширина 5 м. Яка площа шкільного коридору?

2) Землетрус поширюється по земній поверхні зі швидкістю 0,8км/с. Яку площу може охопити землетрус через 10 с?

3) Прямокутна ділянка землі розміром 130 60 м обнесена ровом шириною 1м, причому рів викопали на ділянці. Яка площа нової ділянки?

4) Басейн прямокутної форми має довжину 50 м, ширину 24 м і глибину 3 м. Скільки кубічних метрів води вміщує басейн, якщо рівень води в басейні на 50 см нижче його бортика?

2. Яка функція є моделлю залежностей, розглянутих у наступних задачах:

1) Відстань від А до В турист пройшов за 3 години. За який час турист пройшов би той самий шлях, якби йшов у 1,5 раза швидше?

2) Сільське поле три трактори можуть зорати за 60 годин. За скільки годин його зорють 9 тракторів?

3. Намалюйте три об’єкти, що належать обсягу понять:

1) геометрична фігура; 2) прямокутник;3) квадрат; 4) ромб.

4. Назвіть п’ять суттєвих властивостей поняття:

1) трикутник; 2) прямокутник; 3) трапеція.

5. Які з наведених нижче властивостей трапеції є суттєвими, а які не суттєвими:

1) дві сторони трапеції паралельні;

2) основи трапеції горизонтальні;

3) обидва кути при більшій основі гострі;

4) обидва кути при меншій основі тупі;

5) сума внутрішніх кутів трапеції рівна 360°?

6. Чи правильно, що обсяг поняття «прямокутник» більший, ніж обсяг поняття «квадрат». Який взаємний зв'язок існує між змістом цих понять?

7. Який обсяг поняття: 1) цифра; 2) одноцифрове число?

8. Назвіть декілька властивостей, спільних для прямокутника і квадрата, і з’ясуйте, яке з тверджень є правильним:

1) будь-яка властивість прямокутника виконується для квадрата;

2) будь-яка властивість квадрата притаманна прямокутнику.

9. Серед наступних властивостей виділіть ті, які притаманні квадрату:

1) діагоналі діляться в точці перетину навпіл;

2) діагоналі ділять кути пополам.

10. Якими властивостями, із названих у вправі 9, володіє:

1) прямокутник; 2) паралелограм; 3) ромб?

11. Вкажіть найближче родове поняття для поняття:

1) прямокутник; 2) відрізок; 3) непарне число; 4) коло.

12. У яких випадках правильним є твердження «Поняття а є родовим по відношенню до поняття b»:

1) а – многокутник, b – трикутник;

2) а – кут, b – гострий кут;

3) а – промінь, b – пряма;

4) а – ромб, b – квадрат.

13. У нижче наведених означеннях визначте означуване поняття, родове поняття і видову властивість:

1) Прямі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині і не перетинаються.

2) Трикутник називається рівнобедреним, якщо хоча б дві його сторони рівні.

3) Значення змінної, яке перетворює рівняння в правильну рівність, називається коренем рівняння.

4) Відрізок, який з’єднує середини двох сторін трикутника, називається його середньою лінією.

14. Наведіть приклади генетичних та індуктивних означень з курсу алгебри.

15. Поняття «трицифрове число» вводиться в початкових класах наступним чином. Учням пропонується відповісти на питання: «Скільки всього цифр (знаків) використовується для запису кожного з чисел: 582, 336, 400, 841, 804, 333, 565?». Потім вчитель робить висновок: «Це трицифрові числа». Яким чином у цьому випадку визначено поняття трицифрового числа?

16. Із поняттям «протилежні сторони прямокутника» учнів знайомлять так: «Червоними лініями позначені дві протилежні сторони прямокутника, а синіми лініями – дві інші протилежні сторони». Яким чином визначено це поняття, якщо в книжці, крім тексту, є ще й відповідний рисунок?

17. З’ясуйте, яким чином означуються в математиці I – IV класів поняття: 1) математичний вираз; 2) ділення; 3) множення; 4) непарне число; 5) периметр; 6) одноцифрове число; 7) двоцифрове число; 8) сантиметр.

18. Сформулюйте означення прямокутного трикутника і з’ясуйте його структуру.

19. Один учень дав означення поняття прямокутника так: «Прямокутником називається чотирикутник, у якого всі кути прямі і сторони попарно рівні». Другий учень сказав: «Прямокутником називається чотирикутник, у якого всі кути прямі». І нарешті, третій дав таке означення: «Прямокутником називається чотирикутник, у якого протилежні сторони рівні». Який з учнів дав правильне означення прямокутника?

20. У якому з нижче наведених означень математичних понять є помилки? Виправте їх, якщо це можливо.

1) Бісектрисою трикутника називається пряма, що ділить кут трикутника навпіл.

2) Діаметром круга називається хорда, що проходить через центр круга.

3) Дотичною до кола називається пряма, яка дотикається до кола.

4) Ромбом називається паралелограм, дві суміжні сторони якого рівні.

5) Додаванням називається дія, при якій числа додаються.

6) Рівностороннім трикутником називається трикутник, у якого рівні всі сторони і всі кути.

7) Паралелограмом називається многокутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.