3.5. Взаємно однозначні відповідності

1. Між множинами А = {x, y, z, t} і В = {a, b, c, d} встановлені різні відповідності (рис. 18). Які з них є взаємно однозначні?

Рис. 18

2. Дані множини Х = {k, l, m, n, p} і Y = {1, 2, 3, 4, 5}. Встановіть три різних взаємно однозначні відповідності між даними множинами. Скільки всього таких відповідностей можна встановити між множинами Х і Y?

3. Дані дві множини А = {1, 2, 5} і В = {3, 7}. Знайдіть множини і . Чи можна яким-небудь чином встановити взаємно однозначну відповідність між ними?

4. N – множина натуральних чисел, Y – множина квадратів натуральних чисел. Покажіть, що між множинами N і Y можна встановити взаємно однозначну відповідність.

5. М – множина геометричних фігур, зображених на рисунку 19, R – множина дійсних чисел. Поставимо у відповідність кожній фігурі число – значення її площі. Чи буде ця відповідність взаємно однозначною відповідністю між множинами М і R?

6. Наведіть приклади завдань із підручників математики для початкових класів, при виконанні яких неявно використовується поняття взаємно однозначної відповідності між множинами.

Рис. 19

Розділ 4. Поняття числа і дій над натуральними числами

4.1. Поняття натурального числа і числа нуль

1. Запишіть всі елементи множини N₈, N₁₀. Як називаються ці множини?

2. Чи можна назвати відрізком натурального ряду множину:

1) {0, 1, 2, 3}; 2) (1, 3, 5, 7); 3) {1, 2, 3}; 4) {3, 4, 5}?

3. Сформулюйте умови, яких необхідно дотримуватися, ведучи рахунок елементів скінченної множини.

4. Прочитайте речення: n(A) = 7, n(B) = 2. У якій ролі тут виступають натуральні числа 7 і 2? Наведіть приклади множини А і В, що задовольняють даним вимогам.

5. Наведіть приклади таких різних множин А і В, що n(A)=n(B)=7. У якому відношенні знаходяться множини А і В?

6. Який теоретико-множинний зміст натурального числа «п’ять»?

7. Розгляньте малюнки і записи, наведені на тій сторінці підручника з математики для першого класу, де учні вчать число «три». Поясніть, які з них наведені з метою розкрити учням порядкове і кількісне значення числа «три». Які б Ви добавили малюнки з цією ж метою?

8. Наведіть приклади завдань з книжок математики для початкових класів, у яких число виступає як: 1) порядкове; 2) кількісне.

4.2. Теоретико-множинний зміст суми і різниці натуральних чисел

1. Поясніть, використовуючи означення суми цілих невід’ємних чисел, що: 1) 4 + 1 = 5; 2) 2 + 7 = 9; 3) 1 + 5 = 6; 4) 3 + 0 = 3.

2. Як ви розумієте твердження: «Сума цілих невід’ємних чисел існує і єдина»?

3. Учням дано завдання: «Складіть дві задачі, які розв’язуються так: 16+4=20». Чи можна скласти три задачі за цією умовою? п’ять задач? На основі якого теоретичного положення це можливо?

4. Запишіть число 1 у вигляді суми двох цілих невід’ємних чисел двома способами.

5. Скількома способами можна записати число 2 у вигляді суми двох цілих невід’ємних чисел?

6. Які два числа можна скласти, щоб отримати в сумі число 3? Запишіть всі можливі випадки.

7. Як можна розподілити 6 зошитів між двома учнями?

8. Як можна розподілити 6 зошитів між двома учнями, якщо кожен з них повинен отримати хоча б один зошит? Чим відрізняється ця задача від задачі 7?

9. Використовуючи означення суми декількох доданків, знайдіть значення виразу: 1) 13+6+18+34+29; 2) 15+28+4+17+36+1.

10. Поясніть, чому дані задачі розв’язуються додаванням:

1) Стежкою йдуть 4 качки і 6 гусок. Скільки всього птахів йде стежкою?

2) У сумку поклали 3 груші і 8 яблук. Скільки фруктів поклали до сумки?

11. Вираз (4+5)+6 перетворіть до вигляду 5+(4+6), використовуючи закони додавання. Кожен крок при перетворенні обґрунтуйте.

12. Вираз (7+2)+(3+8) перетворіть до вигляду (7+3)+(2+8), використовуючи закони додавання.

13. Обчисліть раціональним способом значення виразу і поясніть, які закони додавання були при цьому використані:

1) (30+7)+(10+4);

2) (16+9)+21+14;

3) 1809+393+678+191+1607.

14. Знайдіть значення суми двома способами: спочатку використовуючи означення суми декількох доданків, а потім закони додавання:

1) 273+1227+154+446;

2) 372+4356+22+544;

3) 871+2475+89+325.

15. Проаналізуйте зміст теми «Перестановка доданків» у підручнику з математики для початкових класів. На якій теоретичній основі розглядається тут переставна властивість додавання?

16. Чи є доведенням переставного закону додавання таке твердження: «2+1=1+2, 3+7=7+3, 15+2=2+15 слідує, що від перестановки доданків сума не міняється»?

17. Розв’яжіть задачу різними способами:

1) В автопарку фірми було 8 вантажних машин і 2 легкові. Фірма купила ще 2 машини. Скільки всього машин стало в автопарку.

2) У малюків дитячого садочку було 20 червоних м’ячиків і 10 зелених. Їм подарували ще 8 м’ячів. Скільки м’ячів стало у малюків.

18. Дайте теоретико-множинне обґрунтування наступним рівностям: 1) 7-5=2; 2) 3-3=0; 3) 4-0=4.

19. У підручнику з математики для початкових класів школи наведено правило: «Для перевірки віднімання до різниці додають від’ємник. Якщо розв’язання правильне, то отримаємо зменшуване». Яке теоретичне обґрунтування цього правила?

20. Наведіть приклади двох завдань з підручника математики для початкових класів, при виконанні яких використовується умова існування різниці цілих невід’ємних чисел.

21. Поясніть, чому дані задачі розв’язуються за допомогою віднімання:

1) Біля озера росло 9 ялинок. 4 ялинки зрубали. Скільки ялинок залишилося біля озера?

2) Катя і Максим намалювали 9 будиночків. Катя намалювала 4 будиночки. Скільки будиночків намалював Максим?

22. Складіть 3 задачі, розв’язання яких записується у вигляді рівності 12-8=4. На основі якого теоретичного положення це можливо?

23. Знайдіть найбільш раціональним способом значення виразу:

1) (3748+10392)-8392; 3) 763+945-263;

2) 7273-(396+1173); 4) 568-229-168.

24. Дані задачі розв’яжіть різними способами, дайте обґрунтування:

1) В одній банці було 10 солоних огірків, а в другій - 6 огірків. За обідом з’їли 4 огірки. Скільки всього огірків залишилося?

2) У гаражі стояло 20 мотоциклів, спочатку виїхало 7 мотоциклів, потім ще 3. Скільки мотоциклів залишилося в гаражі?